Статистические методы обработки экспериментальных данных

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 28 Октября 2011 в 23:41, контрольная работа

Краткое описание

Построение интервального и точечного статистических распределений результатов наблюдений. Построение полигона и гистограммы относительных частот.

Содержимое работы - 1 файл

Статистические методы обработки экспериментальных данных.doc

— 348.50 Кб (Скачать файл)

    Вариант 13 – нормальное (или гауссовское распределение) 

4.Построение  графика теоретической  плотности распределения. 

      Чтобы выписать плотность теоретического (предполагаемого) распределения,  нужно определить значения параметров  и а и подставить их в соответствующую формулу. Все параметры тесно связаны с числовыми характеристиками случайной величины, т.е.

                              MX = а

                              DX = σ2

     Поскольку значения математического  ожидания и дисперсии неизвестны, то их заменяют соответствующими  точечными оценками, т.е. используют (уже упомянутые ранее) приближенные  равенства  MX » , DX » s2 , что позволяет найти значения параметров распределения.

         По исходным данным была выдвинута  гипотеза о нормальном распределении  изучаемой случайной величины. Найдем  параметры этого распределения:

          _

          x = а,    15,9 = а,   а=15,9

          s2= σ2   53,78 = σ2   σ=7,33 

            

Следовательно, плотность предполагаемого распределения  задается формулой

F(x)= [1/(7,33*√2π)]*e[-(x-15,9)2 / 2*(7,33)2)]=0.054*e^(0,009/((x-15,9)^2))

      Теперь необходимо вычислить значения  f(xi) плотности f (x) при x=xi (в серединах интервалов) Для этого воспользуемся следующей схемой:

 

значения фунцкии

при u=ui находятся, например, с помощью таблицы, имеющейся в любом учебнике или задачнике по теории вероятностей и математической статистике. 

              =15,9; s = 7,33

       
      xi
       ui = xi- x / s φ(ui)
      1,5

      4,5

      7,5

      10,5

      13,5

      16,5

      19,5

      22,5

      25,5

      28,5

      31,5

      -1,96

      -1,56

      -1.15

      -0,74

      -0.33

      0.08

      0.49

      0,90

      1.31

      1,72

      2.13

      0,0584

      0,1182

      0,2059

      0,3034

      0,3778

      0,3977

      0,3538

      0,2661

      0,1691

      0,0909

      0,0413

      0,008

      0,016

      0,028

      0,041

      0,052

      0,054

      0,048

      0,036

      0,023

      0,012

      0,006

    Далее, на одном чертеже строим гистограмму и график теоретической  плотности распределения: гистограмма была построена ранее, а для получения графика плотности наносим точки с координатами (xi ; f(xi)) и соединяем их плавной кривой.

                                                                       

         5.Проверка гипотезы  о распределении  с помощью критерия  согласия Пирсона.

    Ранее  была выдвинута гипотеза о  законе распределения рассматриваемой  случайной величины. Сопоставление  статистического распределения  (гистограмма)  и предполагаемого  теоретического (графика плотности)  показывает наличие некоторых  расхождений между ними. Поэтому возникает естественный вопрос: чем объясняются эти несовпадения? Ответить на него можно двояко:

    1. Указанные расхождения несущественны и вызваны ограниченным количеством наблюдений и случайными факторами – случайностью результата единичного наблюдения, способа группировки данных и т.п. В этом случае выдвинутая гипотеза о распределении считается правдоподобной и принимается как не противоречащая опытным данным.
 
    1. Указанные расхождения являются существенными (неслучайными) и связаны с тем, что действительное распределение случайной величины отличается от предполагаемого. В этом случае выдвинутая гипотеза о распределении отвергается как плохо согласующаяся данными наблюдений.
 

          Для выбора первого или второго  варианта ответа и служат так называемые критерии согласия. Словари толкуют слово критерий (от греч. kriterion – средство для суждения) как признак, на основании которого производится оценка, определение и классификация   чего-либо.

          Существуют различные критерии  согласия: К. Пирсона, А.Н. Колмогорова, Н.В. Смирнова, В.И. Романовского и другие. Мы рассмотрим лишь один из них – критерий Пирсона, называемый также критерием c2 («хи - квадрат»). (К. Пирсон (1857 - 1936) – английский математик, биолог, философ – позитивист.)

           Критерий Пирсона выгодно отличается  от остальных, во – первых, применимостью к любым (дискретным, непрерывным) распределениям и,  во – вторых, простотой вычислительного  алгоритма.

           Правило проверки статистических  гипотез с помощью критерия Пирсона будет объяснено на примерах. 
 

    Группировка исходных данных. 

