Министерство  науки и образования Украины

ДГМА 
 

Реферат

 
 
 
 

на тему: 

Задачи  линейной алгебры. Понятие  матрицы. Виды матриц. Операции с матрицами. Решение задач  на преобразование матриц. 
 
 
 
 
 

       Подготовил

учащийся 1КД гр.

Сергей  Шрам 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Краматорск

2003 

 

Задачи линейной алгебры. Понятие  матрицы. Виды матриц. Операции с матрицами. Решение задач  на преобразование матриц.  
 
 

       При решении различных задач математики очень часто приходится иметь  дело с таблицами чисел, называемых матрицами. С помощью матриц удобно решать системы линейных уравнений, выполнять многие операции с векторами, решать различные задачи компьютерной графики и другие инженерные задачи.

       Матрицей  называется прямоугольная таблица  из чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество п столбцов. Числа т и п называются порядками матрицы. В случае, если т = п, матрица называется квадратной, а число m = n — ее порядком.

       В дальнейшем для записи матриц будут  применяться либо сдвоенные черточки, либо круглые скобки:

         или    

       Для  краткого обозначения матрицы часто  будет использоваться либо одна большая  латинская буква  (например, A),  либо символ  || a _ij || ,  а иногда с разъяснением:  А = || a _ij || =    ( a _ij ), где (i = 1, 2, ..., т,  j=1, 2, ..., n).

       Числа a _ij , входящие в состав данной матрицы, называются ее элементами. В записи a _ij первый индекс і означает номер строки, а второй индекс j — номер столбца.  В случае квадрат-ной матрицы

                         (1.1)

вводятся  понятия главной и побочной диагоналей. Главной диагональю матрицы (1.1) называется диагональ а₁₁ а₁₂ … a_nn идущая из левого верхнего угла этой матрицы в правый нижний ее угол. Побочной диагональю той же матрицы называется диагональ а_n1  а_(n-1)2 … a_1n , идущая из левого нижнего угла в правый верхний угол. 

Основные  операции над матрицами  и их свойства.

         Прежде всего, договоримся считать  две матрицы равными, если эти  матрицы имеют одинаковые порядки  и все их соответствующие элементы  совпадают.

       Перейдем  к определению основных операции над матрицами.

       Сложение  матриц. Суммой двух матриц  A = || a _ij || , где (i = 1, 2, ..., т,  j=1, 2, ..., n)  и В = || b _ij || , где (i = 1, 2, ..., т,  j=1, 2, ..., n) одних и тех же порядков т и п называется матрица С = || c _ij ||  (і =1,2, ..., т;  j = 1, 2, ...., п) тех же порядков т и п, элементы с_ij   которой определяются по формуле

        , где (i = 1, 2, ..., т,  j=1, 2, ..., n) (1.2)

Для обозначения  суммы двух матриц используется запись С = А + В. Операция составления суммы матриц называется их сложением. Итак, по определению:

+ =

       Из  определения суммы матриц, а точнее из формул (1.2) непосредственно вытекает, что операция сложения матриц обладает теми же свойствами, что и операция сложения веществен-ных чисел, а именно:

       1) переместительным свойством: А + В = В  + А,

       2) сочетательным свойством: (A + B) + С = А + (В + С).

       Эти свойства позволяют не заботиться о  порядке следования слагаемых матриц при сложении двух или большего числа матриц.

       Умножение матрицы на число. Произведением  матрицы  A = || a _ij || ,  где (i = 1, 2, ..., m,  j=1, 2, ..., n)   на вещественное число l, называется матрица С = || c _ij ||   (і =1,2, ..., m;  j = 1, 2, ...., n), элементы  которой определяются по формуле:

        ,   где (i = 1, 2, ..., т,  j=1, 2, ..., n) (1.3)

Для обозначения  произведения матрицыі на число используется запись С = l A или С = А l. Операция составления произведения матрицы на число называется умножением матрицы на это число.

       Непосредственно из формулы (1.3) ясно, что умножение  матрицы на число обладает следующими свойствами:

       1) сочетательным свойством относительно  числового множителя: ( l m ) A = l ( m A );

       2) распределительным свойством относительно суммы матриц: l (A + B) = l A + l B;

       3) распределительным свойством относительно  суммы чисел: (l + m) A = l A + m A

       Замечание. Разностью двух матриц А и В одинаковых порядков т и п естественно назвать такую матрицу С тех же порядков т и п, которая в сумме с матрицей B дает матрицу A. Для обозначения разности двух матриц используется естественная запись: С = A — В.

       Очень легко убедиться в том, что  разность С двух матриц А и В может быть получена по правилу С  = A + (–1) В.

       Произведение  матриц или перемножение матриц.

