Збіжність рядів Фурьє

 

 

 

 

 

 

Збіжність рядів  Фур’є

 

 

 

Курсова робота

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗМІСТ

 

Вступ

Розділ 1. Ряди Фур'є

1.1 Основні відомості про  ряди Фур'є

Розділ 2. Збіжність рядів Фур'є

2.1 Постановка основних  завдань 

2.2 Характер збіжності  рядів Фур'є

Висновок

Література

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                         

                                                       

                                                             ВСТУП

   

   Жан Батист Жозеф Фур'є - французький математик, член Паризької Академії Наук (1817). Перші праці Фур'є відносяться до алгебри. Вже в лекціях 1796 року він виклав теорему про кількість дійсних коренів алгебраїчного рівняння, що лежить  між даними границями (опубліковано 1820 р), названу його ім'ям; повний розв’язок про кількість коренів алгебраїчного рівняння було отриман в 1829 р.. Ж.Ш. Ф. Штурмом. У 1818 г Фур'є досліджував питання про умови застосування, розробленого Ньютоном, методу чисельного рішення рівнянь, не знаючи про аналогічні результати, отримані в 1768 г французьким математиком Ж.Р. Мурайлем. Підсумком робіт Фур'є по числовим методах рішення рівнянь є "Аналіз визначених рівнянь", виданий посмертно в 1831г. Основною областю занять Фур'є була математична фізика. У 1807 і 1811 рр він представив Паризькій Академії Наук свої перші відкриття по теорії поширенні тепла в твердому тілі, а в 1822г опублікував відому роботу "Аналітична теорія теплоти", що зіграла велику роль в наступній історії математики. Це - математична теорія теплопровідності. Через спільність методу ця книга стала джерелом усіх сучасних методів математичної фізики. У цій роботі Фур'є вивів диференціальне рівняння теплопровідності і розвинув ідеї, в найзагальніших рисах намічені раніше Д. Бернулли, розробив для вирішення рівняння теплопровідності за тих або інших заданих граничних умов метод розподілу змінних (метод Фур'є), який він застосовував до ряду окремих випадків (куб, циліндр та ін.). У основі цього методу лежить представлення функцій тригонометричними рядами Фур'є.

Ряди Фур'є  тепер стали добре розробленим засобом в теорії рівнянь в частинних похідних при рішенні граничних задач. Ряди мають деякі переваги перед послідовностями взагалі. Так, відомо безліч ефективних ознак збіжності ряду, оцінок похибок наближення при заміні суми ряду на часткову. Якщо вибраний обчислювачем максимальний номер доданку в частковій сумі не гарантує досягнення заданої точності наближення, то при збільшенні цього номера і "нарощування" часткової суми - зберігається і використовується вже наявна інформація про колишню часткову суму.

Викладання  теорії, що об'єднує вивчення алгебраїчних рядів і тригонометричних рядів Фур'є, краще починати із загальної теорії ортогональних рядів в унітарному просторі з ортонормальным базисом. Ортогональний ряд є зчисленним аналогом кінцевої суми компонентів вектора (проекцій на орти), коефіцієнти Фур'є грають роль координат. Багато фактів векторної алгебри переносяться на унітарний простір, де введений скалярний добуток із звичайними властивостями (конкретно-визначенний інтеграл Рімана від добутку функцій).

Об’єктом дослідження є ряди Фур’є. Предметом дослідження є збіжність рядів Фур’є.

У роботі дані визначення ряду Фур'є, коефіцієнтів Фур'є, представлені приклади розкладань функцій в ряд Фур'є, а також розглянутий характер збіжності рядів Фур'є .

Робота складається  з вступу, 2-ох розділів, висновку, списку використаної літератури. Загальний обсяг становить 23 сторінки.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                               РОЗДІЛ 1

РЯДИ ФУР’Є

 1.1 Основні відомості про ряди Фур'є

    Функція , визначена на усій числовій осі називається періодичною, якщо існує таке число , що при будь-якому значенні виконується рівність . Число називається періодом функції.

