Приближенное решение дифференциальных уравнений

Приближённое  решение дифференциальных уравнений, получение аналитических выражений (формул) или численных значений, приближающих с той или иной степенью точности искомое частное решение дифференциального уравнения. 
 
  Приближённое решение дифференциальных уравнений в виде аналитического выражения может быть найдено методом рядов (степенных, тригонометрических и др.), методом малого параметра, последовательных приближений методом, Ритца и Галёркина методами, Чаплыгина методом. Каждый из этих методов определяет один или несколько бесконечных процессов, с помощью которых при выполнении определённых условий можно получить точное решение задачи. Для получения Приближённое решение останавливаются на некотором шаге процесса. 
 
  Если решение ищется в виде бесконечного ряда, то за Приближённое решение принимают конечный отрезок ряда. Например, пусть требуется найти решение дифференциального уравнения y" = f (x, у), удовлетворяющее начальным условиям у (х₀) = y₀, причём известно, что f (x, у) — аналитическая функция х, у в некоторой окрестности точки (х₀, y₀). Тогда решение можно искать в виде степенного ряда: 
 
y (x) - y (x₀) = . 
 
  Коэффициенты A_k ряда могут быть найдены либо по формулам: 
 
A₁ = y’₀ = f (x₀, y₀); 
 
 
 
 
 
либо с помощью неопределенных коэффициентов метода. Метод рядов позволяет находить решение лишь при малых значениях величины х — х₀. 
 
  Часто (например, при изучении периодических движений в небесной механике и теории колебаний) встречается случай, когда уравнение состоит из членов двоякого вида: главных и второстепенных, причём второстепенные члены характеризуются наличием в них малых постоянных множителей. Обычно после отбрасывания второстепенных членов получается уравнение, допускающее точное решение. Тогда решение основного уравнения можно искать в виде ряда, первым членом которого является решение уравнения без второстепенных членов, а остальные члены ряда расположены по степеням малых постоянных величин, входящих во второстепенные члены (малых параметров). При этом уравнения для коэффициентов при степенях малых параметров линейны, что облегчает их решение. В роли малого параметра иногда выступают начальные значения (например, при изучении колебаний около положения равновесия). Метод малого параметра был использован при решении задачи о возмущённом движении в небесной механике Л. Эйлером и П. Лапласом. Теоретическое обоснование этого метода дали А. М. Ляпунов и А. Пуанкаре. 
 
  К численным методам относятся методы, позволяющие находить Приближённое решение при некоторых значениях аргумента (т. е. получать таблицу приближённых значений искомого решения), пользуясь известными значениями решения в одной или нескольких точках. Такими методами являются, например, метод Эйлера, метод Рунге и целый ряд разностных методов. 
 
  Поясним эти методы на примере уравнения  
 
y’’ = f (x, у) 
 
с начальным условием у (х₀) = y₀. Пусть точное решение этого уравнения представлено в некоторой окрестности точки х₀ в виде ряда по степеням h = х — х₀ Основной характеристикой точности формул Приближённое решение дифференциальных уравнений является требование, чтобы первые k членов разложения в ряд по степеням h Приближённое решение совпадали с первыми k членами разложения в ряд по степеням h точного решения. 
 
  Основная идея метода Эйлера заключается в применении метода рядов для вычисления приближённых значений решения у (х) в точках x₁, x₂,..., x_n некоторого фиксированного отрезка [х₀, b] Так, для того чтобы вычислить у (х₁), где х₁ = х₀ + h, h = (b — x₀)/n, представляют у (х₁) в виде конечного числа членов ряда по степеням h = х₁ — х₀. Например, ограничиваясь первыми двумя членами ряда, получают для вычисления у (xk) формулы: 
 
,  
 
Это т. н. метод ломаных Эйлера (на каждом отрезке [xk_, x_k+1] интегральная кривая заменяется прямолинейным отрезком — звеном ломаной Эйлера). Погрешность метода пропорциональна h². 
 
