Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя

     АмГу

     Биробиджанский филиал 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Реферат

на тему:

"Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя" 
 
 
 
 
 
 
 

                 Составитель: Бронникова Т.С.

     Студентки группы 070-Б 1курса

     Проверил …….В.П. 
 
 
 
 
 
 
 

     г.Биробиджан 2010г.

 

      1. Теорема Ролля 

     Знание производной некоторой функции позволяет судить о характерных особенностях в поведении этой функции. В основе всех таких исследований лежат некоторые простые теоремы, называемые теоремами о среднем в дифференциальном исчислении.

     Начнем рассмотрение таких теорем с теоремы, связываемой с именем французского математика Ролля (1652-1719).

     Теорема 1.1. Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема во всех его внутренних точках, а на концах отрезка , обращается в ноль, то существует, по крайней мере, одна точка , в которой .

     Доказательство. Так как функция непрерывна на отрезке , то, согласно свойству 11.1.1, она должна достигать хотя бы один раз на этом отрезке своего минимума и максимума (рис. 1.1).

     Если , функция постоянна, то есть . Но в этом случае для любого .

     В общем случае , и хотя бы одно из этих чисел не равно нулю. Предположим для определенности, что . Тогда существует точка , в которой . 

     

     Рис. 1.1 

 

      Так как рассматриваемое значение является максимальным, то для него справедливо, что для и .

     Рассмотрим пределы 

      для  

     и 

      для . 

     Так как оба предела равны производной функции в одной и той же точке , то они равны между собой. Значит, из одновременности и следует, что , что и требовалось доказать.

     Следует отметить, что данная теорема справедлива и в том случае, когда на концах отрезка функция не обращается в ноль, но принимает равные значения . Доказательство проводится аналогично.

     Геометрический смысл данной теоремы следующий: если непрерывная кривая пересекает ось в двух точках , или принимает в них равные значения, то, по крайней мере, в одной точке между и касательная к кривой параллельна оси .

     Необходимо отметить, что если не во всех точках у рассматриваемой функции существует производная, то теорема может не выполняться. Это касается, например, функции (рис. 1.2): 

 

     

     Рис. 1.2 

     Данная функция непрерывна на отрезке и обращается в ноль на его концах, но ни в одной точке внутри отрезка производная не равна нулю. 

     2. Теорема Лагранжа 

     Результаты теоремы Ролля используются при рассмотрении следующей теоремы о среднем, принадлежащей Лагранжу (1736-1813).

     Теорема. Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема во всех его внутренних точках, то существует, по крайней мере, одна точка , в которой .

     Доказательство. Рассмотрим график функции (рис. 2.1).

     Проведем хорду, соединяющую точки и , и запишем ее уравнение. Воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через две точки на плоскости, получим: 

      , 

     откуда: 

 

     

     Рис. 2.1 

      и . 

     Составим теперь вспомогательную функцию, вычтя из уравнения кривой уравнение хорды: 

      . 

     Полученная функция непрерывна на отрезке и дифференцируема во всех его внутренних точках. Кроме того, вычисление в точках и показывает, что . Значит, функция на отрезке удовлетворяет требованиям теоремы Ролля. Но в этом случае существует такая точка , в которой .

     Вычислим производную функции : 

      . 

     Согласно теореме Ролля в точке производная , то есть и

 

      , 

     что и требовалось доказать.

     Геометрический смысл теоремы Лагранжа следующий: внутри отрезка существует, по крайней мере, одна точка, в которой касательная параллельна хорде, стягивающей кривую на данном отрезке. В частности, при теорема переходит в теорему Ролля.

     Теорему Лагранжа часто записывают в следующем виде: 

      , 

     то есть приращение функции равно приращению аргумента, умноженному на производную функции в некоторой внутренней точке. В связи с этим теорему Лагранжа называют также теоремой о конечных приращениях. 

     3. Теорема Коши 

     Рассмотрим, наконец, третью теорему о среднем, принадлежащей Коши (1789-1859), которая является обобщением теоремы Лагранжа.

     Теорема. Если функции и непрерывны на отрезке и дифференцируемы во всех его внутренних точках, причем не обращается в ноль ни в одной из указанных точек, то существует, по крайней мере, одна точка , в которой .

     Доказательство. Так как во всех точках , то отсюда следует, что . В противном случае, как следует из теоремы Ролля, существовала хотя бы одна точка , в которой .

     Составим вспомогательную функцию 

      . 

     Данная функция непрерывна на отрезке и дифференцируема во всех его внутренних точках. Кроме того, вычисление ее в точках и дает: . Значит, функция удовлетворяет требованиям теоремы Ролля, то есть существует хотя бы одна точка , в которой .

     Вычислим производную : 

      . 

     Из условия следует, что 

      и , 

     что и требовалось доказать.

     В случае, когда , теорема Коши переходит в формулировку теоремы Лагранжа. 

     4. Правило Лопиталя 

     На основании теоремы Коши о среднем можно получить удобный метод вычисления некоторых пределов, называемый правилом Лопиталя (1661-1704).

     Теорема. Пусть функции и непрерывны и дифференцируемы во всех точках полуинтервала и при совместно стремятся к нулю или бесконечности. Тогда, если отношение их производных имеет предел при , то этот же предел имеет отношение и самих функций, то есть .

     Проведем доказательство данной теоремы только для случая, когда . Так как пределы у обеих функций одинаковы, то доопределим их на отрезке , положив, что при выполняется равенство .

     Возьмем точку . Так как функции и удовлетворяют теореме Коши (п. 2.14), применим ее на отрезке : 

      , где . 

     Так как , то 

      . 

     Перейдем в данном равенстве к пределу: 

      . 

     Но если , то и , находящееся между точками и , будет стремится к , значит

 

      . 

     Отсюда, если , то и , то есть 

      , 

     что и требовалось доказать.

     Если при , то снова получается неопределенность вида и правило Лопиталя можно применять снова, то есть 

       

     Доказательство правила Лопиталя для случая проводится сложнее, и мы его рассматривать не будем.

     При раскрытии неопределенностей типа , , , , правило Лопиталя применять непосредственно нельзя. Вначале все эти неопределенности необходимо преобразовать к виду или .

     Правило Лопиталя может быть использовано при сравнении роста функций, в случае когда . Наибольший практический интерес здесь представляют функции , , . Для этого найдем пределы их отношений: 

 

      1) , значит, растет быстрее, чем ;

     2) , значит, растет быстрее, чем ;

     3) , значит, растет быстрее, чем . 

     Отсюда следует, что быстрее всего растет , затем и, наконец, . 
 

 

      Литература 

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М., «Высшая школа» изд. 5, 1977.
2. Зайцев И.А. Высшая математика. ДРОФА, 2005. - 400 с.
3. Краснов М. Вся высшая математика т. 1 изд. 2. Едиториал УРСС, 2003. - 328 с.
4. Краснов М.Л., Макаренко Г.И., Киселев А.И., Шикин Е.В. Вся высшая математика Интегральное исчисление. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Дифференциальная геометрия Том 2.: Учебник - 3-е изд. ЛКИ, 2007.
5. Мироненко Е.С. Высшая математика. М: Высшая школа, 2002. - 109 с.