Теория вероятностей

Значения: m=1  n=2

Огромная просьба: «Стараемся не тупо все скатывать, а разбирать  и вникать. Открываем методичку →смотрим задание → и подставляем вместо m=1 n=2 свои данные по примеру. 
Будет очень странно, если вся группа сделает одно и то же, так что давайте делать каждый свой вариант - это совсем не трудно, основную часть я уже сделала. Не будем друг друга подставлять. Иначе эта работа будет последней, которую я когда-либо выложу. И тогда будет совсем тяжело. Так что не ленимся, вставляем свои данные.

обозначения:

+ , -  – это, я думаю, и так всем понятно;

* , /   = умножение и деление;

(10⁵*11*12*13 / 2*3*4) - подобные  выражения показывают, что с чем сокращается: 3*4 сокращ. С 12 они выделены одним цветом и перечеркнуты, аналогично с 2 и 10.Буду использовать в решении.

Aⁿ, А^n  - это возведение в степень, может повстречаться как первый вариант написания, так и второй . А-простое число.

12. теория вероятностей

1. Случайные события.
1. В коробке находятся m+2 синих, n+3 красных и 2n+1 зеленых карандашей. Одновременно вынимают m+3n+2 карандашей. Найти вероятность того, что среди них будет m+1 синих и n+1 красных.

 

Решение:

Всего:    3 синих     +     5 красных   +    5 зеленых =   13

              2 синих            3 красных          4 зеленых =   9

Все, что  расположено справа от знаков равенства  относится к общему числу исходов:

n=С⁹₁₃ =13!/9!*(13-9)! = (1*2*3*..n*8*9)*10*11*12*13 / (1*2*3*..n*8*9)   (1*2*3*4)  =  10⁵*11*12*13 / 2*3*4 = 5*11*13=715

Для тех, кто не в курсе, что такое (9! = 1*2*3*4*5*6*7*8*9)

 В  дальнейшем я не буду это  расписывать, если увидите « ! » знайте, это произведение простых чисел от 1 до +∞

 

N_a = C²₃ * C³₅ * C⁴₅ = (2*3)*(2*3*4*5)*(2*3*4*5) / (2*2)*(2*3)*(2*3*4) =150

P(A) = n _a / n = 150 / 715 = 0.2

Ответ: Р(А)=0.2

 

 

2. Это задание делать не надо, я просто случайно решила его!!!!))))

В первой урне находятся m+2 шаров белого и n шаров черного цвета, во второй — m+n белого и m синего, в третьей — n+3 белого и m+1 красного цвета. Из первой и второй урны наудачу извлекают по одному шару и кладут в третью. После этого из третьей вынимают один шар. Найти вероятность того, что он окажется белым.

 

I Ур.                                     II Ур.                                          III Ур.

           3 белый                                           3 белого                                                     5 белого

                2 черн.                                 1 синий                                       2 красного

 

 

H1 = {из первой урны достают  белый шар и из второй - белый} 

H2 = {из первой урны достают  белый шар, а из второй - синий} 

H3 = {из первой урны достают  черный шар, а из второй - белый} 

H4 = {из первой урны достают  черный шар, а из второй - синий}

 

P(H1) = (3/5)*(3/4) = 9/20

P(H2) = (3/5)*(1/4) = 3/20

P(H3) = (2/5)*(3/4) = 6/20

P(H4) = (2/5)*(1/4) = 2/20

 

A = {из третьей урны достали  белый шар} 

 

P(A|H1) = 7/9

P(A|H2) = 6/9

P(A|H3) = 6/9

P(A|H4) = 5/9

По формуле полной вероятности 

 

P(A) = P(H1)P(A|H1) + P(H2)P(A|H2) + P(H3)P(A|H3) +

+ P(H4)P(A|H4) =

= (9/20)*(7/9) + (3/20)*(6/9) + (6/20)*(6/9) + (2/20)*(5/9) =

= 63/180 + 18/180 + 36/180 + 10/180 = 127/180 = 0.7

 

Ответ: Р(А) = 0.7

 

 

 

 

3. Вероятность попадания стрелка в мишень при одном выстреле равна  . Производится n+4 выстрела. Найти вероятность того, что он промахнется не более двух раз.

 

Вероятность попадания стрелка  в мишень при одном выстреле равна 3/5. Производится 6 выстрелов. Найти  вероятность того , что он промахнется не более двух раз.

