Шпаргалка по "Математике"

№1. Общая постановка ЗЛП.  Модель-условный образ какого-либо объекта, приближенно воссоздающий этот объект с помощью некоторого языка. В экономико-математических моделях таким объектом является экономический процесс, а языком являются классические и специально разработанные мат. методы. Экмат модель-математическое описание исследуемого экономического процесса или объекта. Эта модель выражает закономерности экономического процесса в абстрактном виде с помощью мат соотношений. Использование мат моделирования в экономике позволяет углубить количественный экономический анализ и расширить область эк информации. Выделяют 3 этапа эк мат моделирования. 1) постановка целей и задач исследования, проведения качественного описания объекта в виде эк модели. 2) формирование мат модели изучаемого объекта, выбор методов исследования 3) Осуществляются расчеты, обработка и анализ полученных результатов. Общая задача ЗЛП F=c₁x₁+c₂x₂+…+c_nx_n→max (min) целевая функция, система ограничений, .  Условие неотрицательности. Оптимальным решением ЗЛП – называется такой набор х=(х₁,х₂,…,х_n) являющийся решением системы ограничений и удовлетворяющий условию неотрицательности, при котором целевая функция принимает оптимальное решение. Если система ограничений состоит из одних неравенств, то ЗЛП называется стандартной. Если система ограничений состоит из одних уравнений-канонической. Если система ограничений состоит из неравенств и уравнений, то ЗЛП-общий. Любая ЗЛП может быть сведена к канонической, стандартной или общей форме.

№2. Каноническая форма ЗЛП. В канонической форме задача является задачей на максимум (минимум) некоторой линейной функции F, её система ограничений состоит только из уравнений. При этом переменные задачи х₁,х₂,…,х_n являются неотрицательными:  F=c₁x₁+c₂x₂+…+c_nx_n→max (min) целевая функция

система ограничений, . К канонической форме можно преобразовать любую ЗЛП.

3,6. Графический метод решения ЗЛП.  Алгоритм решения: 1) находим многоугольник решений системы неравенств 2) строим вектор q=(c₁,c₂) 3) строим линию уровня с₁х₁+с₂х₂=с, с-любое число 4) двигаем линию уровня по направлению вектора q а) если задача на max, то до самой дальней точки многоугольника б) если задача на min,  то до самой ближней точки многоугольника. Недостатки геометрического метода: 1) при геометрическом решении возможны случаи когда условия задач противоречивы, и область допустимых решений системы ограничений представляет собой пустое множество. В таких задачах нет оптимальных решений. 2) Этим методом можно решать задачи, содержащие 2 переменные. 3) При построении графика возможны технические погрешности. 4) Многие величины, имеющие четкий эк смысл не выявляются при геометрическом решении задач.

№4,5 Симплексный метод решения ЗЛП. Нахождение начального опорного решения  и перехода к новому опорному решению. Симплекс (от латинского - простой) простейший выпуклый многогранник в n-мерном пространстве с n+1 вершиной. 3 этапа: 1. Определение какого-либо первоначального допустимого базисного решения задачи. 2. Правило перехода к лучшему. 3. Критерий проверки оптимальности найденного решения. Для того, чтобы решить задачу этим методом, необходимо систему ограничений записать в каноническом виде. Необходимо выбрать базисные и свободные переменные. На первом шаге в качестве базисных переменных следует выбрать такие m переменных, каждая из которых входит только в 1 из m уравнений системы ограничений, при этом нет таких уравнений системы в кот не входит ни одна из этих переменных. Выражаем базисные переменные через свободные. Решение х₁ не является оптимальным, так как увеличивая значения  любой из свободных переменных х₁ или х₂ увеличивается значение функции. В нашем случае перевести в базисные можно либо х₁ либо х₂. Для определенности в такой ситуации будем выбирать переменную, имеющую больший коэффициент. 2 шаг: выразим целевую функцию через свободную переменную.

7. Отыскание максимума целевой  фун-ии. Критерий оптимальности: если в выражении целевой функции через свободные переменные отсутствуют положительные коэффициенты, при свободных переменных, то решение оптимально.

8. Отыскание минимума целевой функции.Критерий оптимальности: если в выражении целевой функции через свободные переменные отсутствуют отрицательные коэффициенты при свободных переменных то решение оптимально.

