Кинематика

КИНЕМАТИКА

Предварительные понятия

1. Механикой называют раздел физики, посвященный изучению закономерностей простейшей формы движения материи — механического движения. Механическое движение состоит в измене­нии с течением времени взаимного расположения тел или их частей в пространстве.

Понятия пространства и времени .

Всякое материальное тело имеет объем, т. е. пространственную протяжен­ность.

Время выражает последовательность состояний материи, сос­тавляющих любой процесс, любое движение; оно служит мерой дли­тельности процесса.

Механика состоит из трех основных разделов — статики, кинема­тики и динамики.

В статике рассматривают законы сложения сил и условия равновесия тел.

В кинематике исследуют характеристики и закономерности различных типов механического движения тел безотносительно к тем причинам, которые обеспечивают осуществле­ние рассматриваемого типа движения.

В динамике изучают влияние взаимодействия между телами на их механическое движение.

В механике пользуются, в зависимости от условий каждой конкретной задачи, различными приближенными моделями.

Выбор той или иной модели должен производиться таким образом, чтобы это позволило учесть все существенные особенности поведения реального тела в данной задаче и отбросить все второстепенные факторы, мало влияющие на результат решения задачи.

Простейшая модель тела — материальная точка.

Материальной точкой называют тело, формой и размерами которого в данной задаче можно пренебречь. Например, изучая движение Земли и других планет по орбитам вокруг Солнца, их рассматривают как материальные точки, так как линейные размеры планет пренебрежимо малы по срав­нению с линейными размерами их орбит

Понятием материальной точки, представляющим собой известное абстрагирование от реальных свойств движущихся тел, широко поль­зуются в механике, так как введение этого понятия вносит значитель­ное упрощение в исследование движения тел.

Всякое тело можно рассматривать как систему материальных точек.

Абсолютно твердым телом называют тело, расстояния между любыми двумя точками которого в условиях данной задачи можно считать постоянными.

Иначе говоря, это тело, форма и размеры которого не изменяются при его движении. Абсолютно твердое тело обычно рассматривают как систему матери­альных точек, жестко связанных друг с другом.

Положение тела в пространстве можно определить только по отношению к другим телам.

Абсолютно твердое тело, по отношению к которому рассматривают движение исследуемого тела, называют сис­темой отсчета.

С телом, выбранным в качестве системы отсчета, жест­ко связывают систему координат х, у, г (рис. 1.1). Система отсчета, снабжена часами, с помощью которых однозначно1 определяют моменты времени,   соответствующие   различным  положениям   в пространстве движущихся тел.

Положение точки М (см. рис. 1.1) относительно системы отсчета можно задать одной векторной величины г — радиуса-вектора точки М, проведенного в эту точку из начала o системы коор­динат.

Если i, J и k — единичные векторы1 (орты) осей прямоугольной декартовой системы координат, то

(1.1)

Векторы представляют собой составляющие (компонен­ты) радиуса-вектора г. для зада­ния закона движения материальной точки необходимо указать либо вид функциональной зависимости всех трех ее координат от времени:

Рис. 1.1.

(1.2)

либо зависимость от времени радиуса-вектора этой точки

(1.2')

Три скалярных уравнения (1.2) или эквивалентное им одно век­торное уравнение (1.2') называют кинематическими уравнениями движения материальной точки.

4. Траекторией материальной точки называют линию, описывае­мую в пространстве этой точкой при ее движении. Уравнения движе­ния (1.2) задают траекторию точки в так называемой параметричес­кой форме. Роль параметра играет время t

В зависимости от формы траектории различают прямолиней­ное и криволинейное движения точки. Если все участки траектории точки лежат в одной плоскости, то движение точки называют плоским.

Вектором   перемещения  материальной   точки   за   время   от доназывают вектор, проведенный из положения этой точки в мо­ментв ее положение в момент т. е. приращение радиуса-вектора точки за рассматриваемый промежуток времени:

если точка одновременно участвует в нескольких движениях, то результирующее перемещение точки равно векторной сумме перемещений, совершаемых ею за то же время в каждом из движе­ний порознь.

Скорость

1. Для характеристики движения материальной точки вводят векторную физическую величину — скорость, определяющую как быстроту движения, так и направление движения в данный момент времени.

Пусть материальная точка движется по криволинейной траекто­рии MN (рис. 1.5) так, что в момент времени t она находится в точке М,

Рис.   1.5.

