Многошаговые процессы управления

     Существенная трудность метода (29), как видно из рис. 2, заключается в необходимости проверки ограничений (29) в каждой граничной точке области S. Уже для двумерной области таких точек бесконечное множество. Принятие для расчетов конечного числа точек чревато ошибками, хотя с использованием ЭВМ таких точек может быть взято достаточно много. Рассмотрим пример, на котором могут проясниться вычислительные аспекты.

 

     Заключение.

   Данная  тема достаточно актуальна в наше время, поскольку ракетные установки, автопилоты и автоматические рулевые устройства не обходятся без надежного алгоритма управления. В данной курсовой работе были рассмотрены алгоритмы многошагового управления объектов. Созданы математические модели и рассмотрены оптимальные алгоритмы управления. 
Список использованной литературы:

1. Бесекерский, В. А., Попов, Е. П. Теория систем автоматического регулирования. — СПб.: Профессия, 2004. — 749 с. ISBN 5-93913-035-6.
2. Мирошник, И. В., Никифоров, В. О., Фрадков, А. Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. — СПб.: Наука, 2000. — 548 с. — (Сер.: Анализ и синтез нелинейных систем).
3. Тюкин И. Ю., Терехов В. А., Адаптация в нелинейных динамических системах, (Серия: Синергетика: от прошлого к будущему), Санкт-Петербург: ЛКИ, 2008. — 384 с. ISBN 978-5-382-00487-7
4. Новиков Д. А. Теория управления организационными системами. 2-е изд. — М.: Физматлит, 2007. — 584 с.
5. Румянцев А.А. Эффективное управление: принятие обоснованных и оптимальных решений, интеллект и логика.. — ООО «Контраст», Краматорск, 2003 год. — С. 32.
6. Философия управления обществом, провинцией, фирмой в этнокультурном и реформационном аспектах в теории и методологии субстратного подхода / Отв. ред. А.А. Гагаев, А.А. Румянцев. — Саранск: 2009 год. — С. 79,324,340,366. — 696 с. — 150 экз. — ISBN 978-5-98344-094-4 
   Приложения.

Приложение 1

Пример  1. Рассмотрим управляемую систему с квадратичным функционалом и линейными ограничениями. Решение будет оптимальным. Рассмотрим задачу оптимального управления:

                                      (30)

      1. Составляем функцию Гамильтона:

H(t, x, ψ, u)=ψ₁ (x₁ + x₂ + u₂)+ψ₂(x₁ + u₁) – x₁ ² – x₂ ² – u₁ ² – u₂ ².

      2. Вычисляем ее частные производные по и₁, и и₂:

                  (31)

                  (32)

     3. Строим сопряженную систему уравнений: 

     4. К заданной выше системе присоединяем  уравнение процесса:

     Для удобства последующих расчетов в  системе уравнений 3 и 4 проведем некоторые преобразования, так, чтобы в конечном счете в уравнениях слева иметь зависимости от t, а справа – от t + 1 (или наоборот).

 

Получаем:

     Это позволяет удобным образом вести  итеративный процесс, последовательно понижая значения t от 4 до 0.

     Исходя  из последних четырех формул, с  учетом граничных условий (30) получаем

     при t = 3:

     при t = 2:

     при t = 1:

     при t = 0 c учетом начальных условий (7.17) х₁(0) =-1; х₂(0) = 1:

     На  последней, нулевой итерации значения ψ₁(0) и ψ₂(0) даже не обязательно вычислять, так как уже имеется возможность удовлетворить начальным условиям (30). Последняя итерация приводит к двум линейным алгебраическим уравнениям с двумя неизвестными:

                                          (33)

     Решая эти уравнения, получаем: ψ₁(4) = 4,262; ψ₂(4) = -0,9769. Если теперь подставить найденные значения ψ₁(4) и ψ₂ (4) в правые части проведенных выше итераций, то можно вычислить искомые функции оптимального состояния x₁*(t), x₂*(t), сопряженные функции ψ₁(t)  и ψ₂(t)  согласно формулам (31) и (32) — функции оптимального управления u₁*(t) и u₂*(t).

     В рассмотренном случае решение краевой  задачи и точное оптимальное решение задачи ТОУ удалось получить в аналитической форме. Это следствие ее относительной простоты: выпуклый квадратичный функционал и линейные ограничения. В результате система конечно-разностных уравнений оказалась линейной, что позволило в аналитическом виде «протащить» до конца (до нулевой итерации) неизвестные значения ψ₁(4)  и ψ₂(4), а затем точно определить их, решая систему (33). В более сложных случаях аналитические прогонки затруднительны, а порой и просто невозможны. Нужно сразу задавать конечные значения ψ₁(4) и ψ₂(4) в числовом виде, а дойдя до конца итераций, менять их, если не выполняются условия типа (33). Такие прогонки необходимо повторить многократно, и реализация процедуры итеративных расчетов до приемлемой точности возможна только с применением ЭВМ.