9. Особые случаи симплексного метода. 1. Неединственность оптимального решения (альтернативный вариант). Бывает такое, что ф-я достигает максимум во всех точках какого-либо отрезка(при геометр. методе). Бывает, что фун-я не содержит свободной переменной х4 те имеет нулевой коэффициент. Если увеличивать переменную х4, то значении фун-ии останется тем же самым, но решение будет другое. 2. Появление вырожденного базисного решения. Если на каком либо шаге наибольшее возможное значение переменной достигается в нескольких уравнениях одновременно(совпадают их оценочные отношения), то разрешающим явл-ся любое из них. На следующем шаге получаем вырожденное базисное решение, переход к очередному базисному решению может не изменить целевую фун-ю. 3. Отсутствие конечного оптимума. Если на каком либо шаге получаем, что во всех уравнениях системы бесконечны оценочные отношения той переменной кот переводится в базисные то задача не имеет конечного решения.

10. Экономическая интерпретация задачи, двойственной задаче об использовании  ресурсов.

Пусть имеется m видов ресурсов:  S₁, S₂, S_m. Запасы ресурсов обозначим b₁ b₂ b_m. Пусть производится n видов продукции P₁ P₂ P_n. Затраты ресурсов необходимые на производство одной единицы продукции обозначим С_j. Предположим, что некоторая организация решила закупить ресурсы S₁, S₂, S_m, и необходимо установить оптимальные цены на эти ресурсы у₁, у₂, …, у_m. Покупающая организация заинтересована в том, чтобы затраты на все ресурсы были минимальны. Z=b₁y₁+b₂y₂+…+b_my_màmin. Предприятие продающее ресурсы заинтересовано в том, чтобы полученная выручка была не менее той суммы которую предприятие может получить припереработке ресурсов в готовую продукцию. На изготовление единицы продукции р₁ расходуется а₁₁единиц ресурса S₁, a₂₁ единиц ресурса S₂ и т д, a_m единиц ресурса S_m. По ценам соответственно  у₁, у₂, …, у_m. Для удовлетворения требований продавца затраты на ресурсы, потребляемые при изготовлении единицы продукции P₁, должны быть не менее прибыли от ее реализации. A₁₁y₁+a₂₁y₂+…+a_m1y_m≥C₁. Аналогичные неравенства получаем по каждому виду продукции P₁ P₂ P_n.. Исходная: 1)F=c₁x₁+c₂x₂+…c_nx_nàmax 2)3) Необходимо составить такой план выпуска продукции Х=(Х₁, Х₂,…,Х_n) при которых прибыль от реализации продукции будет максимальной при условии, что потребление ресурсов по каждому виду продукции не превзойдет имеющихся запасов.  Двойственная: 1) Z=b₁y₁+b₂y₂+…+b_my_màmin 2)  3)y_i=≥0, i=1,2,…,m. Необходимо найти набор ресурсов У=(у₁,у₂,…,у_m) при которых общие затраты на ресурсы будут минимальными. При условии что затраты на ресурсы при производстве каждого вида продукции будут не менее прибыли от реализации этой продукции. Свойства взаимно-двойственных задач: 1)в одной задаче ищут макс целевой фун-ии в др мин-м. 2)Коэффициенты при переменных в целевой функ-ии одной задачи явл-ся свободными членами системы ограничений в дру-й. 3)Каждая из задач задается в стандартной форме, причем задача на макс все неравенства вида ≤, а в задаче на мин ≥. 4) Матрицы коэффициентов при переменных в системах ограничения обеих задач явл-ся транспортированными друг к другу. 5)Число неравенств в системе ограничений одной задачи совпадает с числом переменных в др задаче. 6)Условие неотрицательности переменных имеются в обеих задачах.

