Электрическое поле

3 Поток напряженности  электрического поля. Теорема Гаусса  в интегральной форме

Пусть n - единичная нормаль к площадке dS (достаточно малой, чтобы пренебречь изменением электрической напряженности Е в пределах площадки). Поток dФэ электрической напряженности через эту площадку определяется как произведение нормальной компоненты Е и dS:

. (1.3.1)

Знак потока dFэ, очевидно, зависит от взаимной ориентации нормали и напряженности. Если эти два вектора образуют острый угол, поток положителен, если тупой - отрицателен.

Поток dFэ через площадку, наклонную к силовой линии (т.е. к вектору Е), равен также потоку через проекцию этой площадки на плоскость, перпендикулярную силовой линии (см. рис. 1.3.2):

. (1.3.2)

Это равенство (1.3.1) следует из определения (1.3.1) для  dF э и теоремы об углах с взаимно перпендикулярными сторонами.

Поток Fэ электрической напряженности Е через замкнутую поверхность S (рис. 1.3.3) определяется как сумма элементарных потоков через все площадки поверхности. В пределе, когда количество площадок N стремится к бесконечности, сумма потоков через площадки переходит в поверхностный интеграл от нормальной компоненты напряженности En:

. (1.3.3.)

К. Гауссом в 1844 доказана теорема (теорема Гаусса в  интегральной форме), устанавливающая  связь источников поля и потока напряженности  через произвольную поверхность, окружающую источники.

Для доказательства выведем вспомогательную формулу. Поток от точечного заряда через  произвольную окружающую его сферу.

. (1.3.4)

Силовые линии  поля точечного заряда перпендикулярны  поверхности концентрической сферы (см. рис 1.3.4). С учетом этого факта формула (1.3.4) выводится из выражения для поля точечного заряда (1.2.3). Как видно, в этом случае поток F э не зависит от радиуса сферы, а зависит только от Q .

Из (1.3.2) и (1.3.4) следует, что поток поля точечного заряда через любую поверхность, окружающую заряд, равен потоку через сферу  произвольного радиуса, концентричную  заряду. Действительно, поток поля точечного  заряда через любую площадку dS, вырезанную телесным углом d из произвольной поверхности, получается таким же, как поток через площадку сферы, вырезанную тем же телесным углом. Поток поля Fэ через сферу, как уже отмечалось, не зависит от ее радиуса. Поэтому поток напряженности поля точечного заряда через поверхность S (см. рис. 1.3.5) задается формулой (1.3.4). Из формулы (1.3.4) и принципа суперпозиции следует теорема Гаусса в интегральной форме: полный поток Fэ напряженности электрического поля через произвольную замкнутую поверхность, внутри которой находится как угодно распределенный (объемный, поверхностный и т.д.) заряд Q, вычисляется по формуле

. (1.3.5)

При применении теоремы  Гаусса для решения задач, необходимо помнить, что в уравнении (1.3.5) Q - сумма всех зарядов внутри мысленной поверхности, через которую вычисляется поток, в том числе зарядов, принадлежащим атомам и молекулам среды (так называемых связанных зарядов).

Поток напряженности  поля Е через любую замкнутую поверхность, внутри которой полный заряд равен нулю, также равен нулю.

4. Дивергенция  векторного поля. Теорема Гаусса  в дифференциальной форме

Произвольному векторному полю (т.е. некоторой векторной функции , заданной в точках (x,y,z) некоторой области пространства) можно сопоставить скалярную функцию, называемую дивергенцией поля F. Эта функция обозначается символом «div» и определяется соотношением

. (1.4.1)

Физический смысл  дивергенции следует из формулы, доказываемой в курсе высшей математики:

. (1.4.2)

При предельном переходе объем V и его поверхность S стягиваются в точку наблюдения, в которой вычисляется дивергенция. Согласно (1.4.1), поток напряженности E через любую бесконечно малую сферу, внутри которой нет зарядов, - тождественный нуль. Поэтому из (1.4.2) следует, что в точках с нулевой плотностью зарядов (r=0) дивергенция E равна нулю. Рассмотрев поток через малую сферу V вокруг точки, в которой дивергенция напряженности не равна нулю, можно показать с помощью (1.4.1) и (1.4.2) , что в такой точке объемный заряд есть, поэтому точки, в которых дивергенция напряженности отлична от нуля, являются источниками силовых линий.

