Кристалография

Поскольку в группе C1 не существует особых направлений, добавленная плоскость  не может характеризоваться как  вертикальная или горизонтальная. Такая плоскость обозначается индексом s. Таким образом, символ группы состоящей из одной плоскости симметрии — Cs (нем. spiegel — зеркало).

Группы с осями второго порядка, перпендикулярным главной оси обозначаются буквой D с индексом, показывающим порядок главной поворотной оси. К кристаллографическим относятся D2, D3, D4 и D6.

Добавление горизонтальной плоскости  к группам Dn обозначается, так же, как и в случае Сn, дополнительным индексом h. Группы — D2h, D3h, D4h и D6h.

Добавление вертикальных плоскостей к группам Dn неоднозначно, так как плоскости могут располагаться как между горизонтальных осей второго порядка, так и совпадать с ними. В первом случае добавляется индекс d, обозначающий диагональное расположение плоскостей (по диагонали между направлениями осей второго порядка). Получаются кристаллографические группы D2d и D3d. В группах Dnd взаимодействие горизонтальных осей второго порядка и вертикальных зеркальных плоскостей приводит к возникновению зеркальной оси порядка 2n. Поэтому группы D4d и D6d не являются кристаллографическими, так как содержат зеркальные оси порядков 8 и 12, соответственно. Добавление к группам Dn вертикальных плоскостей вдоль осей второго порядка порождает горизонтальную плоскость симметрии и получаются описанные выше группы Dnh.

Гуппы, состоящие из одной зеркальной оси, обозначаются символом Sn. При нечётном n зеркальная ось эквивалентна наличию поворотной оси порядка n и перпендикулярной к ней плоскости, то есть группе Cnh, поэтому в группах Sn индекс n всегда чётный. К ним относятся S2 (группа, состоящая только из центра инверсии), S4 и S6. Любая зеркальная ось может описываться также, как и инверсионная ось, поэтому возможно альтернативное обозначение этих групп — Cni, где n — порядок инверсионной оси. Получаются Ci = S2, C4i = S4 и C3i = S6.

Кристаллографические точечные группы, в которых присутствуют несколько  осей высшего порядка (то есть порядка  больше двух), обозначаются символами T или О, в зависимости от присутствующих в них поворотных осей. Дополнительные индексы h и d указывают на наличие горизонтальных (и вертикальных) и диагональных плоскостей симметрии. Если в группе присутствуют только поворотные оси 2 и 3 порядков, то группа обозначается символом T (так как такая комбинация поворотных осей присутствует в тетраэдре). Если в группе присутствуют только поворотные оси 2, 3 и 4 порядков, то группа обозначается символом O (так как такая комбинация поворотных осей присутствует в октаэдре). Добавление горизонтальных плоскостей симметрии приводит к группам Th и Oh (группа симметрии куба и октаэдра). В обеих группах присутствуют как горизонтальные плоскости, так и вертикальные. Добавление диагональных плоскостей к группе T, приводит к группе Td (группа симметрии тетраэдра). Группа Od не существует, так как добавление диагональных плоскостей к группе O приведёт к предельной группе симметрии шара, содержашей все возможные повороты и отражения.

Обозначения Шёнфлиса используются в  теории групп, физике и кристаллографии. В символике Шёнфлиса используются только порождающие элементы симметрии (то есть из которых можно вывести все остальные элементы симметрии группы). Обозначения инвариантны относительно выбора системы координат, что одновременно является как достоинством, когда нас просто интересует симметрия системы, так и недостатком, в случае если важна ориентация элементов симметрии точечной группы по отношению к другим объектам, например, системе координат кристалла, или по отношению к осям решётки Браве пространственной группы. Поэтому в кристаллографии чаще используются символы Германа-Могена, особенно для описания пространственных групп.

4. Символика Германа — Могена

В символе Германа — Могена обозначаются симметрически неэквивалентные  элементы симметрии. Поворотные оси  симметрии обозначают арабскими  цифрами — 1, 2, 3, 4 и 6. Инверсионные оси обозначают арабскими цифрами с чёрточкой сверху — 1, 3, 4 и 6. При этом ось 2, которая является просто плоскостью симметрии, обозначается символом m (англ. mirror — зеркало). Направлением плоскости является направление перпендикуляра к ней (то есть оси 2). Зеркальные оси в международной символике не используются. Ориентация элемента относительно координатных осей задаётся позицией элемента в символе группы. Если направление оси симметрии совпадает с направлением плоскости, то они записываются на одной позиции в виде дроби. Если инверсионная ось имеет бо́льшую величину симметрии, чем совпадающая с ней поворотная, то в символе указывают именно её (то есть записывают не , а 6; при наличии в группе центра инверсии не 3, а 3).

