Определённый интеграл

Лекция 17. Определённый интеграл.

§75        Определённый интеграл.

Пусть функция y=f(x) определена на отрезке [а, b], а<b. Разобьем этот отрезок на n произвольных частей точками а=x0<x1<x2<…<xn=b.

Обозначим это разбиение через , а точки x0, x1, x2, …, xn, будем называть точками разбиения. В каждом из полученных частичных отрезков [хi-1, хi] выберем произвольную точку i(хi-1iхi). Через хi - обозначим разность хi-хi-1 которую будем называть длиной частичного отрезка [хi-1, хi]. Составим сумму: , которую назовём интегральной суммой для функции f(x) на [a; b], соответствующей данному разбиению [a; b] на частичные отрезки и данному выбору промежуточных точек i.

Геометрический смысл суммы  сумма площадей прямоугольников с основаниями x1, x2, …, xn и высотами f(1), f(2),…, f(n), если f(x)0.

Определение 1:  Если существует конечный предел I интегральной суммы при (0 – наибольшая из длин всех частичных промежутков) хi0, то этот предел называется определённым интегралом от функции f(x) по отрезку [а, b].

В этом случае f(x) – называется интегрируемой на [а, b]. Числа а и b – называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, f(x) – называется подынтегральной функцией, f(x)dx – называется подынтегральным выражением, х – переменная интегрирования, [а, b] – называется областью (отрезком) интегрирования.

Теорема 1:  Если функция у=f(x) непрерывна на отрезке [а, b], то определённый интеграл существует.

Отметим, что непрерывность функции является достаточным условием её интегрируемости. Однако определённый интеграл может существовать и для некоторых разрывных функций, в частности для всякой ограниченной на отрезке функции, имеющей на нём конечное число точек разрыва.

9

§76        Геометрический смысл определённого интеграла.

Рассмотрим определённый интеграл: ,у которого а<b.

       если функция положительна (или неотрицательна) на [а, b], то интеграл положителен и численно равен площади криволинейной трапеции :

       если функция отрицательна (или неположительна) на [а, b], то интеграл отрицателен и по абсолютной величине равен площади криволинейной трапеции :

       если функция один раз меняет знак на [а, b], то интеграл равен разности площадей криволинейных трапеций, а именно из площади криволинейной трапеции расположенной выше оси абсцисс вычитается площадь криволинейных трапеций, расположенной ниже оси абсцисс :

       если функция несколько раз меняет знак на [а, b], то интеграл равен разности двух чисел, одно из которых (уменьшаемое) есть сумма площадей криволинейных трапеций, расположенных выше оси абсцисс, а одно другое (вычитаемое) есть сумма площадей криволинейных трапеций, расположенных ниже оси абсцисс :

§77        Основные свойства определённого интеграла.

       Если а=b, то ;

       Если а>b, то ;

       Каковы бы ни были числа а, b и с, всегда имеет место равенство: ;

       Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла: ;

       Определённый интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме их интегралов: ;

       Если всюду на отрезке [а, b] функция f(x)0, то ;

       Если всюду на отрезке [а, b] функция f(x)g(x), то .

Теорема о среднем: Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b], то на этом отрезке существует точка с такая, что.

Геометрический смысл теоремы: величина определённого интеграла при f(x)0 равна площади прямоугольника, имеющего высоту f(с) и основание b-a.

Теорема (необходимое условие интегрируемости): Если функция f(x) интегрируема на отрезке [а, b], то она ограничена на этом отрезке. Необходимое условие не является достаточным.

Теорема (достаточное условие интегрируемости): Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b], то она интегрируема на нём.

§78        Формула Ньютона Лейбница.

Теорема (основная теорема интегрального исчисления): Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b]. Тогда, если функция F(x) является некоторой первообразной на этом отрезке, то справедлива следующая формула (Ньютона-Лейбница):

Замена переменной в определённом интеграле (или подстановка в определённом интеграле):

Интегрирование по частям в определённом интеграле:

§79        Геометрические приложения определённого интеграла.

Длина дуги плоской линии:

       в прямоугольных координатах:

Пусть плоская кривая L задана функцией непрерывной вместе со своей производной на отрезке [а, b], аxb, тогда длина дуги вычисляется по формуле:

или

       заданной параметрически:

Пусть кривая L задана параметрическими уравнениями: , t, (где  и  значения параметра t, соответствующие значениям  x=а и x=b, то есть а=() и b=()), тогда длина дуги вычисляется по формуле:

или

       в полярных координатах:

Пусть кривая L задана в полярных координатах функцией непрерывной вместе со своей производной на отрезке [,], , тогда длина дуги вычисляется по формуле ( и  значения ):

или

Если кривая L задана в полярных координатах функцией непрерывной вместе со своей производной на отрезке [,], , тогда длина дуги вычисляется по формуле( и  значения ):

или

Площадь криволинейной трапеции:

       в прямоугольных координатах:

Пусть на плоскости Оху дана фигура, ограниченная отрезком [а, b] оси Ох, прямыми х=а и х=b  и графиком непрерывной функции . Такую фигуру называют криволинейной трапецией.

       заданной параметрически:

При вычислении площади криволинейной трапеции в случае, когда верхняя граница задана параметрическими уравнениями: , t, (где  и  значения параметра t, соответствующие значениям  x=а и x=b, то есть b=() и а=()), тогда применима формула:

или

       в полярных координатах:

При вычислении площади криволинейного сектора (ограниченного неотрицательной кривой и двумя полярными радиусами, составляющими с полярной осью углы 1= и 2=  применима формула:

9

Площадь поверхности вращения:

       в прямоугольных координатах:

       заданной параметрически:

Если поверхность получается вращением вокруг оси Ох кривой, заданной параметрическими уравнениями , t, (где (t)0  и  значения параметра t, соответствующие значениям  x=а и x=b, то есть b=() и а=()), тогда применима формула:

или

       в полярных координатах:

Если кривая задана в полярных координатах уравнением ρ=ρ(φ), ,, где ρ(φ) имеет непрерывную производную на [, ], тогда применима формула:

или

9

Объём тела вращения:

       в прямоугольных координатах:

9