Теория вероятностей

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОУ ВПО Уральский государственный экономический университет

ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБРАЗОВАНИЯ

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по  Теории вероятностей 

Преподаватель Новокрещенов С.А.

Студент Сакеева Ольга Александровна

Экономика труда и управление персоналом

ЭТРпКЧ

г. Екатеринбург

2012г

Вариант № 2

Оглавление:

1.      Контрольная работа № 1……………………………………….2

2.      Контрольная работа № 2……………………………………….6

3.      Список литературы……………………………………………..11

Контрольная работа № 1

Задание № 1: Имеется две урны. В первой урне a белых и в чёрных шаров, во второй урне с белых и d чёрных шаров. Из каждой урны вынимают по одному шару. Какова вероятность, что они будут белыми?

Решение

В первой урне (a+b) шаров,

во второй урне (c+d) шаров.

Вероятность вынуть белый шар из первой урны равна ,

вероятность вынуть белый шар из второй урны .

Т.к. оба события независимы и происходят одновременно, то вероятность их одновременного появления равна .

=

Задание № 2: 12 рабочих получили путёвки в 4 дома отдыха. Трое – в первый дом отдыха, трое – во второй дом отдыха, двое – в третий дом отдыха и четверо – в четвёртый дом отдыха.

Найти вероятность того, что данные двое рабочих попадут в один дом отдыха.

Решение

Назовем рабочих соответственно 1-ый и 2-ой.

Найдем вероятности получения путевок в первый, второй, третий и четвертый дома отдыха каждым рабочим.

Для первого рабочего вероятность получить путевку в первый дом отдыха равна

Тогда для второго рабочего эта вероятность равна при условии, что первый рабочий получил путевку в первый дом отдыха.

Для второго дома отдыха , .

Для 3-его дома отдыха , .

Для 4-ого дома отдыха , .

Пусть А – событие, состоящее в том, что рабочие получили путевки в один и тот же дом отдыха. По теореме умножения и сложения вероятностей, получим

Задание № 3: В денежно – вещевой лотерее на каждые 1000 билетов приходится 24 денежных и 10 вещевых выигрыша. Некто приобрёл 2 билета. Найти вероятность, что он

1) выиграет хотя бы по одному билету;

2) выиграет по одному билету – деньги, а по другому – вещи.

Решение 

На 1000 билетов приходится 24+10=34 (выигрыша)

Найдём вероятность приобретения «счастливого» билета или

вероятность выигрыша

λ=0,034*1000=34

2) Вероятность выиграть деньги по одному билету ,

вероятность выиграть вещи ,

тогда λ1=0,024*1000=24, λ2=0,01*1000=10.

Тогда     -вероятность выиграть деньги, купив один билет.

   -вероятность выиграть деньги, купив 1 билет.

Тогда вероятность события A «Выиграть по 1 билету деньги, а по другому вещи» равна

Задание № 4: В сборочный цех завода поступают детали с трёх автоматов. Первый автомат даёт 3% брака, второй – 1%, третий – 2%. Определить постоянность попадания на сборку бракованной детали, если в цех поступило 500 деталей с 1  автомата, 200 деталей со второго автомата, 300 деталей с третьего автомата.

Решение

Рассмотрим гипотезы.

На сборку поступила деталь, изготовленная первым автоматом – Н1.

На сборку поступила деталь со второго автомата – Н2.

На сборку поступила деталь с третьего автомата – Н3.

Найдем вероятность гипотез.

Всего в цех поступило 500+200+300=1000 (деталей).

Тогда

Пусть А – событие, состоящее в том, что на сборку попала бракованная деталь. Условные вероятности соответственно равны , , .

Тогда по формуле полной вероятности

.

Ответ: P = 0,023

Задание № 5: В специализированную больницу поступают в среднем 70% больных с заболеванием К, а остальные с заболеванием М. Вероятность полного излечения болезни К равна 0.8, болезни М – 0.9. Больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым. Какова вероятность того, что он болел болезнью К.

Решение

Найдем долю больных заболеванием М

100%-70%=30%.

Найдем вероятность того, что больной выздоровеет – событие А – по формуле полной вероятности .

Вероятность того, что больной болел болезнью К найдем по формуле Байеса

.

Контрольная работа № 2

Задание № 1: Составить закон распределения дискретной случайной величины Х, вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины.

В урне 4 шара, на которых указаны очки 2; 4; 5; 5. Наудачу вынимается шар.  Случайная величина Х – число очков на нем.

Решение

1 шар – 2 очка; 2 шар – 4 очка; 3 шар – 5 очков; 4 шар – 5 очков.

Х –число очков на вынутом шаре.

Всего 4 шара. С числом очков 2 и 4 – по одному шару. С числом очков 5 – два шара. Тогда получим:

Найдем математическое ожидание:

М(Х)=.

Найдем дисперсию:

D(X)= М(Х2)-(М(Х)2)

Если  М(Х2)=

Тогда:

D(X)= М(Х2)-(М(Х)2)=17,5 – 42=17,5 – 16=1,5.

Найдем среднеквадратическое отклонение:

х=.

Ответ:

М(Х)=;   D(X)=1,5;  х=.

Задание № 2: Случайная величина Х задана функцией распределения F(X). Найти плотность распределения, математическое ожидание, дисперсию. А также вероятность попадания случайной величины в интервал (,). Построить графики функций f(X), F(X).

Решение

1)     Плотность распределения:

f(X)=F’(X)=

f(X)=

2)     Математическое ожидание:

М(Х)=

3)     Дисперсия:

D(X)= М(Х2)-(М(Х)2)

М(Х2)=

D(X)= М(Х2)-(М(Х)2)=

4)     Р(0.5≤х≤1,5)=F(1,5) – F(0,5)=

Построим графики: 

f(X)

   1,5

   0,5

                           1                           2                                                       X

F(X)

1

                   1                                 2                                                   X

Список литературы:

1.      А.Д. Манита. «Теория вероятности и математическая статистика», 2009

2.      В.Е. Гмурман Учебное пособие «Теория вероятности и математическая статистика», Москва. 2003