В курсе математики доказывается теорема Остроградского-Гаусса (была установлена К. Гауссом в 1844 независимо от М.В. Остроградского, доказавшего  ее в 1839):

. (1.4.3)

Здесь V - произвольный объем, ограниченный поверхностью S. Применим теорему (1.4.3) к потоку электростатического поля. С учетом (1.4.1) получим:

. (1.4.4)

Из равенства  интегралов ввиду произвольности объема V следует равенство подынтегральных выражений, т.е. теорема Гаусса в дифференциальной форме (А. Пуассон, 1850 г.):

. (1.4.5)

Из тех областей пространства, в которых дивергенция Е положительна, силовые линии Е исходят (r>0), в тех областях, где divE < 0 силовые линии заканчиваются (r<0), а через те области, где divE = 0 силовые линии проходят, но не рождаются и не исчезают, так как в этих областях r=0 (зарядов нет).

Циркуляция и  ротор векторного поля. Градиент скалярной  функции

Циркуляция СL произвольного векторного поля F(x,y,z) по замкнутому контуру L определяется следующим соотношением:

, (1.5.1)

где Fl - проекция вектора F на направление элемента контура dl (см. рис. 1.5.1).

Ротор - это еще  одно понятие из математической теории векторных полей. В декартовой системе  координат (x,y,z) ротор F (обозначение «rotF») определяется как вектор, компоненты которого равны определенным комбинациям пространственных производных вектора F, именно:

(1.5.2)

Физический смысл  ротора следует из равенства, доказываемого  в курсе математики:

. (1.5.3)

Здесь n - нормаль к площадке S, L - контур, ограничивающий эту площадки, который при этом предельном переходе стягивается в точку наблюдения . Если ротор векторного поля в некоторой точке наблюдения не равен нулю, то в любой достаточно малой окрестности этой точки силовые линии поля образуют микроскопические замкнутые контура вокруг нее («завихряются»). Поэтому область, где ротор векторного поля отличен от нуля, называют вихрем поля, а само поле, ротор которого отличен от нуля называется вихревым. Скорость движения потоков жидкости или газа, рассматриваемая как функция координат, является наглядным примером векторного поля. Турбулентности в жидкости или газе образуются именно вокруг точек, в которых отличен от нуля ротор скорости потока жидкости (газа). Изображение поля с помощью силовых линий в области пространства, где ротор отличен от нуля (точно так же, как и в точках с ненулевой дивергенцией), невозможно.

Как будет видно  из дальнейшего, циркуляция и ротор  электростатического поля, тождественно равны нулю во всем пространстве. Поэтому  электростатическое поле - это относительно простое силовое поле. Такими же свойствами обладает и гравитационное поле. 

Понятие градиента  уже вводилось в курсе механики. Напомним его. Градиент функции f(x,y,z), зависящей от координат - это вектор, декартовы компоненты которого являются пространственными производными функции f :

. (1.5.5)

Пусть . Можно показать, что тогда необходимо и достаточно, чтобы ротор был равен нулю:

. (1.5.6)

Потенциальность электростатического поля. Электрический  потенциал

Работа поля по переносу пробного q заряда из некоторой точки 1 в некоторую точку 2 не зависит от траектории его движения и определяется для данного поля и данного заряда только координатами этих точек. Для случая, когда источником поля является точечный заряд Q (рис. 1.6.1) это нетрудно обосновать следующим образом. Работа на элементарном отрезке траектории, по известному из механики определению, есть: . Раскрывая скалярное произведение векторов через угол между ними, получаем

. (1.6.1)

Суммируя (интегрируя) все элементарные работы, находим

, (1.6.2)

что и требовалось  доказать. Работа определяется только расстояниями от источника до начальной  и конечной точки траектории. Такое  силовое поле в механике мы называли потенциальным.

