Решение деофантовых уравнений

СОДЕРЖАНИЕ:

Введение……………………………………………………………..

1. Основная часть……………………………………………………

1.1 Биография  Диофанта……………………………………………

1.2 О диофантовых уравнениях……………………………………

1.3 Биография  Ферма……………………………………………….

1.4 История большой  теоремы Ферма…………………………….

1.5 Доказательство  большой теоремы Ферма…………………….

1.6 История развития  решения диофантовых уравнений………..

1.7 О некоторых методах решения диофантовых уравнений…...

2. Практика…………………………………………………………

Заключение…………………………………………………………

Список литературы……………………………………………….. 
 
 
 
 
 
 

2

ВВЕДЕНИЕ:

    Алгебра возникла в связи с решением разнообразных  задач при помощи уравнений. Обычно в задачах нужно найти одну или несколько неизвестных, зная результаты некоторых действий. Такие  задачи сводиться к решению одного уравнения или системы нескольких уравнений.

    Некоторые алгебраические приёмы решения уравнений  известны ещё четыре тысячи лет назад, однако они выражались в геометрической форме. Процесс освобождения алгебры  от геометрической формы начался  ещё в Древней Греции Диофантом, когда начали вводиться буквенные  символы, облегчающие и сокращающие  решение уравнений.

    Наши  школьники учатся решать простейшие линейные уравнения в начальной  школе. В процессе взросления, учащиеся в восьмых-десятых классах умеют  решать уравнения не только линейные, но и квадратные, более высокой  степеней, системы уравнений, где  количество неизвестных равно количеству уравнений.

    Математиков издавна занимало решение таких  уравнений, где вводиться несколько  неизвестных в одном уравнении. Уравнение с несколькими неизвестными в целых решениях впервые решались Диофантом. Он нашёл некоторые методы их решения.

    Меня  эти уравнения заинтересовали именно тем, что это необычные, не стандартные  уравнения и системы уравнений, по сравнению с теми, которые решаются в курсе алгебры средней школы. Поэтому я изучила:

    - историю большой теоремы Ферма;

    3

-доказательства  большой теоремы Ферма и лемм;

-историю развития  решения Диофантовых уравнений;

-разработки  некоторых решений Диофантовых  уравнений;

-самостоятельно  решила несколько Диофантовых  уравнений и систему уравнений  различных методов. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    4

    1. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

    1.1 Биография Диофанта.

    Одним из самых своеобразных древнегреческих  математиков был Диофант Александрийский, труды которого имели большое значение для алгебры и теории чисел. До сих пор не выяснены ни год рождения, ни дата смерти Диофанта; полагают, что он жил в III века н. э. В одном из рукописных сборников задач в стихах жизнь Диофанта описывается в виде следующей алгебраической загадки, представляющей надгробную надпись на его могиле:

    «Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей – и камень Мудрый искусством его скажет усопшего век.

    Волей богов шестую часть  жизни он прожил ребёнком, и половину шестой встретил с пушкой на щеках.

    Только  минула седьмая, с  подругою он обручился.

    С нею пять лет, проведя, сына дождался мудрец;

    Только  полжизни отцовски возлюбленный сын его прожил.

    Отнят он был у отца ранней могилой своей.

    Дважды  два года родитель оплакивал тяжкое горе, тут и увидел придел жизни печальной  своей».

    Задача  – загадка сводиться к решению  уравнения: 

    откуда  х=84 – вот, сколько жил Диофант.

    Диофант написал сочинение, названное им «Арифметика».

    5

    Это сочинение резко отличается по своему характеру от известных нам других математических работ древних греков. Главное отличие заключается  в том, что изложение его идёт чисто аналитическим путём, хотя и вводится иногда геометрическая терминология. «Арифметика» Диофанта включает в себя главным образом вопросы алгебры и теории чисел. Надо отметить, что Диофант не излагает обобщенных методов для решения тех или иных вопросов, а к решению каждого отдельного вопроса подходит с особым методом. Это выявляется огромные математические способности Диофанта, но сильно снижает научную ценность его труда. Из 13 книг «Арифметики» до нашего времени сохранилось только 6. В них Диофант рассматривает решение уравнений 1-й и 2-й степени, причем основное внимание обращает на неопределенные уравнения.