а в момент времени t + t в точке N. Радиусы-векторы точек М и N соответственно равны г и г + г, а длина дуги MN равна s. Вектором  средней  скорости  vcp точки  в  интервале   времени от t до t +называют отношение приращения радиуса-вектора точ­ки за этот интервал времени к его величине 

Вектор направлен так же, как , т. е. вдоль хорды MN. Ес­ли в выражении (1.3) перейти к пределу, устремляя t к нулю, то мы получим выражение для скорости (ее часто называют мгновенной скоростью) материальной точки в момент t прохождения ее через точку М траектории:

                                              (1.4)

В процессе уменьшения величины точка N неограниченно при­ближается к точке М, и хорда MN, поворачиваясь вокруг точки М,' в пределе совпадает по направлению с касательной к траектории в точке М. Поэтому вектор dr и скорость v движущейся точки направ­лены по касательной к траектории в сторону движения.

Из математики известно, что предел отношения длины  дуги к длине стягивающей ее хорды равен единице приПоэтому модуль малого (элементарного) приращения dr радиуса-вектора  г равен длине ds соответствующей ему дуги траектории:

Из этого соотношения и уравнения (1.4) следует, что численное значение скорости материальной точки равно первой производной от длины ее пути по времени:

  (1.5)

Интегрируя по t в пределах от t до t + найдем длину пути пройденного точкой за промежуток времени

(1.6)

2. Вектор v скорости материальной точки можно разложить на три составляющие, направленные вдоль осей прямоугольной декар­товой системы координат:

(1.4')

Где — проекции вектора скорости на оси координат. Подста-

вив в (1.4) значение (1.1) для   радиуса-вектора материальной точки и выполнив почленное дифференцирование, получим

Ускорение

1. В движениях, с которыми чаще всего приходится иметь дело, вектор скорости изменяется как по численному значению (модуля), так и по направлению. Для характеристики быстроты изме­нения скорости движения вводится понятие ускорения.

Пусть за время Д t движущаяся точка перешла из положения М в положение N (см. рис. 1.5), и вектор ее скорости v изменился на

Перенесем вектор из точки в точку М (MD).    Очевидно, что вектор

Средним ускорением неравномерного движения в интервале вре­мени отдоназывают вектор равный отношению векто­ра к промежутку времени

Очевидно, что вектор аср совпадает по направлению с вектором из­менения скорости av.

Ускорением, или мгновенным ускорением, точки в момент време­ни называют векторную величину а, равную пределу, к которому стремится среднее ускорение этой точки в промежутке времени от при неограниченном уменьшении

(1.8) Из (1.4) следует, что

                                                                    (1.8')

Таким образом, ускорение точки равно первой производной от ее скорости v или, что то же самое, второй производной от ее радиуса-вектора г по времени.

2. Вектор а ускорения материальной точки можно разложить на

три составляющие, направленные вдоль осей прямоугольной декар­товой системы  координат:

(1.9)

Где — проекции вектора ускорения на оси координат. Из

(1.9), (1.4') и (1.4") видно, что

(1.9')

Следовательно, проекции ускорения материальной точки на оси прямоугольной декартовой системы координат равны первым произ­водным по времени от соответствующих проекций скорости этой точки или, что то же самое, вторым производным по времени от соответствую­щих координат точки:

(1.10) Численное значение  ускорения

(1.10')

3. Вектор а ускорения материальной точки характеризует быстро­ту изменения ее скорости v как по численному значению, так и по на­правлению. Оказывается, что вектор а можно разложить на две сос­тавляющие так, чтобы одна из них характеризовала быстроту изме­нения только численного значения (модуля) скорости, а вторая — только направления скорости. Такое разложение возможно при любом виде движения точки. Ради простоты мы докажем его справедливость на примере плоского движения материальной точки вдоль участка MN ее траектории (см. рис. 1.5). Ускорение в точке М

                                                                      РИС.1.5

Отложим на прямой MD отрезок МС, равный MB. Тогда= и

(1.11)

Проведем в точке М два взаимно перпендикулярных единичных векторалежащих в плоскости траектории (см. рис. 1.5). Вектор

направлен по касательной к траектории в сторону движения мате­риальной точки, т. е. в направлении ее скорости v. Векторпроведен в сторону вогнутости траектории. Его называют единичным вектором главной нормали к траектории в точке М.

