Основные понятия, методы и приемы математической статистики

Назовем условным средним  среднее арифметическое значений случайной величины , соответствующих значению .

Уравнение называют уравнением регрессии на ; функцию называют регрессией на , а ее график - линией регрессии.

Если функция регрессии  известна, то можно по значению одной случайной величины прогнозировать значение другой случайной величины. Корреляция называется линейной, если линия регрессии является прямой, т. е. .

Ломаная, соединяющая точки  , называется эмпирической (опытной) линией регрессии. Если точки располагаются около некоторой прямой, то в качестве уравнения теоретической линии регрессии берется , где коэффициенты находятся по формулам:

; ,    определен ниже).  (7)        

 

 

 

 

 

 

            

Рис. 6

 

Ковариацией двух случайных величин  и называется числовая характеристика

.

Коэффициентом корреляции между случайными величинами и называется безразмерная величина

;                 (8)

где и - средние квадратические отклонения величин и .

Коэффициент корреляции характеризует степень тесноты линейной зависимости между случайными величинами и , при этом связь тем теснее, чем ближе к единице ( ). Применяется таблица Чеддока для характеристики тесноты связи между случайными величинами и :

 

 

Если  , то при возрастании одной случайной величины другая имеет тенденцию в среднем возрастать. Если , то при возрастании одной случайной величины другая имеет тенденцию в среднем убывать.

Если  , то линейная корреляционная связь отсутствует, и случайные величины называются некоррелированными. Если , то связь между случайными величинами и достаточно вероятна.

Чтобы сделать обоснованные выводы о тесноте зависимости между  случайными величинами и по опытным данным, нужно установить значимость коэффициента корреляции, т. е. проверить нулевую гипотезу о том, что .

По опытным данным вычисляют  критерий проверки

.             (9)

При заданном уровне значимости и числу степеней свободы находят критическое значение для двусторонней критической области по таблице Стьюдента (смотрите таблицу прил. 3).

Если  , то выдвинутую гипотезу принимают, т. е. выборочный коэффициент незначим, а случайные величины и некоррелированы.

Если  - гипотезу отвергают, т. е. выборочный коэффициент корреляции значимо отличается от нуля, а случайные величины коррелированны.

 

Пример 4. Вычислить выборочный коэффициент корреляции , проверить его значимость и найти уравнение линии регрессии.

 

 

Решение. Найдем условные средние, соответствующие значению , по формуле . Тогда ;  и т. д.

Составим корреляционную таблицу:

 

 

 

 

 

 

 

Контроль расчетов: - объем выборки.

Для построения эмпирической линии  регрессии точки  , ,…, соединим ломаной линией.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 7

 

Для нахождения выборочного коэффициента линейной корреляции найдем

;

.

Вспомогательно найдем:

;

;

.

Тогда

.

.

Определим ковариацию между и по формуле

.

Находим коэффициент корреляции по формуле (8):

.

Имеем , следовательно, связь между случайными величинами и достаточно вероятна.

Для проверки значимости коэффициента корреляции проверим нулевую гипотезу ; конкурирующая гипотеза .

Найдем по опытным данным величину

.

Найдем критическое значение по таблице критерия Стьюдента (прил. 3) при уровне значимости и числе степеней свободы . Тогда , поэтому гипотезу отвергаем и принимаем гипотезу , т. е. случайные величины и коррелированы.

По виду эмпирической линии регрессии  можно предположить, что между  случайными величинами существует линейная корреляция, т. е. . Находим коэффициенты и по формулам (7):

;   .

Тогда уравнение линейной регрессии

.

 

Для построения полученной прямой возьмем две точки

 

 

График прямой достаточно близко расположен по отношению к опытной линии регрессии. Коэффициент корреляции показывает, что зависимость между случайными величинами и заметная и с увеличением значений одной случайной величины значения другой случайной величины имеют тенденцию в среднем увеличиваться.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение.

Возникновение и развитие математической статистики, как и других математических дисциплин, определялось потребностями  практики; в настоящее время ее методы широко используются в различных  технических дисциплинах. Они играют важную роль в экономических исследованиях, сельском хозяйстве, биологии, психологии, медицине, физических науках, геологии, социологических исследованиях  и других, считавшихся долго далекими от математики, науках.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы.

1. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1977. – с. 286.
2. Демиденко Е. З. Линейная и нелинейная регрессия. – М.: Финансы и статистика, 1981.
3. Колмогоров А. Н. и др. Введение в теорию вероятностей. – М.: Наука, 1982. – с. 64.
4. Ивченко Г.И. Медведев Ю.И. Математическая статистика: Учебное пособие для втузов. - М.: Высшая школа,1984.-с.6-7
5. Чистяков В. П. Курс теории вероятностей. – М.: Наука, 1982. – с. 207

                                                        1