Приближенное решение дифференциальных уравнений

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 25 Февраля 2012 в 19:29, реферат

Краткое описание

Приближённое решение дифференциальных уравнений в виде аналитического выражения может быть найдено методом рядов (степенных, тригонометрических и др.), методом малого параметра, последовательных приближений методом, Ритца и Галёркина методами, Чаплыгина методом. Каждый из этих методов определяет один или несколько бесконечных процессов, с помощью которых при выполнении определённых условий можно получить точное решение задачи. Для получения Приближённое решение останавливаются на некотором шаге процесса.

Содержимое работы - 1 файл

матем.docx

— 60.29 Кб (Скачать файл)

Приближённое  решение дифференциальных уравнений, получение аналитических выражений (формул) или численных значений, приближающих с той или иной степенью точности искомое частное решение дифференциального уравнения. 
 
  Приближённое решение дифференциальных уравнений в виде аналитического выражения может быть найдено методом рядов (степенных, тригонометрических и др.), методом малого параметра, последовательных приближений методом, Ритца и Галёркина методами, Чаплыгина методом. Каждый из этих методов определяет один или несколько бесконечных процессов, с помощью которых при выполнении определённых условий можно получить точное решение задачи. Для получения Приближённое решение останавливаются на некотором шаге процесса. 
 
  Если решение ищется в виде бесконечного ряда, то за Приближённое решение принимают конечный отрезок ряда. Например, пусть требуется найти решение дифференциального уравнения y" = f (x, у), удовлетворяющее начальным условиям у (х0) = y0, причём известно, что f (x, у) — аналитическая функция х, у в некоторой окрестности точки (х0, y0). Тогда решение можно искать в виде степенного ряда: 
 
y (x) - y (x0) = . 
 
  Коэффициенты Ak ряда могут быть найдены либо по формулам: 
 
A1 = y’0 = f (x0, y0); 
 
 
 
 
 
либо с помощью неопределенных коэффициентов метода. Метод рядов позволяет находить решение лишь при малых значениях величины х — х0
 
  Часто (например, при изучении периодических движений в небесной механике и теории колебаний) встречается случай, когда уравнение состоит из членов двоякого вида: главных и второстепенных, причём второстепенные члены характеризуются наличием в них малых постоянных множителей. Обычно после отбрасывания второстепенных членов получается уравнение, допускающее точное решение. Тогда решение основного уравнения можно искать в виде ряда, первым членом которого является решение уравнения без второстепенных членов, а остальные члены ряда расположены по степеням малых постоянных величин, входящих во второстепенные члены (малых параметров). При этом уравнения для коэффициентов при степенях малых параметров линейны, что облегчает их решение. В роли малого параметра иногда выступают начальные значения (например, при изучении колебаний около положения равновесия). Метод малого параметра был использован при решении задачи о возмущённом движении в небесной механике Л. Эйлером и П. Лапласом. Теоретическое обоснование этого метода дали А. М. Ляпунов и А. Пуанкаре. 
 
  К численным методам относятся методы, позволяющие находить Приближённое решение при некоторых значениях аргумента (т. е. получать таблицу приближённых значений искомого решения), пользуясь известными значениями решения в одной или нескольких точках. Такими методами являются, например, метод Эйлера, метод Рунге и целый ряд разностных методов. 
 
  Поясним эти методы на примере уравнения  
 
y’’ = f (x, у) 
 
с начальным условием у (х0) = y0. Пусть точное решение этого уравнения представлено в некоторой окрестности точки х0 в виде ряда по степеням h = х — х0 Основной характеристикой точности формул Приближённое решение дифференциальных уравнений является требование, чтобы первые k членов разложения в ряд по степеням h Приближённое решение совпадали с первыми k членами разложения в ряд по степеням h точного решения. 
 