Простейшие виды движения материальной точки

1. В  случае   равномерного прямолинейного движения материальной   точки   вдоль   положительного   направления   оси   ОХ

и причем

Зависимость координаты х точки от времени t имеет вид

(1.15)

где х0— значение х в момент начала отсчета времени. Длина пути s, пройденного точкой за промежуток времени от

(1.15')

2. В качестве второго примера прямолинейного движения мате­риальной точки рассмотрим равнопеременное прямолинейное движе­ние. В этом случаеи. то движение назы­вают равноускоренным, а если— равнозамедленным. Так как то зависимость численного значения скорости точки от времени имеет вид

где — начальная  скорость,  т. е.   скорость  материальной  точки  в момент  t = 0.

Если движение  происходит  вдоль  положительного  направления оси ОХ, тои координата х материальной точки зависит

от t по следующему закону: (1.17)

где х0— значениех при t = 0. Соответственно длина пути, пройден­ного точкой с момента начала отсчета времени,

(1.18)

Численное  значение   скорости не  может    быть    отрицательным: Следовательно,   в  случае  равнозамедленного  движения соотношения  (1.16) — (1-18) справедливы только при|

Часто ради простоты в формулах (1.16) — (1.18) вместо аг   пишут просто а:

(1.16')

"(1.17') (1.18')

4. Угловой скоростью тела называют вектор численно равный первой про­изводной от угла поворота ср по времени

и направленный вдоль оси вращения по правилу буравчика, т. е. так же как вектор элементарного поворота  

(1.20)

Угловая скоростьхарактеризует направление и быстроту вра­щения тела вокруг оси. Еслито движение тела называют равномерным вращением вокруг неподвижной оси.

Скоростьпроизвольной точки М тела, вращающегося с угловой скоростьючасто называют линейной скоростью этой точки. За время dt точка М проходит по дуге окружности радиуса р путь так что

(1.21)

Из рис. 1.9 видно, что векторнаправлен перпендикулярно и к и кв ту же сторону, что и векторное произведениеТак как,

крометого, векторыивзаимно перпендикулярны, то =

Следовательно,

(1.22)

Подставляя значениеиз (1.19) и учитывая, что векторное произ­ведение коллинеарных векторови 00' равно нулю, получим

(1.220

Очевидно, что в случае вращения тела вокруг неподвижной оси за начало координат, из которого проводят радиусы-векторыможно выбрать любую точку оси вращения.

5. Наряду с угловой скоростью вращения тела пользуются поня­тиями периода и частоты вращения. Периодом вращенияназывают

промежуток времени

в те­чение которого тело, рав­номерно вращаясь с угло­вой скоростьюсоверша­ет один полный оборот, т. е. поворачивается на угол Частотой

вращенияназывают чис­ло оборотов, совершаемых телом за 1 с при равно­мерном вращении с угло­вой скоростьюСвязь ме­ждуимеет вид

(1.23)

6. Для характеристики неравномерного вращения тела вводит­ся понятие углового ускорения. Угловым ускорением называют век­тор. равный первой производной по времени от угловой скорости:

(1.24)

В случае вращения тела вокруг неподвижной оси изме­нение вектораобусловлено только изменением его численного зна­чения. При этом вектор направлен вдоль оси вращения (рис. 1.10)

в ту же сторону, что и при ускоренном вращении и в

противоположную  сторону — при   замедленном   вращении

Направим ось OZ вдоль неподвижной оси вращения, тогда проек­ция векторана эту ось

(1.24)

Если единичный вектороси OZ направлен в ту же сторону, что и вектор и

Часто, ради упрощения, эту формулу записывают в виде

(1.24")

Здесьне модуль вектораа алгебраическая величина: при ускоренном вращенииа при замедленном вращении

7. Выразим тангенциальное и нормальное ускорения произвольной точки М тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, через угловую скорость и угловое ускорение тела:

(1.25)

(1.26)

Из рис. 1.11 и уравнения (1.25) следует, что вектор тангенциального ускоренияравен векторному произведению вектора углового ускоренияна радиус-векторили на радиус-вектор соединяющий произвольную точку на оси вращения с точкой М:

(1.27)

Векторнормального ускорения напра­влен к оси вращения, т. е. в сторону, проти­воположную                         

(1.28)

8.  В заключение рассмотрим формулы для  простейших случаев вращения тела вокруг неподвижной оси:

а)  равномерное вращение:

б)  равнопеременное вращение вокруг оси OZ:

Где — проекция на ось OZ начальной угловой скорости  тела

9.  Поступательное   и вращательное движения твердого тела яв­ляются лишь простейшими типами его движения.  В общем случае твердое тело может двигаться весьма сложным образом.  

10