Теория вероятности

1.

Пусть брошены две  монеты. Найдем вероятность появления  двух гербов. Мы имеем 4 равновероятных попарно несовместных исхода, образующих полную группу:  
 

	1-я монета	2-я монета
1-й исход	герб	герб
2-й исход	герб	надпись
3-й исход	надпись	герб
4-й исход	надпись	надпись

 
   Таким образом, P(герб,герб)=1/4.  
 
   Пусть теперь нам стало известно, что на первой монете выпал герб. Как изменится после этого вероятность того, что герб появится на обеих монетах? Так как на первой монете выпал герб, то теперь полная группа состоит из двух равновероятных несовместных исходов:  
 

	1-я монета	2-я монета
1-й исход	герб	герб
2-й исход	герб	надпись

 
   При этом только один из исходов благоприятствует событию (герб, герб). Поэтому при сделанных  предположениях Р(герб,герб)=1/2. Обозначим через А появление двух гербов, а через В — появление герба на первой монете. Мы видим, что вероятность события Аизменилась, когда стало известно, что событие B произошло.  
 
   Новую вероятность события А, в предположении, что произошло событие B, будем обозначать PB(А).  
 
   Таким образом, Р(A)=1/4; PB(А)=1/2 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

В урне содержится 8 черных и 6 белых шаров. Случайным образом  вынимают 5 шаров. Найти вероятность  того, что среди них имеется: 
 
а) 3 белых шаров; 
 
б) меньше, чем 3, белых шаров; 
 
в) хотя бы один белый шар. 
 
8  ч           Испытанием будет случайное вынимание 5 шаров. Элементарными 
 
6  б           событиями являются всевозможные сочетания по 5 из 14 шаров. Их число равно 
 
 
 
а) А₁ - среди вынутых шаров 3 белых. Значит, среди вынутых шаров 3 белых и 2 черных. Используя правило умножения, получаем 
 
 Р(А₁) = 560/2002 = 280/1001. 
 
б) А₂ - среди вынутых шаров меньше чем 3 белых. Это событие состоит из трёх несовместных событий: 
 
В₁ - среди вынутых шаров только 2 белых и 3 черных шара, 
 
В₂ - среди вынутых шаров только один белый и 4 черных шара 
 
В₃ - среди вынутых шаров нет ни одного белого, все 5 шаров черные: 
 
А₂ = В₁   В₂   В_3. 
 
Так как события В₁, В₂ и В₃ несовместимы, можно использовать формулу: 
 
Р(А₂) = Р(В₁) + Р(В₂) + Р(В₃); 
 
 
 
Р(А₂) = 840/2002 + 70/2002 + 56/2002 = 483/1001. 
 
в)   - среди вынутых шаров нет ни одного белого. В этом случае: 
 
 
 
Р(А₃) = 1 - Р( ) = 1 - 28/1001 = 973/1001. 
 
Ответ: Р(А₁) = 280/1001, Р(А₂) = 483/1001, Р(А₃) = 973/1001.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.В первой урне 5 белых и 7 черных шаров, а во второй урне 6 белых и и 4 черных шаров. Из первой урны вынимают случайным образом 2 шара, а из второй - 2 шара. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров: 
 
а) все шары одного цвета; 
 
б) только три белых шара; 
 
в) хотя бы один белый шар.

Шары вынимали из обеих  урн независимо. Испытаниями    являются извлечение двух шаров из первой урны и двух шаров                 из второй урны. Элементарными событиями будут сочетания по 2 или 2 из 12 или 10 шаров соответственно 
 
1 урна          2 урна                 

5     б            6       б                  
7     ч            4       ч                      
_____           ______                   . 
 
   2                    2                          

а) А₁ - все вынутые шары одного цвета, т.е. они или все белые, или все черные.  
 
            Определим для каждой урны всевозможные события: 
 
            В₁ - из первой урны вынуты 2 белых шара; 
 
            В₂ - из первой урны вынуты 1 белых и 1 черный шар; 
 
            В₃ - из первой урны вынуты 2 черных шара; 
 
            С₁ - из второй урны вынуты 2 белых шара; 
 
            С₂ - из второй урны вынуты 1 белый и 1 черный шар; 
 
            С₃ - из второй урны вынуты 2 черных шара. 
 
Значит, А₁ =  , откуда, учитывая независимость и несовместимость событий, получаем 
 
Р(А₁) = Р(В₁) * Р(С₁) + Р(В₃) * Р(С₃). 
 
            Найдем количество элементарных событий n₁ и n₂  для первой и второй урн соответственно. Имеем:  
 
 
 
            Найдем количество каждого элемента событий, определяющих следующие события:  
 
В₁ : m₁₁ =           C₁ : m₂₁ =   
 
B₂ : m₁₂ =      C₂ : m₂₂ =   
 
B₃ : m₁₃ =       C₃ : m₂₃ =   
 
Следовательно,  
 
Р(А₁) = 10/66 * 15/45 + 21 * 6/45 = 5/99 + 7/165 = 46/495. 
 
            б) А₂ - среди извлеченных шаров только 3 белых. В этом случае 
 
А₂ = (В₁   С₂   (В₂   С₁); 
 
Р(А₂) = Р(В₁) * Р(С₁) + Р(В₂) * Р(С₂) 
 
Р(А₂) = 10/66 * 6/45 + 35/66 * 24/45 = 33/99 = 1/3. 
 
            в) А₃ - среди извлеченных шаров имеется по крайней мере один белый. 
 
 - среди извлеченных шаров нет ни одного белого шара. Тогда 
 
 
 
Р( ) = Р(В₃) * Р(С₃) = 21/66 * 6/45 = 7/165; 
 
Р(А₃) = 1 - Р( ) = 1 - 7/165 = 158/165. 
 
Ответ: Р(А₁) = 46/495, Р(А₂) = 1/3, Р(А₃) = 158/165. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 4. 
В урне содержится 4 черных и 7 белых шаров. Случайным образом вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что среди них имеется: 
а) 2 белых шара; 
б) меньше, чем 2, белых шаров; 
в) хотя бы один белый шар. 
Задание 5. 
Устройство состоит из трех независимых элементов, работающих в течение времени Т безотказно соответственно с вероятностями , и . Найти вероятность того, что за время Т выйдет из строя: 
а) только один элемент; 
б) хотя бы один элемент. 
Значения параметров вычислить по следующим формулам: 
P1=1-k P2=0.9-k P3=0.85-k