Теория вероятности и математическая статистика. Задачи

Вычислить математическое ожидание Mx, дисперсию Dx и среднеквадратическое отклонение s.

Решение. По определению математическое ожидание x равно

      

.

Далее

,

а потому

.

Среднее квадратическое отклонение .

Задача 5. Для пары случайных величин из задачи 3 вычислить .

Решение. Воспользуемся формулой . А именно, в каждой клетке таблицы выполняем умножение соответствующих значений и , результат умножаем на вероятность p_ij, и все это суммируем по всем клеткам таблицы. В итоге получаем:

Задача 6. Для пары случайных величин из задачи 3 вычислить ковариацию cov(x,h).

Решение. В предыдущей задаче уже было вычислено математическое ожидание . Осталось вычислить и . Используя полученные в решении задачи 3 частные законы распределения, получаем

; ;

и значит,

       ,

чего и следовало  ожидать вследствие независимости  случайных величин.

Задача 7. Случайный вектор (x,h) принимает значения (0,0), (1,0), (–1,0), (0,1) и (0,–1) равновероятно.  Вычислить ковариацию случайных величин x и h. Показать, что они зависимы.

Решение. Поскольку Р(x=0)=3/5, P(x=1)=1/5, P(x=–1)=1/5;  Р(h=0)=3/5, P(h=1)=1/5, P(h=–1)=1/5, то Мx=3/5´0+1/5´1+1/5´(–1)=0 и Мh=0;

М(xh)=0´0´1/5+1´0´1/5–1´0´1/5+0´1´1/5–0´1´1/5=0.

Получаем cov(x,h)=М(xh)–МxМh=0, и случайные величины некоррелированны. Однако они зависимы. Пусть x=1, тогда условная вероятность события {h=0} равна Р(h=0|x=1)=1 и не равна безусловной Р(h=0)=3/5, или вероятность {ξ=0,η=0} не равна произведению вероятностей: Р(x=0,h=0)=1/5¹Р(x=0)Р(h=0)=9/25. Следовательно, x и h зависимы.

Задача  8. Случайные приращения цен акций двух компаний за день x и h имеют совместное распределение, заданное таблицей:

 

Найти коэффициент  корреляции.

Решение.Прежде всего вычисляем Mxh=0,3-0,2-0,1+0,4=0,4. Далее находим частные законы распределения x и h: 

 

Определяем  Mx=0,5-0,5=0; Mh=0,6-0,4=0,2; Dx=1; Dh=1–0,2²=0,96; cov(x,h)=0,4. Получаем

.

Задача  9. Случайные приращения цен акций двух компаний за день имеют дисперсии Dx=1 и Dh=2, а коэффициент их корреляции r=0,7. Найти дисперсию приращения цены портфеля из 5 акций первой компании и 3 акций второй компании.

Решение. Используя свойства дисперсии, ковариации и определение коэффициента корреляции, получаем:

.

Задача 10. Распределение двумерной случайной величины задано таблицей:  

Найти условное распределение и условное математическое ожидание h  при x=1.

Решение. Условное математическое ожидание  равно

.

      Из  условия задачи найдем распределение  составляющих h  и x (последний столбец и последняя строка таблицы).

Поскольку , то условные вероятности находятся по формулам

, ,

а искомое  условное математическое ожидание равно   .