Автор работы: Пользователь скрыл имя, 14 Марта 2013 в 12:25, доклад
Апериодическое звено II-ого порядка
1. Передаточная функция.
Передаточная функция апериодического звена II-ого порядка имеет вид:
W(s) = K/[(T1·s + 1)·(T2·s + 1)]
ЛЕКЦИЯ 4.
Апериодическое звено II-ого порядка
1. Передаточная функция.
Передаточная функция апериодического звена II-ого порядка имеет вид:
W(s) = K/[(T1·s + 1)·(T2·s + 1)]
где K – коэффициент усиления; T1 и T2 – постоянные времени, также характеризующая инерционность системы, т.е. продолжительность переходного процесса в ней. (T1 > 0 и T2 > 0).
2. Математическое описание звена.
Апериодическое звено II-ого порядка описывается дифференциальным уравнением второго порядка:
(T1T2)·d2у(t)/dt2 + (T1 + T2)·dу(t)/dt + у(t) = K·х(t)
3. Физическая реализация звена.
Апериодическое звено II-ого порядка можно рассматривать как комбинацию двух апериодических звеньев I-ого порядка, т.е. это могут быть различного рода двухъемкостные (двухкаскадные) тепловые, гидравлические и пневматические объекты. Примером апериодического звена II-ого порядка также является двухфазный асинхронный электродвигатель.
4. Переходная характеристика.
Переходная характеристика апериодического звена II-ого порядка имеет вид:
h(t) = L-1[W(s)·1(t)] = L-1[K/[s·(T1·s + 1)·(T2·s + 1)]] =
= K·[1 – (T1/(T1 – T2))·e-t/T1 – (T2/(T2 – T1))·e-t/T2]
В частном случае, когда T1 = T2 = T аналитическое выражение для переходной характеристики имеет несколько иной вид:
h(t) = L-1[W(s)·1(t)] = L-1[K/[s·(T·s + 1)2]] =
= K·[1 – e-t/T – (t/T)·e-t/T]
Рис. 4.1. Переходная характеристика апериодического звена П-го порядка.
Переходный процесс
Время регулирования Tу (время переходного процесса) для апериодического звена II-ого порядка в 3 – 5 раз превышает значение большей из постоянных времени.
Tу ≈ (3 ÷ 5)·T2
4. Весовая функция.
Весовая функция апериодического звена II-ого порядка имеет вид:
w(t) = L-1[W(s)] = L-1[K/ [(T1·s + 1)·(T2·s + 1)]] =
= K·[(1/(T1 – T2))·e-t/T1 + (1/(T2 – T1))·e-t/T2]
В частном случае, когда T1 = T2 = T аналитическое выражение для весовой функции имеет несколько иной вид:
w(t) = L-1[W(s)] = L-1[K/ (T1·s + 1)2] =
= (K·t/T2)·e-t/T
Для весовой функции апериодического звена II-ого порядка характерно плавное изменение амплитуды с максимумом: 1) в точке t = T для случая, когда T1 = T2 = T; 2) в точке t = TП (приведенная постоянная времени) для случая, когда T1 ≠ T2.
Приведенная постоянная времени Tп определяется по формуле:
Рис. 4.2. Весовая характеристика апериодического звена П-го порядка.
5. Частотные характеристики.
Частотные характеристики (АФЧХ, АЧХ, ФЧХ и ЛАХ) апериодического звена II-ого порядка имеют достаточно сложный аналитический вид.
Переход к асимптотической ЛАХ: Будем считать, что T1 > T2. Аналогично случаю апериодического звена I-ого порядка вводим сопрягающие частоты w1 = 1/T1 и w2 = 1/T2, которые делят весь частотный диапазон на три участка: область низких частот, область высоких частот и промежуточную область.
Область низких частот: w << w1; можно пренебречь выражениями под логарифмами. Получаем: L(w) = 20lgK. Это горизонтальная прямая.
Область высоких частот: w >>w2; в логарифмах можно пренебречь единицами. Получаем L(w) = 20lgK – 20lgT1w – 20lgT2w. Это – уравнение прямой с наклоном -40дб/декаду.
Промежуточная область частот: w1 > w > w2. Строим прямую, соединяющую оба предыдущих участка.. Получаем L(w) = 20lgK – 20lgT1w. Это – уравнение прямой с наклоном -20дб/декаду.
Рис. 4.3. АФЧХ, АЧХ, ФЧХ, ЛАХ и ЛФХ апериодического звена II-ого порядка.
Колебательное звено
1. Передаточная функция.
Передаточная функция колебательного звена имеет вид:
W(s) = K/[T2·s2 + 2T·ξ·s + 1]
где K – коэффициент передачи; T – постоянная времени, характеризующая инерционность системы, т.е. продолжительность переходного процесса в ней. (T > 0); ξ – коэффициент (декремент) затухания, который характеризует рассеяние энергии в звене ( 0 < ξ < 1).