  В методе Рунге вместо того, чтобы отыскивать производные, находят такую комбинацию значений f (x, у) в некоторых точках, которая даёт с определённой точностью несколько первых членов степенного ряда для точного решения уравнения. Например, правая часть формулы Рунге: 
 
, 
 
где 
 
; 
 
; 
 
; 
 
 
 
дает первые пять членов степенного ряда с точностью до величин порядка h⁵. 
 
  В разностных формулах Приближённое решение удаётся несколько раз использовать уже вычисленные значения правой части. Решение ищется в виде линейной комбинации у (xi), h_i и разностей Dⁱh_j, где 
 
h_j = hf (x_j, y_j); Dh_j = h_j+1 - h_j; 
 
Dⁱh_j = D^i-1h_j+1 - D^i-1h_j. 
 
  Примером разностной формулы Приближённое решение является экстраполяционная формула Адамса. Так, формула Адамса, учитывающая «разности» 3-го порядка: 
 
 
 
даёт решение у (х) в точке x_k с точностью до величин порядка h⁴. 
 
  Для уравнений 2-го порядка можно получить формулы численного интегрирования путём двукратного применения 
 
 

Формула	k = 2	k = 3	k = 4
(1 + x)3 » 1 + 3x	0,04	0,012	0,004
	0,06	0,022	0,007
	0,19	0,062	0,020
	0,20	0,065	0,021
	0,31 (17°48")	0,144 (8°15")	0,067 (3°50")
	0,10 (5°43")	0,031 (l"48")	0,010 (0°34")
	0,25 (14°8")	0,112 (6°25")	0,053 (3°2")
	0,14	0,47	0,015
	0,04	0,014	0,004
	0,25	0,119	0,055

 
формулы Адамса. Норвежский математик  К. Стёрмер получил формулу: 
 
 
 
особенно удобную для решения уравнений вида у"" = f (x, у). По этой формуле находят D²y_n-1, а затем y_n+1 = y_n +Dy_n+1 + D²y_n-1. Найдя y_n+1, вычисляют y’’_n+1 = f (x_n+1, y_n+1), находят разности и повторяют процесс далее. 
 
  Указанные выше численные методы распространяются и на системы дифференциальных уравнений. 
 
  Значение численных методов решения дифференциальных уравнений особенно возросло с распространением ЭВМ. 
 
  Кроме аналитических и численных методов, для Приближённое решение дифференциальных уравнений применяются графические методы. В простейшем из них строят поле направлений, определяемое дифференциальным уравнением, т. е. в некоторых точках рисуют направления касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Затем проводят кривую так, чтобы касательные к ней имели направления поля (см. Графические вычисления).

 

Дифференциальным  уравнением первого порядка называется уравнение вида F(x,y,у')=0 или у'=f(x,y). Функция y(x), при подстановке которой уравнение обращается в тождество, называется решением дифференциального уравнения.

Рассмотрим несколько  численных методов решения дифференциальных уравнений первого порядка. Описание численных методов приводится для  уравнения в виде у'=f(x,y).

1. Метод Эйлера.

Рассмотрим два варианта вывода расчетных формул

• вариант 1 (аналитический) у=f (x,y)

 

y1=y0+h*f(x0,y0) x1=x0+h	Расчетные формулы для 1-го шага
yi+1=yi+h*f(xi,yi) xi+1=xi*h	Расчетные формулы для i-го шага

 

• вариант 2 (графический)

	y1=y0+f(x0,y0)*h; x1=x0+h yi+1=yi+h*f(xi,yi)
k1=h*f(xi,yi) yi+1=yi+ki xi+1=xi+h	Аналогично варианту 1

•  
  

 

Следующие расчетные формулы  приводятся без вывода.

2. Модифицированный метод Эйлера (вариант 1).

у_i+1=у_i+hf(x_i+h/2, y_i+hf(x_i,y_i)/2),

x_i+1=x_i+h.

3. Модифицированный метод Эйлера (вариант 2).

у_i+1=у_i+(h/2)[f(x_i,y_i)+f(x_i,+h,y_i+hf(x_i,y_i))],

x_i+1=x_i+h.