  Основная идея метода Эйлера заключается в применении метода рядов для вычисления приближённых значений решения у (х) в точках x1, x2,..., xn некоторого фиксированного отрезка [х0, b] Так, для того чтобы вычислить у (х1), где х1 = х0 + h, h = (b — x0)/n, представляют у (х1) в виде конечного числа членов ряда по степеням h = х1 — х0. Например, ограничиваясь первыми двумя членами ряда, получают для вычисления у (xk) формулы: 
 
,  
 
Это т. н. метод ломаных Эйлера (на каждом отрезке [xk, xk+1] интегральная кривая заменяется прямолинейным отрезком — звеном ломаной Эйлера). Погрешность метода пропорциональна h2
 
  В методе Рунге вместо того, чтобы отыскивать производные, находят такую комбинацию значений f (x, у) в некоторых точках, которая даёт с определённой точностью несколько первых членов степенного ряда для точного решения уравнения. Например, правая часть формулы Рунге: 
 

 
где 
 

 

 

 
 
 
дает первые пять членов степенного ряда с точностью до величин порядка h5
 
  В разностных формулах Приближённое решение удаётся несколько раз использовать уже вычисленные значения правой части. Решение ищется в виде линейной комбинации у (xi), hi и разностей Dihj, где 
 
hj = hf (xj, yj); Dhj = hj+1 - hj
 
Dihj = Di-1hj+1 - Di-1hj
 
  Примером разностной формулы Приближённое решение является экстраполяционная формула Адамса. Так, формула Адамса, учитывающая «разности» 3-го порядка: 
 
 
 
даёт решение у (х) в точке xk с точностью до величин порядка h4
 
  Для уравнений 2-го порядка можно получить формулы численного интегрирования путём двукратного применения 
 
 

 
Формула

 
k = 2

 
k = 3

 
k = 4

 
(1 + x)3 » 1 + 3x

 
0,04

 
0,012

 
0,004

 

 
0,06

 
0,022

 
0,007

 

 
0,19

 
0,062

 
0,020

 

 
0,20

 
0,065

 
0,021

 

 
0,31 (17°48")

 
0,144 (8°15")

 
0,067 (3°50")

 

 
0,10 (5°43")

 
0,031 (l"48")

 
0,010 (0°34")

 

 
0,25 (14°8")

 
0,112 (6°25")

 
0,053 (3°2")

 

 
0,14

 
0,47

 
0,015

 

 
0,04

 
0,014

 
0,004

 

 
0,25

 
0,119

 
0,055


 
формулы Адамса. Норвежский математик  К. Стёрмер получил формулу: 
 
 
 
особенно удобную для решения уравнений вида у"" = f (x, у). По этой формуле находят D2yn-1, а затем yn+1 = yn +Dyn+1 + D2yn-1. Найдя yn+1, вычисляют y’’n+1 = f (xn+1, yn+1), находят разности и повторяют процесс далее. 
 
  Указанные выше численные методы распространяются и на системы дифференциальных уравнений. 
 
  Значение численных методов решения дифференциальных уравнений особенно возросло с распространением ЭВМ. 
 
  Кроме аналитических и численных методов, для Приближённое решение дифференциальных уравнений применяются графические методы. В простейшем из них строят поле направлений, определяемое дифференциальным уравнением, т. е. в некоторых точках рисуют направления касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Затем проводят кривую так, чтобы касательные к ней имели направления поля (см. Графические вычисления).

 

Дифференциальным  уравнением первого порядка называется уравнение вида F(x,y,у')=0 или у'=f(x,y). Функция y(x), при подстановке которой уравнение обращается в тождество, называется решением дифференциального уравнения.

Рассмотрим несколько  численных методов решения дифференциальных уравнений первого порядка. Описание численных методов приводится для  уравнения в виде у'=f(x,y).

  1. Метод Эйлера.

Рассмотрим два варианта вывода расчетных формул

    • вариант 1 (аналитический) у=f (x,y)

 

y1=y0+h*f(x0,y0)

x1=x0+h

Расчетные формулы для 1-го шага

yi+1=yi+h*f(xi,yi)

xi+1=xi*h

Расчетные формулы для i-го шага


 

    • вариант 2 (графический)

y1=y0+f(x0,y0)*h;

x1=x0+h

yi+1=yi+h*f(xi,yi)

k1=h*f(xi,yi)

yi+1=yi+ki

xi+1=xi+h

Аналогично варианту 1


    •  

 

Следующие расчетные формулы  приводятся без вывода.

  1. Модифицированный метод Эйлера (вариант 1).

уi+1i+hf(xi+h/2, yi+hf(xi,yi)/2),

xi+1=xi+h.