       Произведением матрицы A = || a _ij || ,  где (i = 1, 2, ..., m,  j = 1, 2, ..., n) имеющей порядки, соответственно равные т и n, на матрицу В = || b _ij || , где (i = 1, 2, ..., n ,  j=1, 2, ..., р), имеющую порядки, соответственно равные n и р, называется матрица С = || c _ij ||   (і =1,2, ..., m;  j = 1, 2, ...., р), имеющая порядки, соответственно равные т и р элементы  которой определя-ются по формуле:

          где  (i = 1, 2, ..., m,   j = 1, 2, ..., p) (1.4)

       Для обозначения произведения матрицыі А на матрицу В используют запись С = А × В. Операция составления произведения матрицы А на матрицу В называется перемножением этих матриц.

       Из  сформулированного выше определения  вытекает, что матрицу А можно умножить не на всякую матрицу В, необходимо, чтобы число столбцов матрицы А было равно числу строк матрицы В.

       Формула (1.4) представляет собой правило составления  элементов матрицы С, являющейся произведением матрицы  А на матрицу В. Это правило можно сформулировать и словесно: элемент c_{i j} стоящий на пвресечении і-й строки и j-го столбца матрицьі С = А В, равен сумме попарных произведений соответствующих элементов і-й строки матрицы А и j-го столбца матрицы В.

       В качестве примера применения указанного правила приведем формулу перемножения квадратных матриц второго порядка.

         ×    = 

       Из  формулы (1.4)  вытекают следующие  свойства произведения матрицы  А на матри-цу В:

       1) сочетательное свойство: ( А В ) С = А ( В С );

       2) распределительное относительно  суммы матриц свойство:

       ( A + B ) С = А С + В С или A ( В + С ) = A В + А С.

       Вопрос  о перестановочном (переместительном) свойстве произведения матрицы A на матрицу В имеет смысл ставить лишь для квадратных матриц A и В одинакового порядка.

       Приведем  важные частные случаи  матриц, для  которых справедливо и переста-новочное свойство. Две матрицы для произведения которых справедливо перестановочное  свойство, принято називать коммутирующими.

       Среди квадратных матриц выделим класс так называемых диагональных матриц, у каждой из которых элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю. Каждая диа-гональная матрица порядка  п имеет вид 

       D =   (1.5) 

       где d₁ , d₂ , …, d_n—какие угодно числа. Легко видеть, что если все эти числа равны между собой, т. е. d₁ = d₂  = … = d_n  то для любой квадратной матрицы А порядка п справедливо равенство А D = D А.

       Среди всех диагональных матриц (1.5) с совпадающими элементами d₁ = d₂  = … = d_n = = d особо важную роль играют две матрицы. Первая из этих матриц получается при d = 1, называется единичной матрицей n-го порядка и обозначается символом  Е. Вторая матрица получается при d = 0, называется нулевой матрицей n-го порядка и обозначается символом O. Таким образом, 

       E =    O =  

       В силу доказанного выше А Е = Е А и А О = О А. Более того, легко показать, что  

       А Е = Е А = А,   А  О = О А = 0.           (1.6) 

       Первая  из формул (1.6) характеризует особую роль единичной матрицы Е, аналогичную той роли, которую играет число 1 при перемножений вещественных чисел. Что же касается особой роли нулевой матрицы О, то ее выявляет не только вторая из формул (1.7), но и элементарно проверяемое равенство

А + 0 = 0 + А = А.

       В заключение заметим, что понятие нулевой матрицы можно вводить и для неквадрат-ных матриц (нулевой называют любую матрицу, все элементы которой равныї нулю).

Блочные матрицы

         Предположим, что некоторая матрица  A = || a _ij || при помощи горизонтальных и вертикальных прямых разбита на отдельные прямоугольные клетки, каждая из которых представляет собой матрицу меньших размеров и называется блоком исходной матрицы. В таком случае возникает возможность рассмотрения исходной матрицы А как некоторой новой (так называемой б л о ч н о й) матрицыі А = || A _ab ||,  элементами которой служат указанные блоки. Указанные элементы мы обозначаем большой латинской буквой, чтобы подчеркнуть, что они являются, вообще говоря, матрицами, а не числами и (как обычные числовые элементы) снабжаем двумя индексами, первый из которых указывает номер «блочной» строки, а второй — номер «блочного» столбца.

       Например, матрицу

 

       

       можно рассматривать как блочную матрицу 

       элементами  которой служат следующие блоки:

            

          

       Замечательным является тот факт, что основные операции с блочными матрицами совершаются  по тем же правилам, по которым они  совершаются с обычными числовыми  матрицами, только в роли элементов выступают блоки. 

Понятие определителя.

       Рассмотрим  произвольную квадратную матрицу любого порядка п:

                      A =    (1.7) 

       С каждой такой матрицей свяжем вполне определенную численную характеристику, называемую определителем, соответствующим этой матрице.

       Если  порядок n матрицы (1.7) равен единице, то эта матрица состоит из одного элемен-та а_{i j} определителем первого порядка соответствующим такой матрице, мы назовем величину этого элемента.

       Если  далее порядок п матрицы (1.7) равен двум, т. е. если эта матрица имеет вид