4. Метод Рунге-Кутта третьего порядка.

у_i+1=у_i+(k₁+4k₂+k₃)/6,

k₁=hf(x_i, y_i),

k₂=hf(x_i+h/2, y_i+k₁/2),

k₃=hf(x_i+h, y_i+2k₂-k₁),

x_i+1=x_i+h.

5. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка.

у_i+1=у_i+(k₁+2k₂+2k₃+k₄)/6,

k₁=hf(x_i,y_i),

k₂=hf(x_i+h/2, y_i+k₁/2),

k₃=hf(xi+h/2, y_i+k₂/2),

k₄=hf(x_i+h, y_i+k₃),

x_i+1=x_i+h,

где у_i+1,у_i - значения искомой функции в точках x_i+1, x_i соответственно, индекс i показывает номер шага интегрирования, h - шаг интегрирования. Начальные условия при численном интегрировании учитываются на нулевом шаге: i=0, x=x₀, y=y₀.

Пример. Численно и аналитически решить дифференциальное уравнение dy/dx=x² при y|_x=0 =1. Определить значение функции при x_k=1, h=1.

Решение задачи приведено  в таблице.

 

Таблица

N	Этап программирования	Выполнение
1.	Постановка задачи	Решить дифференциальное уравнение dy/dx=x2 при y|x=0 =1. Определить знач. функции при xk=1, h=1
2.	Математическое  описание	Аналитическое решение. dy/dx=x2 y=1+x3/3, yk=y(1)=1+1/3=4/3. Метод Эйлера.  Модифицированный метод Эйлера 1.  Модифицированный метод Эйлера 2.  Метод Рунге-Кутта четвертого порядка.
3.	Разработка структограммы	Выполнить самостоятельно
4.	Написание программы	Выполнить самостоятельно
5.	Отладка и получение  результатов	Выполнить самостоятельно

 

Контрольное задание. Лабораторная работа 5.

Численное решение  дифференциальных уравнений

Задание.

1. Решить дифференциальное уравнение аналитически и численно указанными методами для двух значений шага интегрирования h=0.01; 0.001. Результаты расчета вывести на экран и распечатать в виде таблицы.
2. Построить графики функций y(x) (5 графиков).

 

Варианты уравнений и  методов их решения приведены  в таблице 

Оформление результатов  расчета

 

Таблица

х	Решения уравнения, у(x)
	Аналит	Численное
		метод 1		Метод 2
		h=0.01	h=0.001	h=0.01	h=0.001

 

Варианты уравнений и  методов их решения

 

Таблица

Вар.	Вид уравнения	Метод	Вар.	Вид уравнения	Метод
1	у'=(xy2+x)/(y-x2y)	1,4	14	у'=cos(t)-y	3,5
2	у'=(1-2x)/y2	2,4	15	y'=exp(bx)-ay	1,4
3	у'=(1-x2)/xy	3,4	16	У'=-2y/(y2-6x)	2,4
4	у'=(y2-y)/x	1,5	17	у'=1/(2x-y2)	3,4
5	y'=(1+y)/(tg(x)	2,5	18	у'=sec(x)- y tg(x)	1,5
6	у'=exp(x)-1	3,5	19	y'=(exp(x)-y)/x	2,5
7	y'=y ln(y)/sin(x)	1,4	20	у'=1+y/(x(x+1))	3,5
8	у'=(1+y2)/(1+x2)	2,4	21	у'=(y+yx2-x2)/(x(1+x2))	1,4
9	у'=4x-2y	3,4	22	у'=cos(x-y)	2,4
10	у'=x exp(-x2)-2xy	1,5	23	у'=3x-2y+5	3,4
11	у'=2x-y	2,5	24	у'=sin(x)-y	1,5
12	у'=exp(-x)-2y	3,5	25	у'=exp(x)-y	2,5
13	у'=exp(-x)-2x	1,4	26	у'=exp(2x)-1	3,5

 

Примечание. Значение параметров a, b и начальные условия y|_x=x0=y₀ выбрать cамостоятельно.