Визначемо деякі властивості цієї функції :

1) Сума, різниця, добуток і частка періодичних функцій періоду є періодична функція періоду .

        2) Якщо функція  період , то функція має період  .

        3) Якщо  - періодична функція періоду , то рівні будь-які два інтеграли від цієї функції, взяті по проміжках довжини (при цьому інтеграл існує), тобто при будь-яких і справедлива рівність

                                        .

 

                                     Коефіцієнти Фур'є. Ряд Фур'є.

  Нехай періодична функція з періодом представляється тригонометричним рядом (1), що правильно сходиться, тобто є його сумою. Виразимо коефіцієнти ряду через функцію .

Заздалегідь відмітимо властивості  системи тригонометричних функцій

(2)

 

1.

 

2.

 

3. ;

 

4. ,   .

1 - 4 називаються  властивостями ортогональности  системи (2) на відрізку  .

Інтеграли обчислюються з використанням формул перетворення твору тригонометричних функцій  в суму, наприклад, при 

 

для коефіцієнтів справедливі формули Фур'є :

;

    (3)

 

для виводу (2) проінтегруємо  спочатку тригонометричний ряд на

 

використовуючи  властивість 4 системи (2), маємо:

 

         для знаходження коефіцієнта помножимо обидві частини (1) на і отриманий правильний ряд, що сходиться, проінтегруємо на :

 

 В силу 1, 3, 4 маємо

 

аналогічно для знаходження коефіцієнта необхідно помножити обидві частини (1)  на і проінтегрувати отриманий ряд , що сходиться, використовуючи властивості 2- 4.

     Означення.  Тригонометричний ряд (1), коефіцієнти якого визначаються формулами Фур'є (3), називається рядом Фур'є , відповідних функцій

 

 

Тригонометричний  ряд. Ряд Фур'є

  Якщо розкладається на відрізку в тригонометричний ряд, що рівномірно сходиться :

 

то цей розклад єдиний і коефіцієнти визначаються за формулами:

,  , 

де 

Тригонометричний  ряд (1) розглянутого вигляду з коефіцієнтами  називається тригонометричним рядом  Фур'є, а  коефіцієнтами ряду Фур'є.

 

Достатні ознаки розкладу функції в ряд Фур'є

Точка розриву функції називають точкою розриву першого роду, якщо існує кінцеві межі справа і ліворуч  функції в цій точці.

ТЕОРЕМА 1 (Дирихле). Якщо періодична функція з періодом , неперервна, або має кінцеве число точок розриву 1-го роду на відрізку і цей відрізок можна розбити на кінцеве число частин, в кожному з яких монотонна, то ряд Фур'є відносно функції сходиться до в точках неперервності і до середнього арифметичного односторонніх границь в точках розриву роду (функція, що задовольняє цим умовам, називається кусочно-монотонною).

ТЕОРЕМА 2. Якщо   періодична функція з періодом , яка на відрізку   разом зі своєю похідною неперервна або має кінцеве число точок розриву першого роду, то ряд Фур'є функції в точках розриву збігається до середнього арифметичного односторонніх меж (функція, що задовольняє цій теоремі, називається кусочно-гладкою).

 

Ряди Фур'є  для парних і непарних функцій

Нехай - парна функція з періодом 2L, що задовольняє умові .

Тоді для  коефіцієнтів її ряду Фур'є знаходимо  формули:

,     де

Таким чином, у ряді Фур'є для парної функції відсутні члени з синусами, і ряд Фур'є для парної функції з періодом 2L виглядає так:

 

Нехай тепер  - непарна функція з періодом 2L, що задовольняє умові .

