Применение нечетких множеств при решении экономических задач

 
 
 
 
 
 

Красноярск 2011

Содержание. 

Введение………………………………………………………………………………………….3

Глава 1. Основные понятия теории множеств…………………………………………………6

1. Понятие множества………………………………………………………………………….6
2. Множества и способы их представления………………………………………….…7
3. Операции над множествами………………………………………………………….10
4. Диаграммы Эйлера-Венна ………………………………………………………...…14

 

Глава 2. Основные понятия теории нечетких множеств………………………….…………17

2.1. Основные  понятия нечетких множеств…………………………………………………..17

2.2. Операции  над нечеткими множествами……………………………………………….…21

2.3. Множества  уровня нечетких множеств……………………………………………..……22

Глава 3. Практическое применение теории нечетких множеств……………………………26

Заключение………………………………………………………………………………...……37

Список  литературы……………………………………………………………………………..38 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение. 

          Наиболее поразительным свойством  человеческого интеллекта является  способность принимать правильные  решения в обстановке неполной  и нечеткой информации.  

          Построение моделей приближенных  рассуждений человека и использование их в компьютерных системах будущих поколений представляет сегодня одну из важнейших проблем науки.

     Традиционные  компьютерные вычисления «слишком точны» для реального мира. Человечество столкнулось с проблемами, для  решения которых невозможно получить полную информацию или определение которых недостаточно полно. Казалось бы ситуация безвыходная, но благодаря развитию и совершенствованию так называемых нечетких и гибридных систем в настоящее время уже довольно обыденно воспринимаются «интеллектуальные» стиральные машины и бытовые автоматы, гиперзвуковые самолеты и самонаводящиеся ракеты и многое другое.

     В последнее время нечеткое управление является одной из самых активных и результативных областей исследований применения теории нечетких множеств. Именно это делает эту тему актуальной и интересной для изучения.

Смещение  центра исследований нечетких систем в сторону практических приложений привело к постановке целого ряда проблем таких, как новые архитектуры  компьютеров для нечетких вычислений, элементная база нечетких компьютеров и контроллеров, инструментальные средства разработки, инженерные методы расчета и разработки нечетких систем управления и многое другое.    

 В  последние 5-7 лет началось использование  новых методов и моделей в промышленности. И хотя первые применения нечетких систем управления состоялись в Европе, наиболее интенсивно внедряются такие системы в Японии. Спектр приложений их широк: от управления процессом отправления и остановки поезда метрополитена, управления грузовыми лифтами и доменной печью до стиральных машин, пылесосов и СВЧ-печей. При этом нечеткие системы позволяют повысить качество продукции при уменьшении ресурсо и энергозатрат и обеспечивают более высокую устойчивость к воздействию мешающих факторов по сравнению с традиционными системами автоматического управления.    

       Математическая теория нечетких  множеств, предложенная Л.Заде более четверти века назад, позволяет описывать нечеткие понятия и знания, оперировать этими знаниями и делать нечеткие выводы. Основанные на этой теории методы построения компьютерных нечетких систем существенно расширяют области применения компьютеров. Нечеткое управление оказывается особенно полезным, когда технологические процессы являются слишком сложными для анализа с помощью общепринятых количественных методов, или когда доступные источники информации интерпретируются качественно, неточно или неопределенно. Нечеткая логика, на которой основано нечеткое управление, ближе по духу к человеческому мышлению и естественным языкам, чем традиционные логические системы. Нечеткая логика, в основном, обеспечивает эффективные средства отображения неопределенностей и неточностей реального мира. Наличие математических средств отражения нечеткости исходной информации позволяет построить модель, адекватную реальности.

             Цель данной работы – изучение  возможности применения нечеткой  логики как инструмента для  принятия решений. Предметом изучения  работы является теория нечетких  множеств. Объект изучения работы  – методы теории нечетких множеств, применяемые для решения различных задач.

     Таким образом, задачи моей работы:

     1) Дать теоретическое описание  нечетких множеств;

     2) Рассмотреть пример описания  неопределенности с помощью нечеткого  множества;

     3) Дать описание методов принятия решений с помощью нечетких множеств;

     4) Рассмотреть принятие решений  на основе теории нечетких  множеств на примере задач.   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ.

1. Понятие множества.

 

Понятие множества было введено в научный оборот как часть системы математических знаний еще в 1872 году известным немецким математиком Георгом Кантором и заняло надлежащее место в общей структуре этой системы. Теория множеств не только существенно расширила возможности применения математических методов и помогла постановке и решению новых классов важных теоретических и прикладных задач, но и заставила в определенной мере пересмотреть методологические основы самой математики. Однако, по мнению некоторых математиков, понятие множества не способствовало успешному решению ни одной задачи, которая могла бы быть решена в рамках традиционной постановки. Однако с помощью теории множеств удалось формализовать, а следовательно, и обеспечить возможность решения многих задач, которые без такого представления вообще не могли даже рассматриваться как объекты классической математики.

Г. Кантор определял множество "как объединение в одно целое объектов, хорошо различаемых нашей интуицией или нашей мыслью". Французские математики Р. Фор, А. Кофман и М. Дени-Папен очень кстати замечают по этому поводу, что приведенное выше определение множества, сформулированное Г. Кантором, "с самого начала исключает из рассмотрения в математике множества, объекты которых плохо "определены". Так, по их мнению, "невозможно говорить о множестве идей (в прошлом или в будущем...). Кроме того, в определении требуется, чтобы объекты множества различались между собой".

Именно последнее обстоятельство играет определяющую роль, например в том, что нейтроны невозможно отличить между собой, и в реакциях столкновения нейтрона с ядром атома считается, что из ядра вылетает тот же самый нейтрон, который и столкнулся с ним в начальной фазе нейтронно-физической реакции.

Вообще же значительное число интересных и важных теоретических и практических проблем, если они и не могут быть решены с помощью теории множеств, то по крайней мере, могут быть более четко сформулированы. А ведь не зря принято считать, что правильная постановка и формализация задачи почти наполовину определяет возможность успешного ее решения.

Подчеркнем, что в любой абстрактной или прикладной задаче, использующей теорию множеств, описание множества требует, прежде всего, определениях характеристического свойства его элементов, в соответствии с которым они и могут быть объединены в это множество. 

1.2. Множества и способы их представления.

В соответствии с известным определением множества, предложенным группой французских математиков, обычно выступающих под коллективным псевдонимом Н. Бурбаки, "множество образуется из n-элементов, обладающих некоторыми свойствами и находящихся в некоторых отношениях между собой или с элементами других множеств". Будучи, по мнению Р. Фора, А. Кофмана и М. Дени-Паиена, "совершенно ясным для математиков, это предложение вызывает резкую критику со стороны логиков, которые выступают против использования антропологического понятия свойства (качества)".

Тот факт, что элемент х принадлежит базовому множеству X, принято обозначать символом , то есть . Когда же элемент x не принадлежит множеству Y, этот факт обозначается формулой . Например, число 3 принадлежит множеству N натуральных чисел, то есть . В то же время число 2,7 не принадлежит этому множеству, то есть . Можно представить себе множество, в состав которого не входит ни один элемент. Наглядным его примером может служить множество двузначных чисел из интервала [1,9]. Такое множество называется пустым и обычно обозначается символом Ø.

Те объекты, сущности или элементы, которые образуют данное множество, принято обозначать строчными латинскими буквами: или или одной буквой с нижним индексом: .Сами множества обычно принято обозначать прописными латинскими буквами: Если множество содержит конечное число элементов, его называют конечным, в противном случае множество называют бесконечным. Некоторая часть множества , образованная элементами, обладающими еще одним свойством, отличным от остальных его элементов, называется подмножеством множества .

Итак, множество как некоторое подмножество базового множества X представляет собой совокупность таких элементов этого множества , которые объединяются наличием у них некоторого характеристического свойства. Можно также представить себе множество, в состав которого не входит ни один элемент из базового множества . Такое множество, как было показано выше, принято называть пустым и обозначать символом Ø.

Перейдем теперь к вопросам о формах и способах представления множеств и о хорошо известных операциях над множествами. При этом будем считать, что множество определяет как сами элементы, так и порядок расположения элементов. В литературе обычно утверждается, что существует пять следующих основных форм представления множеств:

1. обычное перечисление всех элементов, которые в своей совокупности и образуют соответствующее множество. Одним из наглядных примеров использования этого способа является список студентов в журнале некоторой учебной группы.
2. словесное или математическое описание множества с помощью характеристического свойства его общего элемента. Такая форма является наиболее принятой для числовых множеств. Характеристическое свойство обычно записывается в виде определенной формулы или алгоритма, по которым осуществляется вычисление любого элемента в зависимости от его порядкового номера в множестве. Примером может служить описание множества нечетных чисел с помощью формулы , где число определяет номер элемента в этом множестве. Действительно, первым из этих чисел является единица, поскольку при его можно вычислить как .
3. лингвистический (словесный)  способ описания характеристического свойства общего элемента  множества в соответствии с которым его и относят к этому множеству. Примерами могут служить следующие описания:

-"множество студентов третьего курса специальности "Программное обеспечение автоматизированных систем управления";

• "множество стульев, находящихся в данной аудитории;
• "множество чисел, делящихся без остатка на три" и т.п.