11.Алгоритм   составления   двойственных  задач 1)Привести  все неравенства  системы ограничений  исходной  задачи   к одному  смыслу. Если  в  исходной задаче ищут максимум  то  все  неравенства  системы  ограничений  привести  к  виду  <=, если  минимум, то >=.  Для  этого  неравенства  в   которых  данное  требование  не  выполняется  *(-1) 2)Составить  расширенную  матрицу  системы,  в  которую  включить  матрицу  коэффициентов  при  переменных,  в  столбец  свободных  членов  системы  ограничений,   строку  коэффициентов  при  переменных  в  целевой  функции 3)Найти  матрицу   транспонированную  к  матрицы  из п.2. 4)Сформировать  двойственную  задачу  на  основании  матрицы  из п.3  и  условии не отрицательности   переменных

12. Первая теорема двойственности. Связь между оптимальными решениями двойственных задач устанавливается с помощью теорем двойственности. Основное неравенство теории двойственности: Пусть имеется пара двойственных задач. Для особых допустимых решений. Х=(х₁, х₂,…, х_n) и Y=(y₁,y₂,…,y_m). Для исходных и двойственных задач справедливо неравенство: F(X)≤Z(Y). Достаточный признак оптимальности: Если Х*=(х*₁, х*₂,…, х*_n) и Y*=(y*₁,y*₂,…,y*_m) допустимые значения взаимно двойственных  задач для которых выполняется условие F(X*)=Z(Y*), X*-оптимальное решение исходной задачи, а Y*-двойственной задачи. Первая  теорема двойственности: Если  одна  их  взаимодвойственных   задач  имеет оптимальное  решение ,  то  его  имеет  другая  задача,  причем  оптимальные  значения  их  целевых  функций  равны Fmax= Zmin если  целевая функция одно  из  задач не  ограниченна то  условие другой  задачи  противоречивы. Экономический смысл 1 Т: Предприятию  безразлично  производить  ли  продукцию  по  оптимальному  плану  Х*  и  получить  максимальную  прибыль   Fmax  либо  продавать ресурсы по  оптимальным ценам У*  и возместить  от  продажи равные  ей  минимальные затраты на  ресурсы   Zmin

13. Вторая теорема двойственности.

Т: Компоненты  оптимального   решения  двойственной  задачи  равны  абсолютным  значением  коэффициентах  при   соответствующих  переменных  целевой  функции  исходной  задачи,  выраженной  через  свободные  переменные  ее  оптимального  решения.

14. Формулировка транспортной задачи. Пр. Имеется 3 поставщика и 4 потребителя. Мощность поставщиков, спросы потребителей и затраты на перевозку единицы груза представлены в таблице. В левом верхнем углу каждой клетки стоит так называемый коэффициент затрат, те затраты на перевозку ед-цы груза от i-го поставщика к j-му потребителю. Xij- объем перевозок. Транспортная задача формулируется след образом: Найти объемы перевозок для каждой пары поставщик-потребитель, так чтобы: 1)мощности всех поставщиков были реализованы. 2) спросы всех потребителей были удовлетворены. 3) суммарные затраты на перевозку были бы минимальными. 

F=X11+2X12+5X13+3X14+X21+6X22+5X23+…+4X34àMIN.  Особенности транспортной задачи: 1)система ограничений состоит из системы уравнений, те транспортная задача задается в экономической форме. 2)коэффициенты при переменных системы ограничений равны единице или 0. 3) каждая переменная входит в систему ограничений 2-го рода.

15. Математическая модель транспортной  задачи. На множестве неотрицательных решений система ограничений инайти такое решение х, при котором значение целевой функции F=X11+2X12+5X13+3X14+X21+6X22+5X23+…+4X34àMIN. будет минимальным. Произвольно допустимое решение Х системы ограничений 1 и 2 наз-ся распределением поставок. Если суммарная мощность поставщиков=суммарной мощности потребителей, то транспортная задача наз-ся закрытой. В противном случае транс-я задача называется открытой.

16. Методы построения начального  опорного решения. 1)Метод северо-западного угла. Существует ряд методов построения начального опорного решения, наиболее простым из которых является метод северо-западного угла. В данном методе запасы очередного поставщика используются для обеспечения запросов очередных потребителей до тех пор, пока не будут исчерпаны полностью, после чего используются запасы следующего по номеру поставщика. Заполнение таблицы транспортной задачи начинается с левого верхнего угла и состоит из ряда однотипных шагов. 2)Метод наименьших затрат. Как и метод северо-западного угла, он состоит из ряда однотипных шагов, на каждом из которых заполняется только одна клетка таблицы, соответствующая минимальным затратам и исключается из рассмотрения только одна строка (поставщик) или один столбец (потребитель).

