Школа Пифагора

Школа Пифагора

   Пифагор родился на острове Самосе, вблизи Ионийского побережья. Вокруг личности Пифагора создалось столько легенд, что трудно судить, что в этих легендах хоть отчасти соответствует действительности и что является вымыслом. Мы не знаем даже точной даты его рождения и смерти: по некоторым данным, Пифагор родился около 580 и умер в 500 г. до н. э.

      В молодости Пифагор много путешествовал и имел возможность хорошо ознакомиться с Египтом и теми сведениями из математики, которые со времен глубокой древности хранились египетскими жрецами почти в неизменном состоянии. В общей сложности Пифагор пробыл в Египте около 22 лет и сумел воспользоваться там откровенностью жрецов благодаря тому, что его рекомендовал египетскому царю Амазису Друг царя грек Поликрат. По возвращении из Египта около 530 г. Пифагор создал на родине свою школу, в основе которой лежала аристократическая идеология, резко противоречащая идеологии античной демократии преобладавшей в те времена на Самосе. Поэтому школа вызывала недовольство граждан Самоса, и Пифагору пришлось покинуть родину. Он направился в греческие колонии на Аппенинском полуострове и поселился в городе Кротоне, где вновь основал школу (пифагорейский союз).

  В основу философии пифагорейского союза  было положено мистическое учение о числе. В пифагорейском союзе считали, что число есть лежащая в основе бытия причина стройности и порядка, господствующей самородной связи вечного постоянства в мировом строе. Число — это закон и связь мира, сила, царящая над богами и смертными, условие всего определяемого, всего познаваемого. Вещи суть подражания числам.

  Такое преклонение перед числом объясняется теми наблюдениями, которые проводились в пифагорейском союзе над явлениями окружающей жизни, но оно сопровождалось мистическими измышлениями, зачатки которых были заимствованы вместе с началами математических знаний из стран Ближнего Востока.

Так, наблюдая получение в музыке благозвучных, «гармонических» аккордов, пифагорейцы заметили, что гармонический аккорд при звучании трех струн получается в том случае, когда длины этих струн сопоставляются с соотношением чисел 3, 4 и 6. Такое же соотношение было подмечено пифагорейцами и во многих других случаях. Например, отношение числа граней, вершин и ребер куба равно отношению чисел 6:8:12. Занимаясь вопросом о покрытии плоскости правильными одноименными многоугольниками, пифагорейцы нашли, что возможны только три случая таких покрытий: вокруг одной точки плоскости можно плотно уложить или шесть правильных треугольников, или четыре правильных четырехугольника (квадрата), или же три правильных шестиугольника (рис. 2). Если обратим внимание на числа правильных многоугольников в этих трех случаях, то увидим, что их отношение равно отношению 6:4:3; если же возьмем отношение числа сторон этих многоугольников, то найдем, что оно равно отношению чисел 3:4:6.

   На основе подобных наблюдений в школе Пифагора возникло убеждение, что во всей Вселенной явления подчинены вполне определенным числовым соотношениям, то есть существует «мировая гармония». его пребывания в городе Мерапонте он погиб в стычке со своими противниками.

   После распада пифагорейского союза  ученики Пифагора рассеялись по различным городам Греции, причем значительное большинство их сосредоточилось в Афинах. Пифагорейцы полагали, например, что расстояния небесных тел от Земли в мировом пространстве определяются некоторой пропорцией. На этой почве в школе Пифагора началось пристальное изучение пропорций; при этом, кроме арифметической и геометрической, изучалась так называемая «гармоническая» пропорция.

   Огромное значение, которое придавалось  пифагорейцами числу, имело то последствие, что в школе Пифагора уделялось много внимания изучению чисел, то есть было положено начало  теории чисел. Однако в школе Пифагора, как и во всей Греции тех времен, практика вычислений не считалась достойной того, чтобы ею занимались философские школы; она представлялась людям «низшим» в их житейских и деловых отношениях и называлась «логистикой». Пифагор говорил, что он поставил арифметику «выше потребности-торговли». Поэтому в школе Пифагора и не производилось изучения практического счета, а изучались лишь свойства. Чисел. При этом  свойства  чисел изучались при помощи геометрических  построений. Однако считается, что пифагорейцы или их ближайшие последователи ввели в употребление в Греции более удобную систему записи чисел, заимствованную у финикиян и заключающуюся в том, что числа изображались буквами греческого алфавита с прибавлением некоторых букв финикийского алфавита. Первые девять букв алфавита изображали числа от 1 до 9, следующие девять — десятки (10, 20, 30, ..., 90) и последние девять — сотни (100, 200, 300, ..., 900). Для того чтобы отличить числа от букв, над числами ставилась черта. Таким образом, для записи чисел были установлены следующие знаки: 
 
