Проекты матрицы

Решение однородных уравнений имеет некоторую специфику. Если (как в равной мере и ) является решением, то, будучи умноженным на произвольную константу, оно тоже будет являться решением. Поэтому в качестве собственных векторов берут такие векторы, которые имеют норму, равную единице, и тогда: 

Если все собственные  числа различны, то собственные векторы  матрицы A образуют систему n линейно независимых векторов таких, что 

6. Ортогональные  матрицы из собственных векторов 

Из правых собственных  векторов можно составить матрицу T, а из левых - матрицу , которые обладают уникальными свойствами по отношению к матрице A. 

Умножив матрицу A слева  на матрицу , а справа - на матрицу T, после несложных преобразований получим: 

. 

 Каждое скалярное  произведение в матрице, принимая  во внимание линейную независимость  собственных векторов, полученных  для различных собственных значений, можно преобразовать так: 

Поэтому, результатом  преобразования матрицы A будет диагональная матрица с собственными значениями, расположенными на диагонали: 

Если вместо A взять  единичную матрицу и проделать  аналогичные преобразования, то станет очевидным равенство , откуда следует . Последнее позволяет для преобразования матрицы A в диагональную обходиться только системой правых собственных векторов-столбцов: 
 

Последнее показывает, что умножение матрицы A на слева и на S справа, где S - произвольная не особая матрица, преобразует ее в некоторую матрицу B, которая имеет определитель, равный определителю матрицы A. Такие преобразования матриц называют эквивалентными (подобными). 

Продолжая использовать T-матрицу, несложно получить следующие  важные результаты: 

. 

7. Функции с матричным  аргументом 

Пусть теперь задана некоторая матричная функция  от матрицы A: 

. 

С другой стороны  очевидно и обратное 

, 

где - матрица с  одной единицей на i-том месте  диагонали (). 

где - проекторы матрицы A, образуемые умножением одноименных  правых и левых собственных векторов по правилам умножения прямоугольных  матриц с размерами соответственно и . Сумма проекторов . 

Проекторы обладают свойствами идемпотентных матриц, т.е. матриц, все степени которых равны  первой. Для невырожденных проекторов () матрицы A () справедливо: 

Представление функции  от матрицы A в виде взвешенной суммы  проекций называется спектральным разложением  матричной функции по собственным  значениям матрицы A: 

. 

 Если в качестве  матричных функций взять и , то их спектральные разложения будут следующими: 

8. Вычисление проекторов  матрицы 

Проекторы матрицы  можно также вычислить, воспользовавшись интерполяционным многочленом Лагранжа с матричным аргументом: 

По известному спектру  проекторы матрицы можно найти  и методом неопределенных коэффициентов. Для чего выбирают такие функции  от матрицы A, которые вычисляются  очевидным образом, например, такие: 

Записывая разложение для каждой функции, получим следующую  систему линейных уравнений относительно проекторов: 

В случае, когда в  спектре матрицы имеются кратные  собственные значения, вычисление проекторов осуществляется по интерполяционным формулам Лагранжа, учитывающим еще и заданные значения производных в отдельных  точках. Разложение матричной функции  по значениям ее на спектре в этом случае имеет вид: 

где - значения i-тых произ-водных функции в точках, соответствующих различным (не кратным) корням характеристического многочлена, 

- число кратных  корней , 

- проекторы кратных  корней, в выражении которых содержатся 

- проекторы различных  корней. 

9. Пример использования  числовых характеристик матриц 

Знание собственных  значений матрицы и ее проекторов позволяет выполнять вычисления аналитических функций получающихся, например, при решениях систем линейных дифференциальных уравнений, при исследованиях  эквивалентных матричных преобразований и пр. 

Для примера построим матрицу с заданными собственными значениями и собственными векторами, основанными на векторах . 

Сначала необходимо убедиться в линейной независимости  исходных векторов и добиться того, чтобы левые и правые одноименные  собственные векторы оказались  ортогональными, т.е. . Проверка линейной независимости может быть объединена с процессом ортогонализации заданной системы векторов методом Грама-Шмидта. 

Для заданных векторов построим систему векторов таких, что , следующим образом: 

Откуда последовательно  находятся коэффициенты : 

Взаимной ортогональности  векторов v можно было бы добиваться и так, чтобы каждый был ортогонален каждому , положив и приравняв нулю скалярные произведения : 

Определитель этой системы называют определителем  Грама: 

, 

где - матрица, в общем  случае комплексно сопряженная с  матрицей 

, составленной из  заданных векторов. 

Если грамиан положителен, а он всегда неотрицателен, то векторы линейно независимы, а если равен нулю, то зависимы. Это один из способов проверки конкретного набора векторов на их линейную независимость. 

Для заданного выше набора векторов определитель произведения матрицы X на транспонированную X* будет равен 

Таким образом, заданная система векторов линейно независима. Для построения ортонормированной  системы векторов последовательно  вычислим коэффициенты и ортогональные  векторы: 

После нормирования векторы образуют правую систему  собственных векторов. Транспонированная  Т-матрица с этими векторами  есть -матрица (); ее строки являются собственными левосторонними векторами: 

. 

 Внешнее (матричное)  произведение каждого нормированного  вектора самого на себя дает  нам проекторы искомой матрицы: 

Умножая каждое собственное значение из заданного набора на свой проектор и суммируя, получим: 

. 

Аналогично получается обратная матрица: 

. 

С помощью этих же проекторов вычисляется любая аналитическая  функция, аргументом которой является матрица A: 

. 

10. Оценка величины  и нахождение собственных значений 

Краткое рассмотрение основных теоретических положений  линейной алгебры позволяет сделать  следующие выводы: для успешного  решения систем линейных алгебраических уравнений и вычислений матричных  функций необходимо уметь находить ее собственные значения и собственные  векторы. 

Для любой матрицы A с действительными компонентами и любого ненулевого вектора v существует отношение Рэлея, связывающее скалярное произведение векторов v и Av с минимальным и максимальным собственными значениями: 

. 

К высказанному необходимо сделать еще ряд замечаний, связанных со случаями, когда исходная матрица имеет кратные собственные значения или оказывается вырожденной. 

Характеристическое  уравнение матрицы A с кратным  корнем можно записать в виде 

. 

На основании этой записи можно составить минимальное  характеристическое уравнение , для которого матрица A также является корнем: 

. 

Особенности в части  определения собственных значений и векторов обычно возникают в  несимметричных матрицах (). Некоторые  из них никакими подобными преобразованиями не удается свести к диагональной. Например, не поддаются диагонализации матрицы n-го порядка, которые не имеют n линейно независимых собственных векторов. Однако любая матрица A размера с помощью преобразования подобия может быть приведена к прямой сумме жордановых блоков или к канонической жордановой форме: 

, 

где A - произвольная матрица размера ; 

- жорданов блок  размера ; 

V - некоторая невырожденная  матрица размера . 

Характеристическое  уравнение жорданова блока размера  независимо от количества единиц в  верхней диагонали записывается в виде произведения одинаковых сомножителей и, следовательно, имеет только кратных  корней: 

. 

Если выразить матрицу V в форме вектора с компонентами в виде векторов-столбцов , то из равенства AV=VJ для каждого жорданового блока следует соотношение 

. 

 Здесь в зависимости  от структуры верхней диагонали,  в которой может быть либо  ноль, либо единица. Если жордановы  блоки имеют размер , то мы имеем случай симметричной матрицы или матрицы с различными собственными значениями. 

При поиске решений  систем линейных уравнений с несимметричными  матрицами, последние стремятся теми или иными приемами свести к выражению с симметричными матрицами. 

Один из возможных  подходов к решению несимметричных линейных систем состоит в замене исходной системы эквивалентной  системой: 

. 

Недостаток этого  подхода состоит в том, что  мера обусловленности произведения матрицы A на свою транспонированную, оцениваемая  отношением , оказывается больше, чем у матрицы A. 

Под мерой обусловленности  понимают отношение наибольшего  собственного значения матрицы к  наименьшему. Это отношение влияет на скорость сходимости итерационных процедур при решении уравнений. 

Итак, основными алгебраическими  системами уравнений можно считать  неоднородные системы уравнений  с симметричными матрицами коэффициентов. 

Литература 
 

1. Вержбицкий В.М.  Основы численных методов: Учебник  для вузов - 3-е изд. М: Высшая  школа, 2009. - 840 с. 

2. Самарcкий А.А. Задачи и упражнения по численным методам. Изд. 3 Изд-во: КомКнига, ЛКИ, 2006. - 208 с. 

3. Турчак Л.И., Плотников П.В. Основы численных методов. Изд-во: ФИЗМАТЛИТ®, 2003. - 304 с. 

4. Хеннер Е.К., Лапчик М.П., Рагулина М.И. Численные методы. Изд-во: «Академия/Academia», 2004. - 384c. 

5. Чистяков С.В.  Численные и качественные методы  прикладной математики. СПб: 2004. - 268 с.