17. Переход от одного опорного  решения к другому. 1)Для данного базисного распределения поставок подбираем потенциал строк и столбцов таблицы поставок так, чтобы коэффициенты затрат заполненных клеток стали равны 0. Составляем матрицу оценок. 2)Если оценки всех свободных клеток не отрицательны, то найденное распределение оптимально(решение закончено). Если среди оценок свободных клеток есть отрицательные, то выбираем 1 из них для передачи в нее поставки. 3)Для выбранной свободной клетки строится цикл пересчета. Поставка передаваемая по циклу определяется как минимум среди поставок в клетках со знаком -. ТО получаем новое базисное распределение поставок. 4)Переходим к пункту 1. 

18. Распределительный метод. 

Рассмотрим решение закрытой трансп-ой задачи: являясь задачей  линейного программирования ТЗ может  быть решена симплексным методом. Применительно  к ТЗ он будет иметь свои особенности  и наз-ся распределительным методом. Прежде всего отыскивается какое-то решение задачи — исходный опорный  план. Затем посредством специальных  показателей опорный план проверяется  на оптимальность. Если план оказывается  не оптимальным, переходят к другому  плану. При этом второй и последующие  планы должны быть лучше предыдущего. Так за несколько последовательных переходов от не оптимального плана  приходят к оптимальному. Сначала  необходимо найти  первоначальное базисное решение. Сущ-ет 2 метода: 1)Метод северо-западного  угла 2)Метод наименьших затрат. Базисное распределение поставок оптимально тогда и только тогда когда  оценки всех свободных клеток неотрицательны. Для того чтобы найти оценку свободной  клетки необходимо в свободную клетку задать единичную поставку и рассчитать дельта F(изменение суммарных затрат при указанном перераспределении поставок). Если оценка дельта F отрицательная значит распределение полученное методом наименьших затрат не является оптимальным. Данный метод проверки оптимальности решения довольно трудоемкий, тк приходится искать оценки всех свободных клеток заданного базисного распределения поставок. При вычислении дельта F существенны лишь те коэффициенты затрат в которых происходит перераспределение. В дальнейшем будем строить цикл перерасчета, те ломанную соединяющие клетки с изменяемой поставкой, при этом знаком + отмечаем те клетки, поставка в которых увеличивается, а знаком – клетки в которых поставка уменьшается.

19. Метод потенциалов.

Правило 1: нахождение оценки свободной клетки: для свободной клетки необходимо построить цикл пересчета. В вершинах этого цикла расставить последовательность чередующихся знаков, начиная со знака +в свободной клетке. Тогда значение оценки свободной клетки равно алгебраической сумме коэффициентов затрат клеток цикла, взятых с соответствующими знаками. Опр. Циклом будем называть ломаную с вершинами в клетках и звеньями лежащими вдоль строк и столбцов, удовлетворяющих след условиям: 1)ломанная должна быть связной, те из любой ее вершины можно попасть в любую др вершину по звеньям ломанной 2)в каждой вершине ломанной встречается 2 звена: одно из которых располагается по строке, другой – по столбцу. Для каждой свободной клетки базисного распределения поставок сущ-ет и при том единственный цикл перерасчета. Теорема  о потенциалах: Оценка  свободной  клетки  не  изменится  если  к  коэффициентам  затрат  некоторой  строки (столбца)  прибавить  некоторое  число.  Это  число,  прибавленное  к  коэффициентам  затрат  выделенной  строки (столбца)  будем  называть  потенциалов  данной  строки (Столбца).  Коэффициентом  затрат  таблице  поставок  в  каждой  строке  и  столбце  нужно  прибавить  такие  числа (потенциала)  что бы  коэффициенты  затрат  в  заполненных  клетках  стали  равны  нулю.  Полученные  при  этом  коэффициенты  затрат  свободных  клеток равны  оценкам  этих  клеток. Правило 2(Нахождение оценок свободной клетки): К Коэффициентам затрат таблицы поставок в каждой строке и столбце надо прибавить такие числа(потенциалы) чтобы коэффициенты затрат в заполненных клетках стали равными 0. Полученные при этом коэффициенты затрат свободных клеток = оценкам этих клеток. Поставка передаваемая по циклу определяется как минимум среди поставок в клетках цикла со знаком -. Теорема  о потенциалах: Оценка  свободной  клетки  не  изменится  если  к  коэффициентам  затрат  некоторой  строки (столбца)  прибавить  некоторое  число.  Это  число,  прибавленное  к  коэффициентам  затрат  выделенной  строки (столбца)  будем  называть  потенциалов  данной  строки (Столбца).  Коэффициентом  затрат  таблице  поставок  в  каждой  строке  и  столбце  нужно  прибавить  такие  числа (потенциала)  что бы  коэффициенты  затрат  в  заполненных  клетках  стали  равны  нулю.  Полученные  при  этом  коэффициенты  затрат  свободных  клеток равны  оценкам  этих  клеток. Правило 2(Нахождение оценок свободной клетки): К Коэффициентам затрат таблицы поставок в каждой строке и столбце надо прибавить такие числа(потенциалы) чтобы коэффициенты затрат в заполненных клетках стали равными 0. Полученные при этом коэффициенты затрат свободных клеток = оценкам этих клеток. Поставка передаваемая по циклу определяется как минимум среди поставок в клетках цикла со знаком -.