Тоді для коефіцієнтів її ряду Фур'є знаходимо формули:

, де

  

          Таким чином, у ряді Фур'є для непарної функції відсутній вільний член і члени з косинусами, і ряд Фур'є для непарної функції з періодом 2L виглядає так:

 

    Якщо функція розкладається в тригонометричний ряд Фур'є на проміжкуте тоді , де:

,

         ,

         .

 

    Якщо розкладається в тригонометричний ряд Фур'є на [0;L], то визначивши задану функцію відповідним чином на [-L;0]; далі періодично продовживши на (T=2L), отримаємо нову функцію, яку розкладаємо в тригонометричний ряд Фур'є.

Для розкладe в ряд Фур'є неперіодичної функції, яка задана на кінцевому довільному проміжку [a, b], потрібно: визначити на [b, a+2L] і періодично продовжити, або довизначити на [b - 2L, a] і періодично продовжити.

 

 

Ряд Фур'є по будь-якій ортогональній системі  функцій

Послідовність функцій  неперервних на відрізку [a, b], називається ортогональною системою функції на відрізку

[a, b], якщо усі функції послідовності попарно ортогональні на цьому відрізку, тобто якщо

 

      Система називається ортогональною і нормованою (ортонормованою) на відрізку [a, b],

якщо виконується  умова 

 

      Нехай тепер - будь-яка функція неперервна на відрізку [a, b]. Рядом Фур'є такої функції на відрізку [a, b] по ортогональній системі називається ряд:

                                                    ,

 

коефіцієнти якого  визначаються рівністю: 

,   n=1,2,……..

 

Якщо ортогональна система функцій на відрізку [a, b] ортонормована, то в цьому випадку

 , n=1,2,…

 

        Нехай тепер - будь-яка функція, що безперервна або має кінцеве число точок розриву першого роду на відрізку [a, b]. Рядом Фур'є такої функції на тому ж відрізку по ортогональній системі називається ряд

    Якщо ряд Фур'є функції по системі (1) сходиться до функції в кожній її точці неперервності, що належить відрізку [a, b]. В цьому випадку говорять що на відрізку [a, b] розкладається в ряд по ортогональній системі (1).

 

 

Комплексна форма ряду Фур'є

Вираз називається комплексною формою ряду Фур'є функції , якщо   визначається рівністю

 

         Перехід від ряду Фур'є в комплексній формі до ряду в дійсній формі і назад здійснюється за допомогою формул:

 

                

           (n=1,2,…)

 

 

 

РОЗДІЛ 2

ЗБІЖНІСТЬ РЯДІВ  ФУР’Є

2.1 Постановка  основних завдань

Означення 1. Ряд виду

(1) називається тригонометричним рядом.

Його часткові суми є лінійними комбінаціями функцій, що входять в систему

            . (2)

 

Означення 2. Множина функцій (2) називається тригонометричною системою.

  Лема 1. Тригонометрична система (2) має наступні властивості:

1) інтеграл по  відрізку від добутку двох різних функцій, що входять в неї, дорівнює нулю (ця властивість називається ортогональностью системи (2), тобто

(3)

2) (4)

Доведення. При будь-кому цілих невід’ємних  , таких, що , маємо

         Аналогічно доводиться і дві інших рівності (3).

Доведемо тепер (4) :

 

Теорема 1. Нехай     (5)    і ряд, що стоїть в правій частині цієї рівності, сходиться рівномірно на відрізку . Тоді

 

,

(6)

Доведення. Оскільки ряд, що стоїть в правій частині (5), сходиться рівномірно на відрізку , а усі його члени є безперервними на цьому відрізку функціями, то і його сума неперервна на відрізку , а сам ряд можна почленно інтегрувати від до :

 

 

Звідси слідує перша формула  з (6)

Якщо ряд (5) почленно перемножити  на і , то отримані ряди також рівномірно сходитимуться на відрізку .

Інтегруючи почленно ці ряди і використовуючи властивість ортогональности (3) тригонометричної системи і рівності (4), матимемо

,        .

          З отриманих співвідношень безпосередньо витікають формули (6).