 

n = 6

q = 3/5 = 0.6 - вероятность попадания 

p = 1-q = 2/5 = 0.4 - вероятность промаха 

 

m - число промахов 

 

По формуле Бернулли

P (m <= 2) = P(m=0) + P(m=1) + P(m=2) = (0.6)⁶ + C(1;6)*(0.4)*((0.6)⁵) +

+ C(2;6)*((0.4)²)*((0.6)⁴) = 0.046656 + 0.186624 + 0.31104 = 0.54432

 

(0.6)⁶ – 100% попадания;

(C(1;6)*(0.4)*((0.6)⁵) –(С(1; 6)) 1-промах, 6-выстрелов, 0.4 – вероятность промаха,

0.6⁵ – вероятность попадания  в 5 степени, так как в этом случае  у нас есть промах.

 

Ответ: Р = 0.544

12.2. Случайные величины

 

12.2.2. Закон  распределения дискретной случайной  величины X имеет вид:

 

xi	-2	-1	0	m	m+n
pi	0,2	0,1	0,2	p4	p5

 

Найти вероятности p₄, p₅, и дисперсию DX, если математическое ожидание MX=-0,5+0,5m+0,1n.

 

D(X)=M([X – M(X)]²) = M(X²) – (M(X))²

 

xi	-2	-1	0	1	3
pi	0,2	0,1	0,2	p4	p5

 

Найти вероятности  р₄   р_5, и дисперсию DX,если математическое ожидание

 

MX= - 0,5 + 0,5 + 0.1*3 =0.3

MX= -2*0,2-1*0,1+p₄+ 3p₅

-2*0,2-1*0,1+p₄+ 3p₅ =0.3

 

p₄ +3p₅ =0.8

0.2+0.1+0.2+p₄+p₅=1

p₄=0,8 – 3p₅

0.8 – 3p₅+p₅=0.5

2p₅=0.3

P₅=0,15

P₄=0.8- 0.15*3 = 0.35

Проверка:

0.2+0.1+0.2+0.15+0.35=1    => верно

 

D(X) = x²₁*p₁ +x²₂*p₂ + x²₃*p₃ + x²₄*p₄ +x²₅*p₅ - [M(X)]²

D(X)= (-2)²*0,2+(-1)²*0.1+0*0.2+1²*0.35+3²*0.15 – (-0.3)²=

=0.8+0.1+0+0.35+1.35 – 0.09=2.6- 0.09≈2.51

Среднее квадратическое отклонение – это корень квадратный из дисперсии:

 σ =√2.51≈ 1.58

 

 

Ответ: D(X)≈2.51

            σ(x) =√2.51≈ 1.58

            P₄=0.35

            P₅=0,15

13. Элементы математической  статистики

 

Имеются следующие выборочные данные (выборка 10%-ная, механическая) о выпуске продукции и сумме прибыли, млн. руб.:

 

№ предприятия	Выпуск продукции	Прибыль	№ предприятия	Выпуск продукции	Прибыль
1	60+n	15,7	16	52,0	14,6
2	78,0	18,0	17	62,0	14,8
3	41,0	12,1	18	69,0	16,1
4	54,0	13,8	19	85,0	16,7
5	60+n	15,5	20	70+n	15,8
6	n•m+20	n+m+10	21	71,0	16,4
7	45,0	12,8	22	n•m+30	n+m+10
8	57,0	14,2	23	72,0	16,5
9	67,0	15,9	24	88,0	18,5
10	80+n	17,6	25	70+n	16,4
11	92,0	18,2	26	74,0	16,0
12	48,0	n+m+5	27	96,0	19,1
13	59,0	16,5	28	75,0	16,3
14	68,0	16,2	29	101,0	19,6
15	80+n	16,7	30	70+n	17,2

 

 

Задание 13.3.

1. Определите коэффициенты выборочного уравнения регрессии .
2. Установите наличие и характер корреляционной связи между стоимостью произведённой продукции (X) и суммой прибыли на одно предприятие (Y). Постройте диаграмму рассеяния и линию регрессии.
3. Рассчитайте линейный коэффициент корреляции. Используя t-критерий Стьюдента, проверьте значимость коэффициента корреляции. Сделайте вывод о тесноте связи между факторами X и Y, используя шкалу Чеддока.

При расчетах целесообразно использовать стандартные  математические пакеты для персональных компьютеров.