Из принципа суперпозиции следует потенциальность электростатического  поля, созданного любой системой зарядов. Из (1.6.2) и принципа суперпозиции следует  также, что работа электростатических сил над зарядом, перемещаемым по замкнутому контуру, равна 0:

. (1.6.3)

Таким образом, для  любого контура в электростатическом поле циркуляция напряженности - тождественный  нуль. В соответствии с утверждением (1.5.6) напряженность электростатического  поля (с точностью до знака) может  быть истолкована как градиент некоторой функции координат, называемой потенциалом электростатического поля :

. (1.6.4)

Используя определение  напряженности электростатического  поля (1.2.1) и формулу связи между  силой F и потенциальной энергией W, известную из курса механики

, (1.6.5)

из (1.6.4) получим, что  потенциал поля в данной точке  наблюдения численно равен потенциальной  энергии пробного заряда q, помещаемого в данную точку, отнесенной к величине этого заряда:

. (1.6.6)

Потенциальная энергия  электростатического поля, как и  энергия поля сил тяготения, определяется с точностью до произвольной постоянной, которую можно зафиксировать  выбором точки нулевого уровня для  W. Как правило, потенциальная энергия электростатического поля полагается равной нулю в бесконечно удаленной точке.

Из формулы (1.6.4) путем интегрирования нетрудно получить формулу, связывающую потенциал  с напряженностью:

. (1.6.7)

Интегрирование  в (1.6.7) можно проводит по любой кривой соединяющей точки 1 и 2.

Рассмотрим в  пространстве, где имеется электростатическое поле, мысленную поверхность, перпендикулярную силовым линиям. При вычислении интеграла (1.6.7) по любой траектории 1-2, лежащей  на этой поверхности, касательная E компонента Е равна нулю. Следовательно, для любых двух точек 1 и 2 этой поверхности правая часть (1.6.7) равна нулю, потенциалы (r1) и (r2) одинаковы. Поверхность, во всех точках которой потенциал имеет одинаковую величину, называется эквипотенциальной. Таким образом, поверхность перпендикулярная к силовым линиям является эквипотенциальной.

В общем случае разность потенциалов между точками 1 и 2 равна разности потенциалов  эквипотенциальных поверхностей, которым  принадлежат эти точки. Последнюю можно найти, проводя интегрирование в формуле (1.6.7), по силовой линии, соединяющей точки 1 и 2 этих эквипотенциальных поверхностей. При этом фактически под интегралом будет модуль Е электрической напряженности, т.к. на силовой линии . В заключение для потенциала поля точечного заряда Q приведем формулу, которая следует из сравнения формул (1.6.2) и (1.6.6) и известного из курса механики соотношения между работой A12 потенциальных сил на участке 1-2 траектории частицы и потенциальной энергией частицы в начале W1 и в конце W2 этого участка

. (1.6.8)

В данном случае частицей является пробный заряд q. Формула для потенциала точки, отстоящей от точечного источника Q на расстояние r , имеет вид

. (1.6.9)

Заключение

Электрическое поле -- особая форма поля, существующая вокруг тел или частиц, обладающих электрическим зарядом, а также в свободном виде в электромагнитных волнах. Электрическое поле непосредственно невидимо, но может наблюдаться по его действию и с помощью приборов. Основным действием электрического поля является ускорение тел или частиц, обладающих электрическим зарядом.

Электрическое поле можно рассматривать как математическую модель, описывающую значение величины напряженности электрического поля в данной точке пространства. Дуглас Джанколи писал так: "Следует подчеркнуть, что поле не является некой разновидностью вещества; правильнее сказать, это чрезвычайно полезная концепция… Вопрос о «реальности» и существовании электрического поля на самом деле -- это философский, скорее даже метафизический вопрос. В физике представление о поле оказалось чрезвычайно полезным -- это одно из величайших достижений человеческого разума".

Электрическое поле является одной из составляющих единого  электромагнитного поля и проявлением  электромагнитного взаимодействия.