 

10 — Т (ита) 

20— х(каппа) 

30 - I(лямбда)

40 — fx (мю)   

50 — v (ню)

60 — Г (кси)

70  о(омикрон)

 80 — я (пи)

90 – С(коппа)

1. —а(альфа)
2. —"Р (бета)
3. —у(гамма)

4 -6(дельта)

5 - е(эпсилон)

6 -"g(стигма)

7—1 (дзета)

8— Ti (эта)

9 - Q (тета)

             100 — р.» (ро)

             200 — 'о (сигма)

            300 —т (тау)

             400—"и (ипсилон)

             500 —ф. (фи)

             600 — х (хи).

             700 —ty (пси) 

             800 —в (омега)

                900 – Э (сампи)  
 
 
 
 
 
 

     Для изображения чисел, больших тысячи, употреблялись дополнительно следующие символы: значок вроде запятой, поставленный перед числом, обозначал тысячи, а для обозначения десятков тысяч перед числом ставилась точка. Таким образом, число 128 записывалось. Для изображения дробей ставились подряд число, выражающее числитель, и число, выражающее знаменатель, но после числителя ставился штрих, а знаменатель записывался дважды повторенным числом, сопровождаемым знаками удвоенного штриха. Например, ¹/₂ записывалась так: а'р. «р".

  В школе Пифагора мы впервые сталкиваемся с классификацией чисел, но эта классификация носит весьма своеобразный характер и имеет в основе или геометрические соображения, или соображения отвлеченного, философско-мистического характера. Геометрическим образом единицы служил квадрат. Когда каждая сторона квадрата разделялась на равное число частей и через точки деления проводились прямые, разделяющие основной квадрат на более мелкие квадраты, то совокупность этих квадратов представляла «квадратное» число: 4, 9, 16 и т. д.. Подобно этому представлялись «плоскостные» или «прямоугольные» числа, то есть числа, разлагающиеся на два неравных множителя: они изображались в виде прямоугольника, разбитого на соответствующее число квадратов: так, например, число 6 представлялось прямоугольником со сторонами 2 и 3 единицы длины. В этом случае множители, образующие число 6, то есть 2 и 3, назывались сторонами числа 6. Аналогично получались числа «кубические» и «телесные». Кубическими назывались числа, разлагающиеся на три равных множителя, а телесными — числа, разлагающиеся на три неравных множителя. Числа 1, 3, 6, 10, 15... назывались числами «треугольными». Треугольные числа получались путем сложения первых чисел натурального ряда: 1, 1+2 = 3, 1 + 2 + 3 = 6, 1+2 + 3 + 4=10 и т. д.. Название «треугольные числа» присвоено им потому, что они получаются путем последовательного суммирования числа кругов, расположенных рядами в форме треугольника, как это показано на чертеже

  Кроме того, все числа натурального ряда подразделялись на четные — «мужские» и нечетные — «женские», или иначе «гномоны». Число косило название «совершенного», если сумма всех его делителей, за исключением самого числа, равнялась этому числу. Так, число 6 совершенное, поскольку его делители 1,2 и 3 в сумме составляют 6. Два числа, обладающие тем свойством, что сумма делителей каждого из них равняется,  
 
 

  

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

другому, назывались «содружественными». Как утверждают, Пифагор на вопрос «Что такое друг?» ответил: «Тот, кто есть другой я, вот как числа 220 и 284». Мы можем убедиться, что указанные числа действительно содружественные. В самом деле, 220 имеет своими делителями числа 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 и 100, а делителями числа 284 являются 1, 2, 4, 71 и 142. Легко проверить, что сумма делителей первого числа равна 284, а сумма делителей второго — 220.

  Особое  значение у пифагорейцев имели числа 7 и 36. Почитание числа 7 объясняется тем, что мистический смысл был придан ему еще вавилонянами, и от них это почитание перешло к пифагорейцам. Что же касается числа 36, то оно производило сильное впечатление на пифагорейцев своими качествами: с одной стороны, оно представляет сумму кубов трех первых чисел натурального ряда (1³ + 2³ + 3³), а с другой — является суммой первых четырех четных и первых четырех нечетных чисел:

(2 + 4 + 6 + 8) + (1 + 3 + 5 + 7) =36.

