Федеральное агентство ПО РЫБОЛОВСТВУ

  Российской Федерации  

Мурманский  государственный  технический университет 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 

Пояснительная записка к курсовой работе

«Решение  краевой задачи для  одного из уравнений  математической физики»

по  дисциплине «Специальные разделы высшей математики» 
 

     Выполнил:

                                                студент группы ИВТ(б)-201.2

                                                Ф. Ф. Федоров 

                                                Проверил:

                                                доцент кафедры

     ВМ  и ПО ЭВМ

                                                В. С. Кацуба 
 
 
 

Мурманск

2011

 

Оглавление

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

§1. Условие физической задачи. 

Однородная  струна длиной закреплена на конце , а к другому ее концу прикреплено кольцо, массой которого можно пренебречь. Кольцо может скользить по гладкому вертикальному стержню. В начальный момент времени кольцо отклонено на  малое расстояние от положения равновесия и свободно отпущено. Исследовать отклонения точек струны для любого момента времени.

Задание на исследование:

Определить качественную зависимость продолжительности  процесса от начального отклонения h для трех материалов с различными упруними свойствами: слабыми, умеренными и сильными. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

§2. Вывод уравнения колебаний струны в среде с сопротивлением.¹

 

   Рассмотрим  струну длины  , изготовленную из однородного изотропного материала с фиксированной плотностью . При оттягивании кольца от положения равновесия на некоторую высоту , произойдет натяжение струны и она начнет совершать поперечные колебания под действием сил упругости.

   Для вывода уравнения колебаний струны, будем предполагать, что все точки струны движутся перпендикулярно ее положению равновесия, причем в каждый момент времени струна лежит в одной и той же плоскости. При этом предположении процесс колебания струны описывается одной функцией U(х,t), которая дает величину перемещения точки струны с абсциссой х в момент t.

   Так как  мы рассматриваем малые отклонения струны в плоскости (x, t), то будем предполагать, что . Из этого следует, что .

   Также будем предполагать, что натяжение  во всех точках струны одинаковое; обозначим его T. Рассмотрим элемент струны .

     
 
 
 
 
 

     

   На  концах этого элемента, по касательным к струне, действуют силы Т. Пусть касательные образуют с осью Ох углы и . Тогда проекция на ось Ои сил, действующих на элемент ММ', будет равна . Так как угол мал, то можно положить , и мы будем иметь

   

   , 

(здесь мы  применили теорему Лагранжа к  выражению, стоящему в скобках). 

   Чтобы получить уравнение движения, нужно  внешние силы, приложенные к элементу, приравнять силе инерции. Пусть  -  линейная плотность струны. Тогда масса элемента струны  будет . Ускорение элемента равно . Следовательно, по принципу Даламбера будем иметь:

.

Сокращая на и обозначая , получаем уравнение движения

     

Сила сопротивления  равна:

С ее учетом уравнение  состояния процесса примет следующий  вид: 

Обозначим , . В результате получим:

Это и есть уравнение состояния процесса (уравнение колебаний струны с учетом сопротивления среды). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

§3. Формулировка математической модели.

 

Рассмотрим волновое уравнение: - линейное однородное уравнение 2-ого порядка  в частных производных с постоянными коэффициентами гиперболического типа.

- неизвестная функция, в которой 

В сответствии  с условиями задачи поставим начальные и граничные условия:

- начальные условия. 

- граничные условия. 

В качестве математической модели поставленной задачи получили краевую задачу для однородного ДУ. 
 
 
 
 
 
 
 
 

§4. Получение решения методом Фурье.

I 

Искомую функцию  двух переменных будем искать в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной.

 (1) 

 

Перепишем ДУЧП с учетом полученных преобразований: 

   (*),  

Уравнение (*) выполняется  для любых значений и любых , так как для этих значений аргументов выполняется исходное ДУЧП. Аргументы и являются независимыми друг от друга, поэтому тождественное равенство (*), у которого левая и правая части зависят только от одной независимой переменной, может выполняться только тогда, когда левая и правая части равны одной и той же константе и по и по . 

, где  - константа по и по .

      (2) 

Вследствие равенства (1) в исходном ДУЧП произошло разделение переменных и это ДУЧП заменилось на систему (2) двух обыкновенных ДУ относительно функций одной переменной и . 
 
 
 
 
 

II  

Перебросим нулевые  граничные условия функции на один из множителей правой части уравнения (1): 

 

В решаемой задаче нулевые условия на две противоположные  стороны прямоугольной области  перебрасываются на функцию .

III 

Из системы (2) будем решать одно ДУ, а именно ДУ относительно той функции, на которую  перебрасываются нулевые граничные  условия.

 (3) 

Поставим задачу Штурма-Лиувилля:

Требуется найти такие , при которых система (3) имеет нетривиальные рещения .

Искомые числа  называются собственными числами для системы (3), а соответствующие им функции называются собственными функциями системы (3). 

Решение задачи Штурма-Лиувилля. 

- Обыкновенное ДУ второго  порядка, линейное, однородное, с  постоянными коэффициентами.

, где  , - произвольные константы, а , - это линейно-независимые частные решения этого ДУ. Они образуют ФСЧР и находятся с помощью решения характеристического уравнения

Далее, вид функций  и зависит от трех случаев в корнях характкристического уравнения:

• - действительные различные корни
• - действительные равные корни
• - комплексные сопряженные корни

Эти случаи зависят  от . 
 

Случай 1: - действительные различные корни 

ФСЧР: ;

      ,

Удовлетворяем условиям на функцию  :

 

В случае система имеет только тривиальное решение, поэтому при задача Штурма-Лиувилля не разрешима. 

Случай 2: - действительные равные корни  

ФСЧР:

       

Удовлетворяем условиям на функцию  :

 

 При задача Штурма-Лиувилля также неразрешима. 

Случай 3: -комплексные сопряженные корни.

ФСЧР:

       

 

Нетривиальное решение системы (3) может получиться только при условии, что 

 

  (4) 

Таким образом  получено счетное множество собственных  чисел  для системы (3). Теперь запишем собственные функции , соответствующие этим собственным числам: и .

  (5) 
 

IV 

Находим решение  другого уравнения системы (2):

  - обыкновенное линейное ДУ  второго порядка, линейное, однородное, с постоянными коэффициентами.

, - произвольные константы; - это ФСЧР, находится с помощью характеристического уравнения:

- комплексные сопряженные корни.

ФСЧР:

   ,

где      . 

Так как получена функция  для , то имеем этих функций счетное множество.

  (6) 
 
 
 
 

V 

Перемножая функции  и при , получим счетное множество функций , , каждая из которых удовлетворяет исходному ДУЧП и нулевым граничным условиям. Для удовлетворения начальным условиям используем произвольные константы, входящие в функции и . Чтобы при этом задействовать все эти произвольные константы, составим ряд:

     (7) 

Будем предполагать, что: