Задачи по "Математике"

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 22 Ноября 2010 в 01:38, задача

Краткое описание

Работа содержит задачи и их решения по предмету "Математика".

Содержимое работы - 1 файл

14 решение.doc

— 1.55 Мб (Скачать файл)
 
1. (9.1) НАЙТИ И ИЗОБРАЗИТЬ В ПЛОСКОСТИ  XOY ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ. 
9.1.14.
 
 
 
 
Решение: 

Квадратный корень определен при t 0, следовательно

 и  (т. к. ).

Получаем:

 и   
 
 

Изобразим область  определения функции на графике. 

На графике  область определения изображена штриховкой, за исключением точек, лежащих  на графике y=1-x. 

 
 
 

2. (9.2) НАЙТИ  ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ПОЛНЫЙ  ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ. 

9.2.17.
 
 
 
 
 

 

3. (9.3) ВЫЧИСЛИТЬ  ЗНАЧЕНИЯ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ  ФУНКЦИИ 

В ТОЧКЕ
.

9.3.20.
 
 
 
 
 
Решение: 
 

В точке М0(2,3,25): 
 

 
 

4. (9.4) ПРИМЕНЯЯ ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ, ПРИБЛИЖЕННО ВЫЧИСЛИТЬ (СЧИТАТЬ

,
).

9.4.23.
 
 
 
 
Решение: 

Рассмотрим функцию  :

Тогда 1,023= , где x=3, =0,02, y=3, =0 

Формула полного  дифференциала, применяемая в приближенных расчетах: 

Найдем  и :

Следовательно, 1,023 , т. е.

1,023 1,06 

Рассмотрим функцию  :

Тогда 0,972= , где x=1, =-0,03, y=2, =0 

Формула полного дифференциала, применяемая в приближенных расчетах: 

Найдем  и :

Следовательно, 0,972 , т. е.

0,972 0,94 

Рассмотрим функцию  :

Тогда , где x=1, =0,06, y=1, =-0,06 

Формула полного  дифференциала, применяемая в приближенных расчетах: 

Найдем  и :

Следовательно, , т. е.

1 

5. (9.5) НАПИСАТЬ  УРАВНЕНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ И НОРМАЛИ К ПОВЕРХНОСТИ В ЗАДАННОЙ ТОЧКЕ

.

9.5.26.
 
 
 
 
 
Решение: 

 

Уравнение касательной  плоскости: 

 

Уравнение нормали: 

 
 

Поверхность задана уравнением . С учетом того, что частные производные могут быть найдены как производные неявной функции:

 и  , уравнения касательной и нормали примут вид: 

 

 
 

 

Получаем уравнение  касательной плоскости: 

 

Получаем уравнение  нормали: 

 
 

6. (9.6) ВЫЧИСЛИТЬ ЗНАЧЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

, ГДЕ
),
, РПИ
).

9.6.29.
 
 
 
 
Решение: 

 

Найдем  :

Найдем  :

Найдем  :

Найдем  :

 

Упростим правую часть полученного равенства: 

 
 

7. (9.7) ВЫЧИСЛИТЬ ЗНАЧЕНИЯ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ФУНКЦИИ

, ЗАДАННОЙ НЕЯВНО, В ДАННОЙ ТОЧКЕ
).

9.7.2.
 
 
 
 
Решение: 

По формулам и ( ) имеем:

В точке М(-1,0,1):

 
 

10. (9.10) НАЙТИ  ВТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ УКАЗАННЫХ  ФУНКЦИЙ. УБЕДИТЬСЯ В ТОМ, ЧТО 

.

9.10.11.
 
 
 
 
Решение: 

=  
 

11. (9.11) ПРОВЕРИТЬ,  УДОВЛЕТВОРЯЕТ ЛИ УКАЗАННОМУ  УРАВНЕНИЮ ДАННАЯ ФУНКЦИЯ 

.

9.11.14.
 
 
 
 
Решение: 

Найдем  :

Найдем  :

 
 
 

12. (9.12) ИССЛЕДОВАТЬ НА ЭКСТРЕМУМ СЛЕДУЮЩИЕ ФУКЦИИ.

9.12.17.
 
 
 
 
Решение: 

Точки, в которых  производные не существуют – отсутствуют.

Найдем стационарные точки, решая систему уравнений:

Отсюда получаем точку M1(0;0)

Находим частные  производные второго порядка  данной функции:

В точке M1(0;0) имеем: А=-10, В=2, С=-6

АС-В2=56, , поэтому в точке M1(0;0) функция имеет экстремум.

Т. к. , то в точке M1 функция имеет локальный максимум:

 
 

13. (9.13) НАЙТИ  НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЕ  ФУНКЦИИ 

В ОБЛАСТИ
, ОГРАНИЧЕННОЙ ЗАДАННЫМИ ЛИНИЯМИ.

9.13.20.
 
 
 
 
 

Решение: 

 
 

 

Находим все  критические точки: 

 

Решением системы  является точка (0;0) 

Эта точка принадлежит  заштрихованной области. 
 

z(0;0)=-2 

Исследуем функцию  z на границе области, состоящей из участков АВ, ВС, СА 

На участке  АВ: y=0, z=x2-2 , где

 

На участке  ВС: у=3х2-4, z=3х32-4х-2, где

 

 

На участке  АС: y=3х2-4, z=3х32-4х-2, где  

 

 
 

Сравнивая полученные результаты, имеем: 

М

m

Информация о работе Задачи по "Математике"