Приложения интегралов

Пример.

Найти центроид однородного полушара радиусом R.

Введем систему координат таким  образом, чтобы полушар был расположен при z ≥ 0 и имел центр в начале координат.

 

В данной системе координат будем  искать координаты центроида (центра тяжести) тела.  
 
Очевидно, что в силу симметрии

      

Вычислим координату центра тяжести   по формуле      

Поскольку полушар однородный, то полагаем ρ(x,y,z) = ρ₀. Тогда      

В знаменателе через V обозначен объем полушара, равный      

Остается вычислить тройной  интеграл  . Для этого перейдем к сферическим координатам. При этом радиальную координату будем обозначать через r − чтобы не путать с плотностью ρ. Получаем:      

Таким образом, координата центра тяжести   равна      

Пример.

Определить массу и координаты центра тяжести единичного куба с  плотностью ρ(x,y,z) = x + 2y + 3z  
Сначала вычислим массу куба:

      

Теперь вычислим статические моменты M_xy, M_xz, M_yz.       

Аналогично находим моменты M_xz и M_yz:      

      

Вычисляем координаты центра тяжести  куба:      

2. Моменты инерции тела

Моменты инерции тела относительно координатных плоскостей Oxy, Oxz, Oyz определяются выражениями

а моменты инерции тела относительно координатных осей Ox, Oy, Oz вычисляются по формулам

Как видно, справедливы соотношения

Моментом инерции тела относительно начала координат называется интеграл

Момент инерции относительно начала координат можно выразить через  моменты инерции относительно координатных плоскостей:

Пример.

Найти момент инерции прямого круглого однородного конуса относительно его  оси. Конус имеет радиус основания R, высоту H и общую массу m .

 

Момент инерции тела относительно оси Oz выражается формулой       

Поскольку конус является однородным, то плотность γ(x,y,z) = γ₀ можно вынести за знак интеграла:

      

Перейдем к цилиндрическим координатам  с помощью замены      

Новые переменные изменяются в пределах       

Тогда момент инерции равен      

Выразим плотность γ₀ через известную массу конуса m. Так как      

то, следовательно      

Окончательно получаем      

Заметим, что момент инерции конуса не зависит от его высоты. 

3. Тензор инерции

Используя рассмотренные выше 6 чисел I_x, I_y, I_z, I_xy, I_xz, I_yz, можно составить, так называемую, матрицу инерции или тензор инерции тела:

 

Данный тензор является симметричным, и, следовательно, его можно привести к диагональному виду при определенном выборе осей Ox', Oy', Oz'. Значения диагональных элементов (после приведения тензора к диагональному виду) называются главными моментами инерции, а указанные направления − собственными векторами или главными осями инерции.  
Если тело вращается вокруг оси, не совпадающей с главной осью инерции, то оно будет испытывать вибрации при высоких скоростях вращения. Поэтому, при конструировании таких устройств необходимо, чтобы ось вращения совпадала с одной из главных осей инерции.

4. Гравитационный потенциал и сила тяготения

Ньютоновым потенциалом тела в точке P(x,y,z) называется интеграл

где ρ(ξ,η,ζ) − плотность тела, и  .  
 
Интегрирование выполняется по всему объему тела. Зная потенциал, можно вычислить силу притяжения материальной точки массы m и заданного распределенного тела с плотностью ρ(ξ,η,ζ) по формуле

 

где G − гравитационная постоянная.

2. Геометрические приложения.
1. Вычисление объемов

Объем тела U в декартовых координатах Oxyz выражается формулой

В цилиндрических координатах объем  тела равен

В сферических координатах, соответственно, используется формула

Пример.

Найти объем конуса высотой H и радиусом основания R.

 

 

Конус ограничен поверхностью   и плоскостью z = H. В декартовых координатах его объем выражается формулой      

Вычислим этот интеграл в цилиндрических координатах, которые изменяются в  пределах      

Получаем:      

Находим объем конуса:      

Пример.

Найти объем шара x² + y² + z² ≤ R².

Вычислим объем части шара, расположенной  в первом октанте (x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0), и затем умножим результат на 8. Получаем

      

В результате получена известная формула  для объема шара радиусом R.

Пример.

Найти объем тетраэдра, ограниченного  плоскостями x + y + z = 5, x = 0, y = 0, z = 0 .

Уравнение плоскости x + y + z = 5 можно переписать в виде  

Если положить z = 0, то получим  

Следовательно, область интегрирования D в плоскости Oxy ограничена прямой y = 5 − x. 

 
 
Объем тетраэдра будет равен

      

Пример.

Найти объем области, ограниченной двумя параболоидами: 

Исследуем пересечение двух параболоидов. Поскольку ρ² = x² + y², то уравнения параболоидов записываются в виде  

Полагая z₁ = z₂ для линии пересечения, получаем

                       

Этому значению ρ соответствует координата z, равная      

Объем данной области выражается с  помощью тройного интеграла в  виде      

В цилиндрических координатах интеграл равен

       

 

4. Приложения криволинейного интеграла.
1. Физические приложения.
1. Масса кривой

Предположим, что кусок проволоки  описывается некоторой пространственной кривой C. Пусть масса распределена вдоль этой кривой с плотностью ρ (x,y,z). Тогда общая масса кривой выражается через криволинейный интеграл первого рода

Если кривая C задана в параметрическом виде с помощью векторной функции  , то ее масса описывается формулой

В случае плоской кривой, заданной в плоскости Oxy, масса определяется как

или в параметрической форме

Пример.

