Моделирование систем

     7. Адаптивность (приспособляемость) к различным внешним возмущающим факторам в широком диапазоне изменения воздействий внешней среды.

     8. Управляемость модели, вытекающая из необходимости обеспечивать управление со стороны экспериментов для получения возможности рассмотрения протекания процесса в различных условиях, имитирующих реальные. К этому можно отнести управление технологическим процессом как в нормальном, так и в предаварийном состоянии.

     9. Возможность развития модели, которая позволяет создавать мощные системы моделирования для исследования многих сторон функционирования реального объекта. Модель должна быть открытой и позволять включение в ее состав новых подмоделей или подсистем управления.

     Математическая  модель процесса или явления в  общем виде представляется зависимостью: 

     

 

где – вектор–функция, зависящая от управляющих воздействий, входных переменных и внутренних параметров; – выходные переменные, – вектор входных переменных; – вектор управляющих воздействий; – вектор внутренних параметров.

     наиболее полное отображение процессов в реальных объектах дают системы алгебраических (статика процессов) и дифференциальных уравнений (динамика процессов), которые широко используются в математическом моделировании.

      В основе методологии построения математических моделей стохастических процессов и зависимостей, отражающих взаимосвязи между данными, полученными экспериментальным путем лежит теория случайных величин и регрессионный анализ.

     Случайной величиной называется величина, которая в результате одного и того же опыта может принять то или иное заранее неизвестное значение. Случайные величины могут быть дискретными (прерывными) и непрерывными. Дискретные случайные величины принимают изолированные числовые значения, отделенные друг от друга конечными интервалами (например: число попаданий при нескольких выстрелах, число появлений герба при нескольких подбрасывания монеты). Значения непрерывных случайных величин не могут быть заранее перечислены и непрерывно заполняют некоторый промежуток (например: ошибка измерения, дальность полета снаряда).

     Всякое  соответствие между возможными значениями случайной величины и вероятностями, с которыми эти значения принимаются, называется законом распределения случайной величины. Закон распределения количественно может выражаться в следующих формах: табличной, графической и аналитической.

     При количественном описании закона распределения  вероятностей можно воспользоваться вероятностью события  X < x, где     x- текущая переменная.  Вероятность этого события, есть некоторая функция x. Эта функция называется функцией распределения случайной величины  X и обозначается  F(x): 

     F(x) = P(X<x) 

     Одной из форм закона распределения непрерывной случайной величины является плотность распределения вероятностей f(x). Она связана с функцией распределения формулой: 

     f(x) = F'(x) 

     Для решения большинства практических задач закон распределения, т.е. полная характеристика случайной величины, неудобен для использования. Поэтому чаще применяют числовые характеристики случайной величины, определяющие основные черты закона распределения. Наиболее распространенными из них являются математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

     Математическое  ожидание непрерывной случайной  величины определяется следующим образом: 

     

 

     Дисперсия D[X] и среднее квадратическое отклонение определяют рассеяние случайной величины около её математического ожидания и вычисляются по формулам 

     

 

     

 

     В практических применениях теории вероятностей очень часто приходится сталкиваться с задачами, в которых результат опыта описывается не одной, а двумя и более случайными величинами, образующими комплекс или систему. 

Методы  проверки гипотез  об адекватности структуры  модели

      Об  адекватности структуры модели можно  судить по коэффициенту корреляции r (корреляционному отношению h), гистограмме распределения остатков и содержательному анализу остатков.

      Коэффициент корреляции r является показателем тесноты линейной связи между величинами X и Y и определяется по формуле

где n – число экспериментальных данных.

     Коэффициент корреляции изменяется от -1 до +1. Если r = 0, то связь отсутствует; если r = |1|, то связь между X и Y функциональная.

     Корреляционное  отношение h является показателем тесноты нелинейной связи между переменными X и Y и рассчитывается по формуле

где Y_i – текущее значение, вычисленное по математической модели значение параметра Y; Y_ai – текущее значение, полученное на объекте; – среднее значение, которое вычисляется по формуле

     Корреляционное  отношение изменяется от 0 до +1. Если h = 0 , то связь отсутствует; если h = 1 , то связь между величинами X и Y функциональная.