          Применяется критерий Пирсона  к сгруппированным данным. Предположим,  что произведено n независимых опытов, в каждом из которых изучаемая случайная величина приняла определенное значение. Предположим, что вся числовая ось разбита на несколько непересекающихся промежутков (интервалов и полуинтервалов). Обозначим через nI количество результатов измерений (значений случайной величины), попавших в i-й промежуток. Очевидно, что ånI = n.

           Отметим, что критерий c2 будет давать удовлетворительный для практических приложений результат, если:

    1. количество n опытов достаточно велико, по крайней мере n³100;
    2. в каждом промежутке окажется не менее  5…10  результатов измерений, т.е. ni ³5 при любом i;  если количество полученных значений в отдельных промежутках мало (меньше 5), то такие промежутки следует объединить с соседними, суммируя соответствующие частоты.

        

          Пусть концами построенного разбиения  являются точки zi , где z1 < z2  << zi – 1 , т.е. само разбиение имеет вид

                 (- ¥ º z0; z1) ,  [ z1; z2) ,  [ z2; z3) , … , [ zi – 1; zi º + ¥).

      

          После объединения соответствующих промежутков (последних двух) и замены самой левой границы разбиения на  - ¥, а самой правой на  + ¥ (поскольку на промежутки должна разбиваться вся числовая ось, а не только диапазон полученных в результате опыта значений), мы приходим к следующим интервальным распределениям, пригодным для непосредственного применения критерия Пирсона: 
 

    zi –1; zi - ¥; 6 6;9 9;12 12;15 15;18 18;21
    ni 10 9 11 14 18 13
 
21;24 24;27 27;30   30;+∞
11 7 4   3
 
 

                                           
                      

        

    • Вычисление  теоретических частот. 

            Критерий Пирсона основан на  сравнении  эмпирических (опытных)  частот с теоретическими. Эмпирические  частоты nI определяются по фактическим результатам наблюдений. Теоретические частоты, обозначаемые далее , находятся с помощью равенства

                                                     = n × pi ,

    где n – количество испытаний, а pi º R (zi –1 < x <  zi) - теоретическая вероятность попадания значений случайной величины в i-й промежуток (1 £ i £ 1).Теоретические вероятности вычисляются в условиях выдвинутой гипотезы о законе распределения изучаемой случайной величины.

         

         
     
     
     
     
     
     

         Процедура  отыскания теоретических вероятностей  и частот показана в расчетной  таблице:                                       _

                                                       n = 100; а=x= 15,9;  σ= s=7,33

    i Концы промежутков Аргументы фунцкции Ф0 Значения  функции  Ф0 Pi= Ф0(ui)- Ф0(ui-1) ν1=npi
    zi -1 zi Ui-1=

    (zi-1-x)/s

    Ui=

    (zi-x)/s

    Ф0(ui-1) Ф0(ui)
      1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

       -∞

    6

    9

    12

    15

    18

    21

    24

        27

    30

        6

    9

    12

    15

    18

    21

    24

    27

    30

    +∞

    -∞

    -1,35

    -0,94

    -0,53

    -0,12

    0,29

    0,70

    1,11

    1,51

    1,92

    -1,35

    -0,94

    -0,53

    -0,12

    0,29

    0,70

    1,11

    1,51

    1,92

    +∞

    -0,5000

    -0,4115

    -0,3264

    -0,2019

    -0,0478

    0,1141

    0,2580

    0,3665

    0,4345

    0,4726

    -0,4115

    -0,3264

    -0,2019

    -0,0478

    0,1141

    0,2580

    0,3665

    0,4345

    0,4726

    0,5000

    0,0885

    0,0851

    0,1245

    0,1541

    0,1619

    0,1439

    0,1085

    0,0680

    0,0381

    0,0274

    8,85

    8,51

    12,45

    15,41

    16,19

    14,39

    10,85

    6,80

    3,81

    2,74

                                                                                                           å:     1,0000    100,00                               
       
       
       

    •  

    •  

    • Статистика  c2 и вычисление ее значения по опытным данным. 

          Для того чтобы принять или  отвергнуть гипотезу о законе  распределения изучаемой случайной  величины, в каждом из критериев  согласия рассматривается некоторая  (специальным образом подбираемая) величина, характеризующая степень расхождения теоретического (предполагаемого) и статистического распределения.

           В критерии Пирсона в качестве такой меры расхождения используется величина 

                                               ,

    называемая  статистикой «хи - квадрат» или статистикой Пирсона (вообще, статистикой называют любую функцию от результатов наблюдений). Ясно, что всегда      c2 ³0, причем c2 = 0, тогда и только тогда, когда при каждом i , т.е. когда все соответствующие эмпирические и теоретические частоты совпадают.  Во всех остальных случаях c2 ¹ 0; при этом значение c2  тем больше, чем больше различаются эмпирические и теоретические частоты. 