Определить массу проволоки, имеющей  форму дуги окружности   от точки A(1,0) до B(0,1) с плотностью   

.

Окружность радиусом 1 с центром  в начале координат описывается  параметрическими уравнениями      

 где параметр t изменяется в диапазоне  . Тогда масса данного куска проволоки вычисляется следующим образом:      

Пример.

Определить массу проволоки, имеющей  форму отрезка от точки A(1,1) до B(2,4). Масса распределена вдоль отрезка с плотностью  .

Составим сначала параметрическое  уравнение прямой AB.      

где параметр t изменяется в интервале [0,1]. Тогда масса проволоки равна      

2. Центр масс и моменты инерции кривой

Пусть снова кусок проволоки  описывается некоторой кривой C, а распределение массы вдоль кривой задано непрерывной функцией плотности ρ (x,y,z). Тогда координаты центра масс кривой определяются формулами

где

− так называемые, моменты первого порядка.  
 
Моменты инерции относительно осей Ox, Oy и Oz определяются формулами

Пример.

Найти центр масс проволоки, имеющей  форму кардиоиды   , где с плотностью ρ = 1.

 

Очевидно, в силу симметрии,  . Чтобы найти координату центра масс  , достаточно рассмотреть верхнюю половину кардиоиды.  
 
Предварительно найдем полную массу кардиоиды. В полярных координатах получаем      

Вычислим момент первого порядка M_y. Используя формулу       

находим      

Полагая   (нижний и верхний пределы интегрирования становятся равными, соответственно, 0 и  ), можно записать      

Тогда      

Следовательно, координаты центра масс кардиоиды равны  .

Пример.

Вычислить момент инерции I_x проволоки в форме окружности x² + y² = a² с плотностью ρ = 1.

Уравнения окружности в параметрической  форме имеют вид      

Момент инерции I_x относительно оси Ox вычисляется по формуле       

Проводя вычисления, получаем      

3. Работа при перемещении тела в силовом поле

Работа при перемещении тела в силовом поле   вдоль кривой C выражается через криволинейный интеграл второго рода

где   − сила, действующая на тело,   − единичный касательный вектор (рисунок 1). Обозначение  означает скалярное произведение векторов   и  .  
 
Заметим, что силовое поле   не обязательно является причиной движения тела. Тело может двигаться под действием другой силы. В таком случае работа силы   иногда может оказаться отрицательной.  
 
Если векторное поля задано в координатной форме в виде

то работа поля вычисляется по формуле

В частном случае, когда тело двигается  вдоль плоской кривой C в плоскости Oxy, справедлива формула

где           .  
Если траектория движения C определена через параметр t (t часто означает время), то формула для вычисления работы принимает вид

где t изменяется в интервале от α до β.  
Если векторное поле   потенциально, то работа по перемещению тела из точки A в точку B выражается формулой

      где   − потенциал поля.

Рис.1		Рис.2

Пример.

Найти работу, совершаемую полем   при перемещении тела от начала координат O(0,0) до точки A(1,1) по траектории C, где  
 
1) С − отрезок прямой y = x; 
2) С − кривая  .

1) Вычислим работу при перемещении  вдоль прямой y = x.      

2) Определим теперь работу при  перещении вдоль кривой  .

      

 

4. Магнитное поле вокруг проводника с током (Закон Ампера)

Криволинейный интеграл от магнитного поля с индукцией   вдоль замкнутого контура C пропорционален полному току, протекающему через область, ограниченную контуром C (рисунок 2). Это выражается формулой

где   - магнитная проницаемость ваккуума, равная   Н/м.

Пример.

Вычислить индукцию магнитного поля в вакууме на расстоянии r от оси бесконечно длинного проводника с током I.

Чтобы найти магнитное поле на расстонии r от проводника, рассмотрим круговой контур радиуса r, расположенный перпендикулярно проводнику с током. Поскольку поле   направлено по касательной к круговому контуру в любой его точке, то скалярное произведение векторов   и   есть просто  . Тогда можно записать      

         

В результате получаем      

5. Электромагнитная индукция в замкнутом контуре при изменении магнитного потока (Закон Фарадея)

Электродвижущая сила ε, наведенная в замкнутом контуре C, равна скорости изменения магнитного потокаψ, проходящего через данный контур.

Пример.

Оценить значение электродвижущей  силы ε и электрического поля E, возникающих в кольце радиусом 1 см у пассажира самолета, при полете самолета в магнитном поле Земли со скоростью 900 км/ч.

Согласно закону Фарадея      

Поскольку проводящее кольцо перемещается в магнитном поле Земли, возникает  изменение магнитного потока ψ, проходящего через кольцо.  
Предположим, что магнитное поле   перпендикулярно плоскости кольца. Тогда за время   изменение потока равно      

где  , v − скорость самолета, B − индукция магнитного поля Земли. Из последнего выражения получаем       

Подставляя заданные величины      

находим значение э.д.с.:      

 Напряженность возникающего  электрического поля найдем по  формуле  . В силу симметрии, наведенное электрическое поле будет иметь постоянную амплитуду в любой точке кольца. Оно будет направлено по касательной к кольцу в любой его точке. Это позволяет легко вычислить криволинейный интеграл.      

Следовательно, напряженность электрического поля равна      

2. Геометрические приложения.
1. Длина кривой