20. Особенности решения транспортной  задачи с неправильным балансом.

Если суммарный спрос  потребителей больше, чем суммарная  мощность поставщиков(и наоборот), то такая задача наз-ся задачей с  неправильным балансом, а модель задачи - открытой. В таком случае нужно  ввести фиктивного поставщика  в  таблице поставок добавим дополнительную строку, так чтобы задача стала  закрытой, для этого мощность фиктивного поставщика следует принять равной разности суммарного спроса потребителей к  суммарной мощности поставщиков. Коэффициенты затрат принимают равными  одному и тому же числу (пример:0). Конкретное значение этого числа не влияет на оптимальное распределение поставок.

22. Понятие об  игровых моделях. На  практике  часто  приходится  сталкиваться  с  ситуациями  в  которых  необходимо  принимать  решение   в  условиях  неопределенности,  т.е. в  которых  стороны  преследуют  разные  цели,  а  результаты  любого  действия  каждой  из  сторон  зависят  от  мероприятий  партнера. В  экономике  конфликтные  ситуации  встречаются  очень  часто  и  имеют  многообразный  характер.  К ним  относят  взаимоотношения  между  поставщиком  и  потребителем,  покупателем  и  продавцом,  банком  и  клиентом. При  этом  каждому  участнику  приходится  считаться  не  только  со  своими  целями  но  с  целями  партнера,  и  учитывать  неизвестное  за  ранее  решение,  которое  партнеры  будут  принимать.  Для  грамотного  решения задач  с  конфликтными  ситуациями  необходим  научно  разработанный  метод. Такие  методы  разработаны  мат.теорией  конфликтных  ситуаций ,  которые  называются  теорией  игр.  Мат.модель  конфликтной  ситуации называется  игрой. Стороны, участвующие в конфликтах   называются  игроками. Исход  конфликта  называется  выигрыш.  Для  каждой  формализованной  игры вводятся  правила, т.е. система  условий определяющая: 1)Вариант  действия  игроков 2)Объем  информации   каждого  игрока  о  поведении партнера 3)Выигрыш,  к  которому  приводит  каждая совокупность  действий. Игра  называется  парной,  если  в  ней участвует  2  игрока. Игра  называется  множественной,  и если  число  игроков  больше  2-х. Игра  называется  антагонистической,  если  выигрыш  одного  из  игроков  равен  проигрышу  другого.  Выбор и осуществление  одного из  предусмотренных  правилами  действий  называется  ходом игрока.  Ходы  могут  быть личными  и  случайными. Личный  ход- это  сознательный  выбор  игроком  одного  из  возможных  действий.  Случайный  ход- случайно  выбранное  действие. Стратегия  игрока- совокупность  правил,  определяющих  выбор  его  действий  при  каждом  личном  ходе  в  зависимости  от  сложившейся  ситуации.  Игра  называется  конечной  если  у  каждого  игрока  имеется  конечное   число  стратегий  и  бесконечное  в  противном  случае.  Для  того,  что бы  решить  игру  или  найти решение  игры  следует  для  каждого  игрока  выбрать  стратегию  которая  удовлетворит  условия  оптимальности, те 1 из игроков должен получить максимальный выигрыш когда 2й придерживается своей стратегии. В то же время 2й игрок должен иметь минимальный проигрыш, если 1й придерживается своей стратегии-это оптимальные стратегии.   Оптимальные  стратегии  должны  так же удовлетворять  условии  устойчивости,  т.е. любому  из  игроков  должно  быть  не   выгодно  отказываться  от  своей  стратегии  в  этой  игре. Если  игра  повторяется  достаточно  много  раз, то  игроков  должен  интересовать  не  выигрыш и не проигрыш в  каждой конкретной  ситуации,  а  средний  выигрыш  или  проигрыш  во  всех  партиях.  Целью  теории игр  является  определение  оптимальной  стратегии  для  каждого  игрока.