Низшая категория — точечные группы, в которых максимальный порядок  любой оси (поворотной или несобственного вращения) равен двум. К ней относятся  группы 1, 1, 2, m, , 222, mm2 и . Если в символе  группы три позиции, то

на 1-й позиции — направление  вдоль оси X

на 2-й позиции — направление  вдоль оси Y

на 3-й позиции — направление  вдоль оси Z

В нестандартной установке группа mm2 может быть записана как m2m или  как 2mm. Аналогично, группы 2, m и  могут  быть записаны более подробно —  с указанием, вдоль какой координатной оси идёт направление оси второго порядка и/или плоскости. Например, 11m, 1m1 или m11. Эта особенность символики используется для однозначного описания пространственных групп при различном выборе системы координат, так как символы пространственных групп являются производными от символов соответствующих им точечных групп.

Средняя категория — точечные группы, в которых присутствует одна ось  порядка выше двух (ось высшего  порядка). Тут следует отметить, что  в кристаллографии используется кристаллографическая система координат, связанная с симметрией кристалла. В этой системе осями выбираются особые направления в кристалле (направления, вдоль которых идут оси симметрии или трансляции). Поэтому при наличии одной оси 3 или 6 порядка, угол между направлениями X и Y равен 120°, а не 90° как в обычной Декартовой системе координат.

на 1-й позиции — направление  главной оси, то есть ось Z

на 2-й позиции — побочное направление. То есть направление вдоль оси X и  эквивалентной ей оси Y

на 3-й позиции — диагональное направление между симметрически эквивалентными побочными направлениями

К этой категории относятся группы 3, 4, 6, 3, 4, 6, 32, 422, 622, 3m, 4mm, 6mm, 3, 42m, 6m2, , ,  и .

Поскольку ось 3 и перпендикулярная к ней плоскость эквивалентны оси 6, то  = 6 и m2 = 6m2, но использовать рекомендуется именно обозначения с инверсионной осью 6, так как её симметрия выше, чем у оси 3. Группы 42m и 6m2 могут быть записаны как 4m2 и 62m. Выше были приведены обозначения, принятые в русскоязычной литературе. Последовательность символов 2 и m в этих группах становятся важна при описании производных от них пространственных групп, так как элемент на второй позиции направлен вдоль оси ячейки Браве, а элемент на третьей позиции направлен по диагонали грани. Например, символы P42m и P4m2 обозначают две разные пространственные группы. Группа 32 тоже может быть более подробно записана как 321 или 312 для разных ориентаций оси 2. Аналогично, различные ориентации приводят к двум разным пространственным группам P321 и P312. То же относится и к группам 3m (альтернативные записи 3m1 и 31m) и 3 (альтернативные записи 31 и 31).

 

Высшая категория — точечные группы, в которых присутствуют несколько  осей высшего порядка.

на 1-й позиции — эквивалентные  направления X, Y, Z

на 2-й позиции — всегда присутствующие там четыре оси 3 или 3

на 3-й позиции — диагональное направление между координатными  осями

К этой категории относятся пять групп — 23, 432, 3, 43m и 3

Международные символы обычно упрощают, заменяя  на m, если ось n порождена  другими элементами симметри, указанными в символе. Нельзя убрать лишь обозначение главной оси в средней категории. Например,  записывают как mmm,  как mm, а 3 как m3m.

5. Стереографическая проекция — центральная проекция, отображающая двумерную сферу (с одной выколотой точкой) на плоскость.

Стереографическая проекция

Стереографическая проекция является конформным отображением — она сохраняет  углы между кривыми и форму  бесконечно малых фигур. Стереографическая  проекция переводит окружности на плоскости  в окружности на сфере, а прямые на плоскости — в окружности, проходящие через центр проекции O'.

Стереографическая проекция отображает сопряжённые пучки меридианов и  параллелей на сфере в сопряжённые  эллиптический и гиперболический  пучки окружностей на плоскости.