 

 

Приложение 2

     Пример  2. В стандартной записи многошагового процесса (10) - (13) заданы:

 f ⁰ = х₁² , f ¹ = х₁ + 2х₂ + u, f ² = u, F(x(T)) = 0, n = 2, r = 1, |u| ≤ 1, х(0) = х₀.

      Так как на u есть ограничение, то быть уверенным в том, что u*(t) – внутренняя точка допустимой области V_u^t, нельзя. Поэтому будем исходить из дополнительного ограничения (34).

     Строим  функцию Гамильтона

H(t, х, ψ, u) = ψ₁ (х₁ + 2х₂ + u) + ψ₂ (u – х₁²).

     Из  ограничения (34) (см. рис. 1) имеем:

  при u*(t) = 1;

  при u*(t) = -1.

      Вычисляем

      следовательно,

                             (35)

      Остальные уравнения метода Лагранжа:

      Начальные условия:

x₁*(0) = x_0l,  x₂*(0) = x₀₂.

      Условия трансверсальности:

ψ₁(T) = ψ₂(T) = 0 .                                                    (36)

      Постановка  задачи метода Лагранжа закончена. Теперь приступаем к ее решению. Из условий трансверсальности (36) имеем

ψ₁(T) + ψ₂(T) = 0 .

откуда, используя выражение (35) для u*(t), получаем

      Для удобства вычислений постараемся выразить зависимости от t через зависимости от t + 1:

u*(t) = x₂*(t + 1) = sign (ψ₁(t + 1) + ψ₂(t + 1));

2х₁*(t) + ψ₁(t) = ψ₁ (t +1);

ψ₂(t) = 2ψ₁(t + 1);

x₁*(t) + 2x₂*(t) = x₁*(t + 1) - x₂*(t + 1);

x₂*(t) = sign(ψ₁(t) + ψ₂(t));

x₁*(0) = x₀₁ ; x₂*(0) = x₀₂;

ψ₁(T) = 0; ψ₂(T) = 0.

      Вследствие  наличия операции

краевая задача нелинейная.

      Проведем  две смежные итерации, они должны прояснить ситуацию в направлении решения.

      Первая  итерация:

t+ 1 = T;  t= T - 1.

      Из условий трансверсальности (36) имеем ψ₁(T) + ψ₂(T) = 0 . Положим х*(Т) = α, где α - пока неопределенное число, |α| ≤ 1. Принимаем произвольное значение х*(Т) = β. Значения α и β должны быть определены, как мы уже знаем, на последней итерации, исходя из требования, чтобы имело место х₁*(0) = х₀₁,  х₂* = х₀₂..

      Из  краевой задачи после простых  преобразований получаем:

2х₁*(T - 1) + ψ₁(T -1) = 0;

ψ₂(Т - 1) = 0;

х₁*(Т- 1) + 2х₂*(Т- 1) = β - α;

х₂*(Т- 1) = sign (ψ₁(T - 1) + ψ₂(Т- 1)).

      После исключения неизвестных и ряда упрощений  приходим к решению нелинейного  уравнения:

      Решение этого уравнения, как нетрудно убедиться  посредством прямой подстановки, имеет следующий вид:

      Рассматривать нужно все варианты полученного  решения, так как α и β пока не определены. Известно только, что |α| ≤ 1, а β — произвольное число. Последовательно определяем х₁*(Т – 1), ψ₁(T – 1), ψ₂ (Т— 1). Здесь х₂*(T – 1) – различные варианты представленного выше решения.

      Вторая  итерация:

t + 1 = T – 1;  t= Т – 2.

      Выполняя  действия, аналогичные первой итерации, и исключая все переменные, кроме х₂*(Т – 2), получим нелинейное уравнение:

х₂*(Т - 2) = sign (4х₂*(Т - 2) + 3ψ₁(T - 1) - 2х₁*(T - 1) + 2х₂*(Т - 1)).

      Здесь ψ₁(T - 1); х₁*(T - 1), х₂*(T - 1) - определенные выше функции неизвестных величин α и β.

      Таким образом, на n-й итерации получим уравнение

х₂*(Т - п) = sign (А_n х₂*(Т - п) + F_n (α, β)),

где А_n – рассчитанный коэффициент;

      F_n – заданная функция α и β.

      Аналитическое решение такого уравнения, как видим, оказывается трудоемким и громоздким. Проще на первой итерации задавать численные значения α и β, с помощью ЭВМ доводить решение до конца, т.е. до начальных значений, сравнивать полученные х₁*(0) с заданными. При несовпадении заданных и полученных значений изменять α и β и вновь повторять серии расчетов до приемлемой близости начальных условий.

 

Приложение 3.

Программная реализация.

program MO_KR;

uses crt;

var

   phi1, phi2: real;

t:integer;

function x11(phi1,phi2:real):real;

begin

x11:=-8+0.5*phi1-5.5*phi2;