Теория нечетких множеств

Теория нечетких множеств — раздел прикладной математики, посвященный методам анализа неопределенных данных, в которых описание неопределенностей реальных явлений и процессов проводится с помощью понятия о множествах, не имеющих четких границ.

Теория  нечетких множеств — это расширение классической теории множеств. В классической теории множеств принадлежность элементов некоторому множеству понимается в бинарных терминах в соответствии с четким условием — элемент либо принадлежит, либо не принадлежит данному множеству. В теории нечетких множеств допускается градуированное понимание принадлежности элемента множеству; степень принадлежности элемента описывается при помощи функции принадлежности.

Переход от принадлежности элементов заданному  множеству - к непринадлежности их этому множеству происходит или может происходить постепенно, не резко.

Математический  аппарат

Нечеткое  множество характеризуется функцией принадлежности, отображающей некоторое  множество (носитель нечеткого множества) в отрезок [0; 1]. Значение функции принадлежности показывает степень принадлежности соответствующего элемента носителя рассматриваемому нечеткому множеству. Это значение меняется от 0 (полная непринадлежность) до 1 (полная принадлежность).

История

Понятие "нечеткое множество" введено Л.А.Заде в 1965 г. [1]. Исходный термин - fuzzy set. Другие варианты перевода на русский язык - нечеткое, расплывчатое, размытое, туманное, пушистое множество.

Теория  нечетких множеств в определенном смысле сводится к теории случайных множеств и тем самым к теории вероятностей [2, 3, 4].

Применение

Теория  нечетких множеств применяется в теории и практике управления системами, в экономике и финансах для решения задач в условиях неопределенности ключевых показателей. Ряд стиральных машин и фотоаппаратов сегодня оборудованы нечёткими контроллерами.

Нечёткое (или размытое, расплывчатое, туманное, пушистое) множество — понятие, введённое Лотфи Заде в 1965 г. в статье «Fuzzy Sets» (нечёткие множества) в журнале Information and Control [1]. Л. Заде расширил классическое канторовское понятие множества, допустив, что характеристическая функция (функция принадлежности элемента множеству) может принимать любые значения в интервале [0,1], а не только значения 0 или 1.

Определение

Под нечётким множеством понимается совокупность

,

где — универсальное множество, а — функция принадлежности (характеристическая функция), характеризующая степень принадлежности элемента нечёткому множеству .

Функция принимает значения в некотором вполне упорядоченном множестве . Множество называют множеством принадлежностей, часто в качестве выбирается отрезок . Если , то нечёткое множество может рассматриваться как обычное, чёткое множество.

Основные определения

Пусть нечёткое множество с элементами из универсального множества и множеством принадлежностей . Тогда

• Носителем (суппортом) нечёткого множества называется множество .
• Величина

называется  высотой нечёткого множества . Нечёткое множество нормально, если его высота равна . Если высота строго меньше , нечёткое множество называется субнормальным.

• Нечёткое множество пусто, если . Непустое субнормальное нечёткое множество можно нормализовать по формуле:

.

• Нечёткое множество унимодально, если только на одном из .
• Элементы , для которых , называются точками перехода нечёткого множества .

Сравнение нечётких множеств

Пусть A и B нечёткие множества, заданные на универсальном множестве X.

• A содержится в B, если для любого элемента из X функция его принадлежности множеству A будет принимать значение меньшее либо равное, чем функция принадлежности множеству B:

• В случае, если условие  выполняется не для всех , говорят о степени включения нечёткого множества A в B, которое определяется так:

где

• Два множества  называются равными, если они содержатся друг в друге:

• В случае, если значения функций принадлежности и почти равны между собой, говорят о степени равенства нечётких множеств A и B, например, в виде

где

Свойства нечётких множеств

• α-разрезом нечёткого множества , обозначаемым как , называется следующее чёткое множество:

то есть множество, определяемое следующей характеристической функцией (функцией принадлежности):

Для α-разреза  нечёткого множества истинна  импликация

• Нечёткое  множество  является выпуклым тогда и только тогда, когда выполняется условие

для любых  и .

• Нечёткое множество является вогнутым тогда и только тогда, когда выполняется условие

для любых  и .

Операции над нечёткими множествами

При

• Пересечением нечётких множеств A и B называется наименьшее нечёткое подмножество, содержащееся одновременно в A и B:

• Произведением нечётких множеств A и B называется нечёткое подмножество с функцией принадлежности:

• Объединением нечётких множеств A и B называется наибольшее нечёткое подмножество, содержащее одновременно A и B:

• Суммой нечётких множеств A и B называется нечёткое подмножество с функцией принадлежности:

• Отрицанием множества называется множество с функцией принадлежности:

для каждого  .

Альтернативное представление операций над нечёткими множествами

Пересечение

В общем виде операция пересечения нечётких множеств определеляется следующим образом

где функция T — это так называетмая T-норма. Ниже приведены частные примеры реализации T-нормы:

• , для .

Объединение

В общем случае операция объединения нечётких множеств определеляется следующим образом

где функция S — S-норма (T-конорма). Ниже приведены частные примеры реализации S-нормы:

• , для .

Связь с теорией вероятностей

Теория нечётких множеств в определенном смысле сводится к теории случайных множеств и  тем самым к теории вероятностей. Последовательность теорем, описывающих это сведение, дана в монографиях [2, 3, 4]. Основная идея состоит в том, что значение функции принадлежности можно рассматривать как вероятность накрытия элемента некоторым случайным множеством .

Однако при  практическом применении аппарат теории нечётких множеств обычно используется самостоятельно, выступая конкурентом  к аппарату теории вероятностей и прикладной статистики.