23. Платежная матрица. Нижняя и  верхняя цена игры.

Рассмотрим парную и конечную игру. Пусть игрок А обладает м  стратегией: А1, А2,…, Ам. А игрок В  n стратегией. В этом случае говорят что игра имеет размерность м на n. В результате выбора игроками любой пары стратегии А_i В_j однозначно определяется исход игры, т е выигрыш игрока А или проигрыш игрока В. Предположим что значения а_ij известны для любой пары стратегии А_i В_j. Все значения можно записать в матрицу: p=( а_ij), кот называется платежной матрицей игры. Строки этой матрицы соответствуют стратегиям игрока А, а столбцы стратегиям игрока В. Рассмотрим игру м на n с платежной матрицей p=( а_ij) и определим наилучшую среди стратегий А1, А2,…, Аn. Выбирая стратегию Аi игрок должен рассчитывать, что игрок В ответит на нее той из стратегий В_j  для которой выигрыш для игрока А минимален. Обозначим через  L_i наименьший выигрыш игрока А при выборе им стратегии Аi для всех возможных стратегий игрока В (L_i –наименьшее число в i-строке платежной матрицы). L_{i –} min a_ij , j=1,2,3,n. Среди всех чисел L_i выберем  наибольшее L_{i –} max a_ij , i=1,2,3,n.  L-нижняя цена игры. L=max min a_ij. L- максимин. Стратегия соответствующая максимину наз-ся максиминной. Максимин – гарантированный выигрыш игрока А при любой стратегии игрока В. Игрок В заинтересован в том, чтобы уменьшить выигрыш игрока А. Выбирая стратегию В_j он учитывает максимально возможный выигрыш для А. В_j=max a_ij. Среди чисел В_j выберем наименьшее. В – наз-ся верхней ценой игры. В-min max a_ij. В-минимакс. Стратегия соответствующая минимаксу наз-ся минимаксной. Сущ-ют игры в кот L=B=V, в этом случае значение V  наз-ся чистой ценой игры или просто ценой игры. Минимаксной стратегии соответствующей цене игры наз-ся оптимальными стратегиями? А их совокупность – оптимальным решением или решением игры. В этом случае игрок А получает максимальный гарантированный выигрыш V(независимый от поведения игрока В), а игрок В добивается минимального гарантированного проигрыша В независимо от поведения игрока А. Говорят, что решение игры обладает устойчивостью, если 1 из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, а др игроку не выгодно отклоняться от своей оптимальной стратегии. Пара чистых стратегий (A_iB_j) дает оптимальное решение тогда и только тогда, когда соответствующий элемент а_ij явл-ся одновременно наибольшим в своем столбце и наименьшим в своей строке. Такая ситуация, если она сущ-ет наз-ся Седловой точкой.

25. Геометрический  метод  решения   игры.1)Строим  систему координат и на  оси Ох  вымеряем  единичный отрезок 2)На  оси I-I (Которая соответствует стратегии А1 игрока А)  откладываем отрезки   3)На  оси II-II   (Которая соответствует стратегии А2  игрока А)  4)Соединяем точки В1  с В1, В2 с В2. Найдем N(точка пересечения отрезков) 5)Абсцисса  точки N  определяет  оптимальную стратегию ,  а ордината этой точки цену  игры V

№26. Критерий Байеса и Лапласа.