  Весь  мир, по мнению пифагорейцев, был построен на первых четырех нечетных и на первых четырех четных числах, а  потому самой страшной клятвой у  них считалась клятва числом 36.

  Приписывание  мистического значения числам сыграло в истории математики, конечно, только отрицательную роль. Но геометрическое представление чисел пифагорейцами способствовало развитию математики.

  Такой метод изображения чисел привел к тому, что геометрические образы сливались с представляемыми ими числами, а потому многие выводы из области теории чисел возникли как результат геометрических соображений и, наоборот, арифметические соотношения приводили к некоторым геометрическим обобщениям. Так, например, было получено соотношение: сумма последовательных натуральных нечетных чисел, начиная с единицы, всегда дает число квадратное, или квадратное число всегда равно сумме последовательных нечетных чисел. Таким образом, в школе Пифагора развивалась геометрическая арифметика, а за нею постепенно создавалась и геометрическая алгебра. Эта алгебра, конечно, носила совсем иной характер, чем наша современная алгебра, так как она не обладала главным преимуществом современной алгебры — ее символикой. Характерным признаком геометрической алгебры было то, что все ее выводы основывались на геометрических соображениях. Так, вывод формул сокращенного умножения проводился следующим построением:

  1. Формула «Квадрат суммы двух  количеств» (рис. 4). Построим квадрат, стороны которого равны сумме отрезков а и  Ь.  Через точки раздела отрезков проведем прямые, параллельные сторонам квадрата. Из чертежа видно, что

        (a + b) ² = a² + a-b + a-b + b² = a² + 2ab + b².

     2. Формула «Квадрат разности двух количеств». Построим квадрат, стороною которого является разность отрезков а и Ь. Проведя внутри этого квадрата прямые, параллельные сторонам квадрата, как это указано на чертеже, получим следующее геометрическое соотношение:

A-b-a-b + b² = a²-2ab + b². 

  Указанные приемы алгебраических доказательств до наших дней являются удачными наглядными иллюстрациями доказательств формул сокращенного умножения.

  Возможно, что в школе Пифагора проводилось и решение квадратных уравнений геометрическим путем. Эти методы были развиты в творениях Евклида в III в. до и. э., а потому мы остановимся на них позднее.

  Особенное внимание уделялось в школе Пифагора вопросам геометрического характера. Евдем, один из первых историков геометрии, так отзывается о геометрических работах Пифагора: «Пифагор преобразовал науку геометрии в форму свободного учения, ибо он разобрал принцип ее до самого основания и исследовал ее теоремы невещественным и разумным путем».

   Работа над вопросами геометрического  характера облегчалась в школе  Пифагора именно благодаря счастливой мысли объединить вопросы геометрии с вопросами числового характера. При этом получалась двоякая выгода: числовые построения прекрасно иллюстрировались геометрическими образами, а геометрические в свою очередь получали необходимую трактовку взаимозависимостей. Таким путем из геометрического доказательства независимости произведения от порядка множителей возникли определения

площадей  квадрата и прямоугольника, а из представления чисел геометрическими  фигурами (плоскостные, квадратные, треугольные, телесные числа) возникли вопросы о построении правильных многоугольников, а затем правильных многогранников. В этом отношении особенно большое значение имело впервые выполненное в школе Пифагора построение правильных пятиугольников. Решение задачи о построении правильных многоугольников помогло построению правильных многогранников, причем пифагорейцами были построены все возможные их виды: тетраэдр, имеющий гранями четыре равносторонних треугольника, октаэдр, гранями которого служат восемь равносторонних треугольников, икосаэдр, ограниченный двадцатью правильными треугольниками, гексаэдр, то есть куб, ограниченный шестью правильными четырехугольниками и, наконец, додекаэдр, то есть тело, ограниченное двенадцатью правильными пятиугольниками. Решение такой трудной задачи, как построение правильных многоугольников и многогранников, естественно, произвело сильное впечатление на лиц, решивших ее, и потому указанным многогранникам в школе Пифагора было придано мистическое значение: они считались «космическими фигурами», и каждому из них было присвоено наименование одной из стихий, входящих, по представлению греков, в основу бытия: тетраэдр именовался огнем, октаэдр — воздухом, икосаэдр — водой, гексаэдр — землей и додекаэдр — Вселенной. Из всех геометрических тел прекраснейшим считался шар.