             Прежде чем рассказать о применении  статистики c2  к проверке гипотезы о закон е распределения , вычислим ее значение для данного варианта; это значение, найденное по данным наблюдений и в рамках выдвинутой гипотезы, будем обозначать через c2набл.. 
     
     
     
     
     

            i ni
            1

            2

            3

            4

            5

            6

            7

            8

            9

            10

            10

            9

            11

            14

            18

            13

            11

            7

            4

            3

            8,85

            8,51

            12,45

            15,41

            16,19

            14,39

            10,85

            6,8

            3,81

            2,74

            0,15

            0,03

            0,17

            0,13

            0,20

            0,13

            0,00

            0,01

            0,01

            0,02

                                                    :   100      100               0,85 

                                                      c2набл. = 0,85 
     

           5.4.  Распределение  статистики   c2. 

              Случайная величина имеет  c2распределение с r степенями свободы (r = 1; 2; 3; …), если ее плотность имеет вид 

                        

    где cr – которая положительная постоянная ( cr определяется из равенства ).             Случайная величина, имеющая распределение c2  с r степенями свободы, будет обозначаться .

               Для дальнейшего изложения важно  лишь отметить, что, во – первых, распределение    определяется одним параметром – числом r степеней свободы и, во – вторых, существуют таблицы, позволяющие произвольно найти вероятность попадания значений случайной величины   в любой промежуток.

               Вернемся теперь к статистике  . Отметим, что она является случайной величиной, поскольку зависит от результатов наблюдений и, следовательно, в различных сериях опытов принимает различные, заранее не известные значения. Понятно, кроме того, закон распределения статистики зависит: 1) от действительного (но неизвестного нам) закона распределения случайной величины, измерения которой осуществляются (им определяются эмпирические частоты ) ; 2) от количества произведенных наблюдений (от числа n) и от способа разбиения числовой оси на промежутки (в частности, от числа i ); 3) от теоретического (выдвинутого в качестве гипотезы) закона распределения изучаемой случайной величины (им определяются теоретические вероятности pi  и теоретические частоты = n × pi )

            Если выдвинутая гипотеза верна,  то очевидно, закон распределения статистики зависти только от закона распределения изучаемой случайной величины, от числа n и от выбора промежутков разбиения. Но на самом же деле, в этом случае (благодаря мастерски подобранному Пирсоном выражению для ) справедливо куда более серьезное утверждение. А именно, при достаточно больших n закон распределения статистики  практически не зависит от закона распределения изучаемой случайной величины и ни от количества n произведенных опытов: при распределение статистики стремится к - распределению с r степенями свободы. Эта теорема объясняет, почему статистика Пирсона обозначается через .

             Если в качестве предполагаемого  выбрано одно их трех основных  непрерывных распределений (нормальное, показательное или равномерное), то r = i – 3, где i – количество промежутков, на которые разбита числовая ось (количество групп опытных данных). В общем случае

                                                    

    где - количество параметров предполагаемого (теоретического) распределения, которые заменены вычисленными по опытным данным оценками.

               Т.е. в данном варианте после группировки исходных данных получаем количество промежутков разбиения i = 10, = 2, т.к. количество параметров предполагаемого (теоретического) распределения, которые заменены вычисленными по опытным данным оценками, = 2 – это  а и s для нормального распределения.

             Следовательно

    R=i-Nпар-1=10-2-1=7                       
     
     

      1.   Правило проверки  гипотезы о законе  распределения случайной  величины.
     

                   Ранее отмечалось (и этот факт  очевиден), что статистика принимает только не отрицательные значения (всегда c2 ³0), причем в нуль она обращается в одном – единственном случае – при совпадении всех соответствующих эмпирических и теоретических частот (т.е. при для каждого i).

                  Если выдвинутая гипотеза о  законе распределения изучаемой  случайной величины соответствует  действительности, то эмпирические  и теоретические частоты должны  быть примерно одинаковы, а  значит, значения статистики будут группироваться около нуля. Если же выдвинутая гипотеза ложна, то эмпирические и соответствующие теоретические частоты будут существенно разниться, что приведет к достаточно большим отклонениям от нуля значений .

                   Поэтому хотелось бы найти  тот рубеж – называемый критическим значением (или критической точкой) и обозначаемый через , который разбил бы всю область возможных значений статистики на два непересекающихся подмножества: область принятия гипотезы, характеризующаяся неравенством , и критическую область (или область отвержения гипотезы), определяемую неравенством . 
     