    Алгебра Диофанта должна быть отнесена к так называемому периоду «синкопированной алгебры», то есть к тому времени, когда алгебра переходила от чисто риторического изложения ( то есть словестного) к использованию более кратких записей при помощи сокращенных слов и некоторых символов. Так, для изображения неизвестного числа Диофант вводит обозначение S’, а когда это неизвестное употребляется во множественном числе, то упомянутое обозначение удваивается. Для каждой степени неизвестного вводились соответствующие синкопированные обозначения. Для обозначения вычитания употребляется знак N, а для равенства – буква I. Уменьшаемое писалось раньше вычитаемого, а числовые коэффициенты – после неизвестных. Непосредственное следование одной записи за другой означало действие сложения.

    Отрицательные числа Диофанту известны не были, но когда 

    7

приходилось умножать разность двух чисел на разность двух других чисел, то Диофант пользовался, правилом: «отнимаемое число, будучи умножено на отнимаемое, дает прибавляемое, а, будучи умножено на прибавляемое, дает отнимаемое».

    При решении уравнения Диофант признавал  только положительные рациональные ответы, и притом для квадратного  уравнения он всегда вычислял только один ответ, если уравнение имело  два рациональных и положительных  корня. Каким методом он решал  квадратные уравнения, неизвестно, так  как в сохранившихся до нашего времени книгах этого объяснения не дано. Для решения уравнения 1-й  степени Диофант прибегал к приемам, описанным им следующим образом: «Если теперь в какой-нибудь задаче те же степени неизвестного встречаются в обеих частях уравнения, но с разными коэффициентами, то мы должны вычитать равные из равных, пока не получится одного члена, равного одному члену. Если в одной или в обеих частях есть члены вычитаемые, то эти члены должны быть прибавлены к обеим частям так, чтобы в обеих частях были только прибавляемые. Затем снова нужно отнимать равных от равных, пока не останется только по одному члену с каждой стороны». Таким путём Диофант достиг того, чего мы добиваемся перенесением известных членов в одну сторону равенства, а неизвестных – в другую, приведением подобных членов и делением на коэффициент при неизвестном. При этом надо отметить, что Диофант, как и все древние математики, избегал действия деления, заменяя его повторным вычитанием.

    Из 13 книг «Арифметики» только 6 сохранились  до наших дней. Эти книги были открыты в Венеции в 1483 г, Региомонтаном, который в связи с этим писал, что в произведении Диофанта

    8

сосредоточен  «весь» цвет арифметики, искусство  неизвестной. «Арифметика» посвящена некоему Дионисию, обращаясь к которому, Диофант пишет; «Зная, достопочтеннейший Дионисий, что Вы очень усердно изучаете задачи, касающиеся чисел, я взялся изложить природу их и могущество, начиная с самых основ, на которых всё эта покоиться. Это, может быть, покажется более трудным, чем есть на самом деле потому, что ещё неизвестно. Начинающие склонны скоро терять мужество. На Вы легко разберётесь этом благодаря устремлению Вашего ума и моим пояснением».

    В сохранившихся книгах Диофанта содержится 189 задач  с решениями. В первой книге изложены задачи, приводящиеся к определенным уравнениям первой степени. Остальные же пять книг содержат в  основном неопределенные уравнения. В  этих книгах ещё нет систематической  теории неопределённых уравнений, методы решения меняются от случая к случаю. Диофант довольствуется каким-нибудь одним решением, целым или дробным, лишь бы оно было положительным.

    Тем не менее, методы решения неопределённых уравнений составляют основной вклад  Диофанта в математику. Известно, что  в символики Диофанта был один только знак для неизвестного. Решая  неопределённые уравнения, он применял в качестве нескольких неизвестных  произвольные числа, вместо которых  можно было взять и любые другие, что и сохраняло характер общности его решения. 
 
 

    9

1.2 О диофантовых уравнениях.