 1)Критерий Байеса: в качестве оптимального принимается чистая стратегия А_i, при кот максимизируется cредний выигрыш a_i q 0.2 0.35 0.25 0.2. 1)среднее а_i1= 18*0.2+8*0.35-2*0.25-12*0.2=3.5 2)среднее a_i2=6*0.2+36*0.35+26*0.25+16*0.2=23.5 3)среднее a_i3=-6*0.2+24*0.35+54*0.25+44*0.2=29.5 4)среднее a_i4= - 18*0.2+12*0.35+42*0.25+72*0.2=23.5. A₃- оптимальное по критерию Байеса. 2)Критерий Лапласа: в этом случае статистик не располагает информацией о вероятностях q_i состояния природы и считает в равной мере правдоподобными все состояния. q 0,25 0,25 0,25 0,25. 1)среднее а_i1= 18*0.25+8*0.25-2*0.25-12*0.25=3 2)среднее a_i2=6*0.25+36*0.25+26*0.25+16*0.25=21 3)среднее a_i3=-6*0.25+24*0.25+54*0.25+44*0.25=29 4)среднее a_i4= - 18*0.25+12*0.25+42*0.25+72*0.25=27. A₃- оптимальное по критерию Лапласа.

№27. Критерий Вальда, Сэвиджа, Гурвица.

 Критерий Вальда: это максимильный критерий, который можно сформулировать как для чистых, так и для смешенных стратегий. Критерий крайнего писимизма. Статистик исходит из предположения, что природа действует против него наихудшим образом, реализует такое состояние β_j, при кот величина его выигрыша принимает наименьшее значение. Из каждой строчки выбираем самое минимальное число. В 1 строчке:-12, во второй строчке: 6, в третьей строчке: -6, в четвертой строчке: -18. Из этих чисел выбираем самое большое число. А₂ – оптимальное по критерию Вальда.

Критерий Сэвиджа: также как и критерий Вальда, является критерием крайнего писимизма, статистик исходит также из предположения, что природа реализует самое неблагоприятное для него состояние. В качестве оптимального выбирается та чистая стратегия, при которой минимизируется величина максимального риска.    Из второй матрицы из каждой строки выбираем максимальное значение. 1: 84 2: 56 3: 28 4: 36. Из этих значений выбираем самое минимальное. А₃ – оптимальное по критерию Сэвиджа.

Критерий Гурвица: критерий писимизма-оптимизма. При выборе решений согласно этого критерия следует руководствоваться некоторым средним результатом, характеризующим состояния между крайним писимизмом и крайним оптимизмом. Оптимальная стратегия находится исходя из условия: max(γ min a_ij +(1-γ)max a_ij), где γ є (0;1). γ выбирается исходя из субъективных выражений(выбираем сами), если γ=1 получаем критерий Вальда. γ=0  получаем максимаксный критерий. Для матрицы риска кр Гурвица принимает вид  min(γ max r_ij +(1-γ)min r_ij).

28.Цепи  Маркова

Случайным процессом называется функция X(t,w), где t-время, w-элементарный исход. Время может быть непрерывным или дискретным. Случайный процесс ставит в соответствии каждому моменту t случайную величину X(t)=X(t,w), которая завит от w. Пусть задано следующее условие:1)Моменты времени 0<t1<t2<…<tn<tn+1<…<tn+m, где n,m>0 2)А – случайное событие, относящееся t1, t2…,tn-1 3)B – случайное событие, tn+1…,tn+m 4)С – случайное событие tn. Говорят, что процесс обладает Марковским свойством, если для него всегда выполняется равенство: P(B/AC)=P(B/C) или P(AB/C)=P(A/C)P(B/C). Марковское свойство означает, что будущее поведение процесса не зависит от его прошлого при условии, что известно настоящее. Марковским процессом называется случайный процесс, обладающий марковским свойством. Пространством состояния S случайного процесса называется множество всех возможных значений функции X(t,w).  Цепью Маркова называется марковский процесс, для которого выполнено хотя бы одно из следующих условий: 1)Пространство состояний конечно или счетно 2)Время дискретно. Марковский процесс задается матрицей переходных вероятностей(написать матрицу). В каждой строке матрицы записаны вероятности всех возможных переходов из выбранного состояния (в том числе и вероятности того, что система останется в нем). Эти переходы образуют полную группу событий, поэтому для каждой строки имеем равенство . Стационарным распределением цепи Маркова называется такое распределение, которое будучи заданное в качестве начального в дальнейшем остается неизменным. В таком случае говорят, что система находится в стационарном режиме. Стационарное распределение: П=(П1,П2,…,Пm). Оно находится из системы уравнений:{ П=П*Р, ∑П_j=1.