При ξ 1 колебательное звено превращается в апериодическое звено П-го порядка.
2. Математическое описание звена.
Колебательное звено описывается дифференциальным уравнением второго порядка:
T2·d2у(t)/dt2 + 2T ξ·dу(t)/dt + у(t) = K·х(t)
3. Физическая реализация звена.
Примером колебательного звена является электрический колебательный контур, груз на пружине, маятник, стрелочный прибор.
4. Переходная характеристика.
Переходная характеристика колебательного звена имеет вид:
h(t) = L-1[W(s)/s)] = L-1[K/[s·(T2s2 + 2T ξs +1)]] =
Переходная функция имеет достаточно сложный вид, но наиболее характерно то, что имеется экспоненциальное затухание переходного процесса с коэффициентом - ξ/T, а также колебательность с частотой .
Здесь важно отметить, что частота зависит от коэффициента затухания. При ξ → 0 ωк → 1/T; при ξ → 1 ωк → 0.
5. Весовая функция.
Весовая функция колебательного звена имеет вид:
w(t) = L-1[W(s)] = L-1[K/(T2s2 + 2T ξ s +1)] =
Рис. 4.4. Переходная и весовая характеристики колебательного звена.
6. Частотные характеристики.
Частотные характеристики колебательного звена имеют следующий вид:
W(jω) = K/(T2·(–jω)2 + 2T ξ ·jω + 1) =
Переход к асимптотической ЛАХ: заменяем истинную ЛАХ – ломаной асимптотической. Выделим области низких и высоких частот и по отдельности рассмотрим поведение ЛАХ в этих областях.
Область низких частот: Tw << 1; т.е. w << 1/T; можно пренебречь выражением T2w2. Получаем: L(w) = 20lgK. Это горизонтальная прямая.
Область высоких частот: Tw >> 1; т.е. w >> 1/T; можно пренебречь 1 в сравнении с выражением T2w2. Получаем L(w) = 20lgK – 40lg(Tw). Это – уравнение прямой с наклоном -40дб/декаду.
Рис. 4.5. АФЧХ, ЛАХ и ЛФХ колебательного звена.
Точке пересечения этих прямых соответствует сопрягающая частота ω1 = 1/T.
Принципиальное отличие ЛАХ колебательного звена от ЛАХ инерционных звеньев состоит в том, что в районе сопрягающей частоты ωс = 1/T имеется максимум (так называемый "горб"), из-за чего поведение асимптотической ЛАХ в этой области может существенно отличаться от истинной. Это явление называется резонансом. При этом максимум усиления амплитуды достигается при частоте:
, а .
Как видно из приведенного выражения, резонанс в колебательном звене может возникнуть только при малых значениях a ( ), т.е. когда рассеяние энергии во внешнюю среду невелико.
Также надо отметить, что сопрягающая частота (ωс), частота собственных колебаний (ωк) и резонансная частота (ωmax) колебательного звена не совпадают. Однако при малых значениях параметра ξ, когда явление резонанса проявляется достаточно сильно, разница между ωс, ωк и ωmax мала, и на практике эти частоты обычно считают равными ω* = 1/T.
Интегрирующее звено
1. Передаточная функция.
Передаточная функция интегрирующего звена имеет вид:
W(s) = K/s = 1/T·s , где K – коэффициент усиления; T – постоянная времени (время интегрирования); T = 1/K.
2. Математическое описание звена.
Интегрирующее звено описывается дифференциальным уравнением первого порядка:
dу(t)/dt = K·х(t)
T·dу(t)/dt = х(t)
В интегральной форме это уравнение имеет вид:
или
3. Физическая реализация звена.
Примерами интегрирующего звена являются: резервуар, наполняемый жидкостью; электродвигатель постоянного тока; гидроцилиндр с распределительным золотником, операционный усилитель в режиме интегрирования.
4. Переходная функция.
Переходная функция интегрирующего звена имеет вид:
h(t) = L-1[W(s)/s] = L-1[K/s2] = K·t = t/T
5. Весовая функция.
Весовая функция интегрирующего звена имеет вид:
w(t) = L-1[W(s)] = L-1[K/s] = K·1(t) = (1/T)·1(t)
Рис. 4.6. Переходная и весовая функции интегрирующего звена.
6. Частотные характеристики.
Найдем АФЧХ, АЧХ, ФЧХ и ЛАХ интегрирующего звена:
W(jω) = K/jω = Kω·j/ω2 = 0 – (K/ω)·j = 0 – (1/Tω)·j
A(ω) = = K/ω = 1/T ω
φ(ω) = arctg(-(K/ω)/0) = –arctg(∞) = –π/2 = –900
L(ω) = 20·lg[A(ω)] = 20·lg(K/ω) = 20lg(K) – 20lg(ω) = –20 lg(Tω)
Таким образом, интегрирующее
звено ослабляет высокие частот
Рис. 4.7. АФЧХ и ЛАХ интегрирующего звена.