     

              Область принятия      Критическая область

                  гипотезы

     

            0                                                    

             Как же найти критическое значение  ?

             Если выдвинутая гипотеза о законе распределения изучаемой случайной величины верна, то вероятность попадания значений статистики в критическую область должна быть мала, так что событие { } должно быть практически неосуществимым в единичном испытании. Эта вероятность, обозначим ее через :

                                                        

    называется  уровнем значимости.

              Чтобы определить критическое  значение  , поступим следующим образом. Зададим какое – либо малое значение уровня значимости (как правило = 0,05 или = 0,01) и найдем как уровень уравнения

                                                           

    с неизвестной  x. Поскольку распределение статистики близко при к - распределению с r степенями свободы, то

                                                        

    и приближенное значение можно найти из уравнения

                                                 

                Геометрические соображения показывают, что последнее уравнение имеет единственное решение: его корень – это такое число x > 0, при котором площадь под графиком функции (плотности - распределения) над участком равна. На практике решение последнего уравнения находят с помощью специальных таблиц, имеющихся в любом руководстве по математической статистике; эти таблицы позволяют по двум входным параметрам – уровню значимости  и числу степеней свободы r определить критическое значение . (Находимое таким образом критическое значение зависит, конечно, от и   r,что при необходимости отражают и в обозначениях: ).

                  Зададим уровень значимости как  = 0,05 (условие курсовой работы) .

                  Подводя итоги, сформулируем  правило проверки гипотезы о законе распределения случайной величины с помощью - критерия Пирсона:

    1. Проводят n независимых наблюдений случайной величины (принято считать, что должно быть n ³ 100).
     
    1. Разбивают всю числовую ось на несколько (как  правило, на 8…12) промежутков

                              

       так, чтобы  количество измерений в каждом из них (называемое эмпирической    

       частотой  ) оказалось не менее пяти (т.е. ³ 5 при каждом i). 

    1. Выдвигают (например, судя по профилю гистограммы) гипотезу о законе распределения  изучаемой случайной величины и находят параметры этого закона (чаще всего, заменяя математическое ожидание и дисперсию их оценками).
     
    1. С помощью  предполагаемого (теоретического) распределения  находят теоретические вероятности  pi и теоретические частоты = n × pi попадания значений случайной величины в i-й промежуток.
     
    1. По эмпирическим и теоретическим частотам вычисляют  значения статистики , обозначаемое через c2набл..
     
    1. Определяют  число r степеней свободы.
     
    1. Используя заданное значение уровня значимости и найденное число степеней свободы r, по таблице находят (на пересечении строки, отвечающей r, и столбца, отвечающего ) критическое значение .
    2. Формулируя вывод, опираясь на основной принцип проверки статистических гипотез:

                      если наблюдаемое значение критерия  принадлежит критической области,  т.е. если  , то гипотезу отвергают как плохо согласующуюся с результатами эксперимента;

                      если наблюдаемое значение критерия  принадлежит области принятия  гипотезы, т.е.  , то гипотезу принимают как не противоречащую результатам эксперимента. 

      1. Вывод о соответствии выдвинутой гипотезы и опытных  данных в варианте.
     

                 Правило проверки выдвинутой  гипотезы о законе распределения  изучаемой случайной величины  для данного варианта реализовано  в таблице: 

        Название  величины Обозначение и числовое значение величины
        Уровень значимости (задан в условии)
        = 0,05
        Количество  промежутков разбиения l =10
        Число степеней свободы r=7
        Критическое значение (находится по таблице)
        =
        Наблюдаемое значение критерия c2набл.  = 0,85
        ВЫВОД Гипотеза  не принимается для данного 9 варианта, поскольку
        : 83,5 << 15,51

    Замечания: 1. Заданное значение уровня значимости = 0,05 означает, что

                                                     ,

    т.е. вероятность события { } очень мала. Однако это событие, обладая ненулевой вероятностью, и тогда (при = 0,05 примерно в 5% случаев) будет отвергнута правильная гипотеза. Отвержение гипотезы, когда она верна, называется ошибкой первого рода. Таким образом, уровень значимости - это вероятность ошибки первого рода. Отметим, что ошибкой второго рода называется принятие гипотезы в случае, когда она неверна.

              2. Иногда вместо уровня значимости задается надежность :

                                                        

    т.е. - это вероятность попадания значений статистики в область принятия гипотезы. Поскольку события

                                                     { } и

    противоположны, то

                                            

Информация о работе Статистические методы обработки экспериментальных данных