     Следует иметь в виду, что коэффициент  корреляции – это частный случай корреляционного отношения.

     Высокое значение коэффициента корреляции, или корреляционного отношения, свидетельствует об адекватности модели. Однако этого недостаточно и, чтобы определить её адекватность, необходимо построить гистограмму распределения остатков.

     Гистограмму распределения остатков сроят следующим образом. Весь диапазон изменения остатков (от и до) разбивают на несколько поддиапазонов (6-20) и рассчитывают число попаданий ошибок (остатков) в каждый поддиапазон. По оси ординат число попаданий ошибки можно откладывать как в натуральных показателях, так и в процентном соотношении. При адекватности модели реальному объему гистограмма распределения приобретает колоколообразный вид, при неадекватности модели реальному объекту она имеет несимметричный характер или второй горб (рисунок 1.2).

     При содержательном анализе остатков строят распределение остатков модели в зависимости от времени t, входного параметра X, выходного параметра Y. График возможных зависимостей остатков (ошибки) модели от вектора входных параметров X имеет вид, представленный на рисунке 1.3.

     Попадание большинства данных в горизонтальную полосу, расположенную симметрично нулю, свидетельствует об адекватности модели.

Рисунок 1.2 – Гистограмма распределения  остатков: а – при адекватной модели объекта управления;

б –  при неадекватной модели объекта управления

     Окончательное суждение об адекватности модели принимают  на основании анализа коэффициента корреляции, гистограммы распределения и содержательного анализа остатков. 

1.1 РЕШЕНИЕ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ  ЗАДАЧ

      Решение оптимизационных задач состоит из следующих этапов; выбора цели проведения оптимизационных исследований; определения границ системы, подлежащей оптимизации; обоснования характеристического критерия, по которому осуществляется оптимизация; выбора независимых переменных; построения объекта системы.

Определение границ системы

      Прежде  чем приступить к оптимальному исследованию, важно четко определить границы изучаемой системы. Границы системы задаются пределами, отделяющими систему от внешней среды, и служат для выделения системы из ее окружения. При проведении анализа обычно предполагается, что взаимосвязь между системой и внешней средой зафиксирована на некотором выбранном уровне. В ряде случаев может оказаться, что первоначальный выбор границы был слишком жестким. Для более полного анализа может возникнуть необходимость расширения установленных границ системы путем включения дополнительных подсистем.

Обоснование характеристического критерия

      При выборе характеристического критерия, по которому осуществляется оптимизация, необходимо иметь в виду, что все критерии подразделяются на обобщенные – экономические и частные – технические. К обобщенным относят чистую прибыль, валовые капитальные затраты, издержки в единицу времени и т.д. Следует отметить, что обобщенные (экономические) критерии являются наиболее мощными, но они не могут быть использованы по техническим возможностям для текущей оценки состояния объекта управления и определения воздействий с процессом.

      Кроме обобщенных используют частные критерии, которые основаны на некоторых технологических факторах и могут быть измерены в текущий момент времени. К ним относятся, например, производительность оборудования, удельный расход электроэнергии, крутящий момент на валу двигателя и т.д.

      Независимо  от того, какой критерий выбирается в качестве главного (первичного) при оптимизации, наилучшему варианту всегда соответствует минимальное или максимальное значение характеристического показателя качества функционирования системы.

Выбор независимых переменных

     На  третьем этапе постановки задачи оптимизации осуществляется выбор независимых переменных, которые должны адекватно описывать проектируемые объекты или условия функционирования системы. В процессе выбора независимых переменных необходимо принимать во внимание следующее:

     Во-первых, нужно провести различие между переменными, значения которых могут изменяться в широких пределах, и переменными, значения которых фиксируются и определяются внешними факторами. К первым можно отнести текущие параметры технологического режима, ко вторым – сорт металла, технические условия на оборудование и т.д.

     Во-вторых, при постановке задачи следует учитывать  все основные переменные, которые влияют на функционирование системы или качество проекта.

     В-третьих, при выборе переменных существенное влияние на решение оптимизационной задачи оказывает уровень детализации при исследовании системы. Очень важно рассмотреть все главные независимые переменные, но нельзя перегружать задачу большим количеством мелких несущественных деталей.