Стереографическая проекция осуществляет гомеоморфизм комплескной проективной прямой  на двумерную сферу: для этого нужно рассмотреть двумерную (над полем ) вещественную плоскость с координатами x,y как одномерную (над полем ) прямую комплексного переменного z = x + iy.

Стереографическая проекция применяется  для наглядного изображения точечных групп симметрии кристаллов.

6.Гномостереографическая проекция

   Этот вид проекции чаще  всего применяется для изображения

кристаллических многогранников. При  этом проектируется не многогранник, а

его полярный комплекс, т.е. не грань  кристалла, а нормаль к грани. Плоскостью

гномостереографической проекции служит та же экваториальная плоскость

сферы    проекций    Р,     как    и    для   стереографической     проекции.

Гномостереографическая проекция кристалла представляет собой совокупность

стереографических проекций нормалей к граням кристалла

7. Кристаллографические индексы Миллера.

Для обозначения плоскостей и направлений  кристалла используются так называемые кристаллографические индексы Миллера. Для их получения проведем оси координат X,Y,Z вдоль базисных векторов . Пусть некоторая плоскость пересекает такую координатную систему в точках с координатами : ; ; .  - целые или дробные числа, выражают наклон плоскостей по отношению к осям координатной системы. Теперь составим отношение обратных чисел и приведем это отношение к отношению наименьших целых чисел: ; R - наименьшее кратное, а h, k, l и есть индексы Миллера для указанной плоскости. При обозначении плоскостей индексы Миллера заключаются в круглые скобки, без каких либо знаков между ними.

 

Предположим Такие же индексы будут иметь остальные плоскости параллельные ей. Если плоскость параллельна одной из координатных осей, то соответствующий индекс равен нулю, если плоскость отсекает координату при отрицательных значениях, то над соответствующим индексом Миллера сверху ставится знак “-”. Направления перпендикулярные плоскости (hkl) обозначаются теми же индексами заключенными в квадратные скобки [hkl]. Система плоскостей одного кристаллографического типа обозначаются {hkl}, направления обозначаются . Для примера найдем обозначения характерных плоскостей и направлений в кристаллах кубической системы (а1 = а2 = а3 = а; α = β= γ= 90◦̊). Для этого вырежем кристалл в форме куба с ребрами вдоль базисных векторов . Оси x, ,y, z направлены вдоль базисных векторов. Найдем индексы Миллера для заштрихованной плоскости 1. Она пересекает координатные оси в точках с координатами : ; ; . Тогда индексы Миллера для плоскости 2: (010), для 3: (001). x1[100], y1[010], z1[001].

 

Плоскость противоположную (100), обозначают   и так далее 

  

 

 

  

 

 

Все плоскости (100), (010), (001), , ,  кристаллографически одинаковые и их обозначают {100}. На рисунке заштрихована плоскость (110), для этой плоскости одинаковыми являются плоскости (011), (101). На следующем рисунке заштрихована плоскость (111). Для обозначения плоскостей в кристаллах гексагональной системы используют 4 индекса Миллера, для этого проводят четыре координатные оси x, y, u, z,. Ось z параллельна ребру а3. ; .

 

Плоскость перпендикулярная оси   называется базисной плоскостью. Оси x, y, u располагают в базисной плоскости под углом 1200 друг к другу. Для тог чтобы найти (hkil), находят координаты точек пересечения с кристаллографическими осями.

 

Для примера  найдем индексы Миллера для плоскости  АВ, которая перпендикулярна плоскости  рисунка. Координаты точек пересечения  этой плоскостью координатных осей: , ; ; . Следовательно, направления вдоль оси z есть [0001], i = - (h+k). Возникает вопрос, почему используем четыре а не три индекса Миллера при обозначении плоскостей и направлений в кристаллах гексагональной системы. Оказывается, что при обозначении тремя индексами Миллера однотипные плоскости кристаллов гексагональной системы имели бы разное число единиц и нулей, и их нельзя было бы обозначить как {hkl}. Для примера уберем ось u, тогда плоскости СВ=(010), , . Обозначение этих плоскостей имеют вид: , , видно что все однотипные плоскости CB, DB, DF, FL имеют две единицы и два нуля, и тогда их можно обозначить {1100}.