Поэтому 

      . 

     Задача 19 

     Вычислить предел

     Решение 

     Для того, чтобы воспользоваться вторым замечательным пределом, в показателе степени выделим величину, обратную второму слагаемому основания и получим

      . 

     Задача  20 

     Найти предел . 

     Решение 

      . 

     Задача  21

     Продифференцировать функцию . 

     Решение 

      . 

     Задача  22 

     Вычислить при помощи дифференциала  .

 

      Решение 

     Пусть . Тогда . Обозначим: ; . Отсюда . Находим и .

      .

     Итак, . 

     Задача  23 

     Найти . 

     Решение 

     Подстановка в заданную функцию значения приводит к неопределенности вида . Применив правило Лопиталя, получим:  

      . 

     Задача  24 

     Исследовать на экстремум функцию 

      .

     Решение 

     1. Находим область определения  функции: .

     2. Находим производную функции: .

     3. Находим критические точки, решая  уравнение  или . Критические точки , .

     4. Область определения функции  разбиваем критическими точками  и на интервалы, в каждом из которых определяем знак , делаем вывод о характере монотонности функции на каждом из интервалов и отмечаем наличие экстремумов. 

 

     При переходе через критическую точку  производная меняет знак с “+” на “-”. Значит, в этой точке функция имеет максимум:  

      . 

     Аналогично  устанавливаем, что  

      .

 

      Задача 25 

     Найти наибольшее и наименьшее значения функции 

       на отрезке . 

     Решение 

     1. Находим критические точки заданной  функции: 

      ; ; . 

     2. Убеждаемся в том, что точка  принадлежит отрезку .

     3. Вычисляем:  ; ; .

     4. Сравниваем числа ; ; и находим:

      ; . 

     Задача 26 

     Найти общее решение уравнения 

      .

 

      Решение 

     Это неоднородное линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Его  решение ищем в виде , тогда . Подставляя и в исходное уравнение, получим 

       или . (1) 

     Задача  27 

     Исследовать функцию  . 

     Решение 

     1. Функция определена и непрерывна  на интервале  . Поэтому точек разрыва и вертикальных асимптот у графика функции нет.

     2. Функция нечетная, поскольку  . Это значит, что график функции симметричен относительно начало координат.

     3. Положив  , получим , т.е. кривая проходит через начало координат.

     4. Функция не периодична.

     5. Находим первую производную  . Производная для всех . Это значит, что функция возрастает на всей числовой оси. Поэтому экстремумов она не имеет.

     6. Находим вторую производную и приравниваем её к нулю: . Точка будет критической точкой. Точкой разбиваем область определения функции на интервалы и , являющиеся интервалами знакопостоянства второй производной. 

     Поскольку при переходе через точку  производная меняет знак, то точка будет точкой перегиба искомой кривой.

     7. Выясним наличие наклонных асимптот: 

      ;

      ;

      ; . 

     Следовательно, наклонными асимптотами будут прямые:  

       и  . 

     Задача  28 

     Найти частные производные функции 

      . 

     Решение 

      ; ; . 

     Задача  29 

     Найти производную функции  в точке в направлении вектора . 

     Решение 

      ; ; ; ; ; ; . 

     Задача  30 

     Даны  функция  и точки и . Вычислить:

1. точное значение функции в точке ;
2. приближенное значение функции в точке , исходя из её значения в точке , заменив приращение при переходе от точки к точке дифференциалом ;
3. относительную погрешность, возникающую при замене на .

 

     Решение 

     По  условию  , , , . Поэтому , . Находим точное значение функции в точке :

      . 

     Находим приближенное значение : 

      ;

      ; . 

     Вычисляем относительную погрешность: 

      . 

     Задача  31 

     Найти экстремумы функции 

      .

 

      Решение 

     Находим критические точки: 

      ; ;

             

     откуда  и - точки, где частные производные равны нулю. Исследуем эти точки с помощью достаточных условий 

      ;

      ;

      ;

      ;

      . Поэтому экстремума в точке  функция не имеет.

      , . Поэтому функция в точке имеет минимум: .

 

      Задача 32 

     Вычислить неопределенный интеграл  

      . 

     Решение 

     Возводим  в квадрат числитель и почленно делим на знаменатель. Затем, применяя свойства, получаем первый интеграл таблицы:

     

      . 

     Задача  33 

     Вычислить неопределенный интеграл 

      . 

     Решение 

     Принимая  в подынтегральном выражении , , получим , . Поэтому  

      .

     Проверка. . 

     Задача  34 

     Вычислить неопределенный интеграл 

      . 

     Решение 

     Сделав  замену переменной 

       

     Получим 

     

      . 

     Задача  35 

     Вычислить .

     Решение 

     Полагаем  , ; тогда , .

     Интегрируя  по частям, находим

 

      . 

     Задача  36 

     Вычислить 

      . 

     Решение 

     Положим . Подстановка значений и в уравнение дает и . Таким образом,  

     

      .

 

      Задача 37 

     Найти . 

     Решение 

     По  определению 

      . 

     Задача  40 

     Найти общее решение уравнения . 

     Решение 

     Так как 

      , 

     то  данное уравнение есть однородное дифференциальное уравнение. Заменив в исходном уравнении , получим уравнение или .

     Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделив их, получим 

      ,

      . 

     Проинтегрировав последнее уравнение, найдем