  1. Модифицированный метод Эйлера (вариант 2).

уi+1i+(h/2)[f(xi,yi)+f(xi,+h,yi+hf(xi,yi))],

xi+1=xi+h.

  1. Метод Рунге-Кутта третьего порядка.

уi+1=уi+(k1+4k2+k3)/6,

k1=hf(xi, yi),

k2=hf(xi+h/2, yi+k1/2),

k3=hf(xi+h, yi+2k2-k1),

xi+1=xi+h.

  1. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка.

уi+1i+(k1+2k2+2k3+k4)/6,

k1=hf(xi,yi),

k2=hf(xi+h/2, yi+k1/2),

k3=hf(xi+h/2, yi+k2/2),

k4=hf(xi+h, yi+k3),

xi+1=xi+h,

где уi+1i - значения искомой функции в точках xi+1, xi соответственно, индекс i показывает номер шага интегрирования, h - шаг интегрирования. Начальные условия при численном интегрировании учитываются на нулевом шаге: i=0, x=x0, y=y0.

Пример. Численно и аналитически решить дифференциальное уравнение dy/dx=x2 при y|x=0 =1. Определить значение функции при xk=1, h=1.

Решение задачи приведено  в таблице.

 

Таблица

N

Этап программирования

Выполнение

1.

Постановка задачи

Решить дифференциальное уравнение dy/dx=x2 при y|x=0 =1. Определить знач. функции при xk=1, h=1

2.

Математическое  описание

  1. Аналитическое решение.

dy/dx=x2

y=1+x3/3,

yk=y(1)=1+1/3=4/3.

  1. Метод Эйлера. 
  2. Модифицированный метод Эйлера 1. 
  3. Модифицированный метод Эйлера 2. 
  4. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка. 

3.

Разработка структограммы

Выполнить самостоятельно

4.

Написание программы

Выполнить самостоятельно

5.

Отладка и получение  результатов

Выполнить самостоятельно


 

Контрольное задание. Лабораторная работа 5.

Численное решение  дифференциальных уравнений

Задание.

  1. Решить дифференциальное уравнение аналитически и численно указанными методами для двух значений шага интегрирования h=0.01; 0.001. Результаты расчета вывести на экран и распечатать в виде таблицы.
  2. Построить графики функций y(x) (5 графиков).

 

Варианты уравнений и  методов их решения приведены  в таблице 

Оформление результатов  расчета

 

Таблица

х

Решения уравнения, у(x)

Аналит

Численное

метод 1

Метод 2

 

 

h=0.01

h=0.001

h=0.01

h=0.001

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Варианты уравнений и  методов их решения

 

Таблица

Вар.

Вид уравнения

Метод

Вар.

Вид уравнения

Метод

1

у'=(xy2+x)/(y-x2y)

1,4

14

у'=cos(t)-y

3,5

2

у'=(1-2x)/y2

2,4

15

y'=exp(bx)-ay

1,4

3

у'=(1-x2)/xy

3,4

16

У'=-2y/(y2-6x)

2,4

4

у'=(y2-y)/x

1,5

17

у'=1/(2x-y2)

3,4

5

y'=(1+y)/(tg(x)

2,5

18

у'=sec(x)- y tg(x)

1,5

6

у'=exp(x)-1

3,5

19

y'=(exp(x)-y)/x

2,5

7

y'=y ln(y)/sin(x)

1,4

20

у'=1+y/(x(x+1))

3,5

8

у'=(1+y2)/(1+x2)

2,4

21

у'=(y+yx2-x2)/(x(1+x2))

1,4

9

у'=4x-2y

3,4

22

у'=cos(x-y)

2,4

10

у'=x exp(-x2)-2xy

1,5

23

у'=3x-2y+5

3,4

11

у'=2x-y

2,5

24

у'=sin(x)-y

1,5

12

у'=exp(-x)-2y

3,5

25

у'=exp(x)-y

2,5

13

у'=exp(-x)-2x

1,4

26

у'=exp(2x)-1

3,5


 

Примечание. Значение параметров a, b и начальные условия y|x=x0=y0 выбрать cамостоятельно.


Информация о работе Приближенное решение дифференциальных уравнений