Метод конечных элементов

6. Вычисление искомых .величин в элементе.

  Главы 8—12 посвящены приложениям в различных конкретных областях .механики сплошных сред: к задачам распространения тепла и гидродинамики, осесимметрическим задачам теории поля, .нестационарным задачам теории поля и задачам теории упругости. Для иллюстрации основ теории в гл. 6 приводится задача -о кручений цилиндра некругового сечения. В гл. 13—16 рассматриваются элементы высокого порядка. В гл. 17 обсуждается метод Галёркина. Гл. 18 содержит .некоторые вычислительные программы, которые могут быть использованы для решения задач, рассмотренных <в книге. Эта глава должна использоваться совместно с гл. 2 и гл. 6—12. Вычислительные программы в гл. 18 составлены специально для учебных целей. Они не относятся к общим программам, с помощью которых решаются сложные задачи. 

Глава 2 ДИСКРЕТИЗАЦИЯ ОБЛАСТИ 
 
 

 Разбиение области на подобласти представляет собой первый шаг на тута к решению  задачи, и именно этот шаг не имеет теоретического обоснования. Искусство .разбиения области зависит от имеющихся инженерных навыков. Плохое или несовершенное разбиение будет приводить к ошибочным результатам, если даже остальные этапы метода осуществляются с достаточной точностью.

 Дискретизация области (тела) включает задание числа, размеров и формы подобластей, которые используются для построения дискретной модели реального тела. Как инженеры мы сталкиваемся при этом с довольно деликатной ситуацией. С одной стороны, элементы должны быть выбраны достаточно малыми, чтобы получались приемлемые результаты, а с другой стороны, применение достаточно крупных элементов сокращает вычислительную работу. Нужно иметь некоторые общие соображения об окончательных значениях, с тем чтобы можно было уменьшить размеры элементов в тех областях, где ожидаемый результат может очень сильно меняться (большие величины градиентов), н увеличить их там, где ожидаемый результат почти постоянен.

 Навыки  в дискретизации области приходят с опытом. Однако некоторые общие  правила можно сформулировать. Эти .правила и некоторые советы относительно дискретизации и обсуждаются  в этой главе.

2.1. Типы конечных элементов

 При решении задач методом конечных элементов используются элементы различных  типов. Некоторые, наиболее общие из них, обсуждаются в этом разделе. 
 

2.1.1. Одномерные элементы

Простейшим  среди элементов является одномерный элемент. Схематически он обычно изображается в виде отрезка (фиг. 2.1,о), хотя н имеет поперечное сечение. Площадь поперечного сечения может изменяться по длине, но во многих встречающихся задачах она считается постоянной. Наиболее часто такой элемент используются в одномерных задачах распространения тепла и в задачах строительной механики при расчете стержневых элементов конструкций (типа ферм).

Простейший  одномерный элемент имеет два  узла, по одному на каждом конце. Элементы более высокого порядка, трехузловые (квадратичные) и четырехузловые (кубические), изображены па фнг. 2.1,6 и е. Одномерный элемент может быть криволинейным (фиг. 2.1, е) при условии, что длина дуги входит в уравнения, определяющие элементы. 

2.1.2. Двумерные элементы

Для построения дискретной модели двумерной области  используются два основных семейства элементов: треугольники и четырехугольники. Стороны линейных элементов каждого семейства представляют собой прямые линии (фиг. 2.2, о). Квадратичные и кубические элементы могут иметь как прямолинейные, так и криволинейные стороны или те а другие (фиг. 2.2,6). Возможность .моделирования криволинейных границ достигается добавлением узлов в середину сторон элементов. Оба семейства элементов могут быть использованы одновременно внутри области, если только они имеют одинаковое число узлов на стороне (фиг. 2.2, е). Толщина элемента может быть или постоянной, или являться функцией координат.

 

2.1.3. Трехмерные элементы

 Наиболее  часто встречающимися трехмерными  элементами являются тетраэдр и параллелепипед (фиг. 2.3, а и 6). В обоих случаях линейные элементы ограничены прямолинейными сторонами (плоскостями), тогда как элементы более высокого порядка могут иметь в качестве границ криволинейные поверхности. При разбиении трехмерного тела трудно наглядно представить расположение

элементов в дискретной модели, поэтому, вероятно, более желательным из этих двух типов элементов является параллелепипед. 

 На  фиг. 2.3, в показан другой вид элементов, которые используются при рассмотрении тел цилиндрической формы. Эти элементы подобны двумерному треугольнику я позволяют еще учесть изменение неизвестной величины вдоль третьей координаты.  

 

Фиг. 2.4. Осесиметричный конечный элемент

      На  фигуре 2.4 показан элемент, широко используемый в осесиметрических задачах. Этот элемент  образуется поворотом треугольника на 360 градусов. Подобный элемент может  быть получен вращением четырехугольника.

2.2. Разбиение области на элементы

 Процесс дискретизации может быть разделен иа два этапа: разбиение тела иа элементы и нумерация элементов и узлов. Последний -этап логически совершенно прост, но усложняется в связи с нашим желанием повысить эффективность вычислений.

 В этом разделе рассматривается разбиение  двумерной области на линейные треугольные  элементы. Двумерная область выбрана  для удобства иллюстрации; кроме  того, еден, представленные здесь, могут  быть обобщены на случай трехмерного  тела.

Фиг. 2.5. Деление области  треугольного вида иа линейные треугольные  элементы.. 

Дискретизация одномерного тела почти тривиальна, так как она сводится: только¹ к делению отрезка на более короткие участки.

 Разбиение двумерного тела на треугольники .выделено потому,, что этот элемент простейший из двумерных элементов в смысле аналитической формулировки. Требование простоты элемента связано с тем, что при моделировании области должно быть использовано большое число элементов, поэтому деление области на треугольники, вероятно, наилучший способ разбиения.

 При разбиении любой двумерной области  на элементы сначала тело делятся  на четырехугольные и треугольные подобласти,, или зоны, которые затем подразделяются на треугольники. Границы между подобластями должны .проходить там, где изменяются геометрия, приложенная нагрузка или свойства материала.

 Наиболее  просто можно разбить треугольную  подобласть на элементы, если выбрать  определенное число узлов вдоль  каждой стороны, соединить соответствующие  узлы прямыми линиями и точки  пересечения этих линий считать  узлами. Треугольная зона, показанная на фиг. 2.5, о, разбита на девять элементов после размещения четырех узлов ша каждой стороне. Узлы на сторонах зоны не обязательно располагать на равных расстояниях. Варьирование-расстояния между ними позволяет изменять размеры элементов.

 Если  треугольная подобласть криволинейная, криволинейные границы элементов  заменяются иа прямые отрезки. Разбиение  криволинейной треугольной зоны иа линейные треугольники показано иа фиг. 2.5,б. Штриховой линией представлена исходная форма, сплошными линиями изображены элементы.

  

  Если  иа стороне треугольной подобласти выбрано п узлов, число треугольных элементов в результате разбиения равняется

  Четырехугольные зоны обычно разбивают та элементы соединением узлов на противоположных сторонах (фиг. 2.6, о). Пересечения линий определяют внутренние узловые точки. Внутренние четырехугольники .могут рассматриваться как элементы; они могут быть разбиты на треугольные элементы проведением короткой .диагонали в каждом внутреннем четырехугольнике (фиг. 2.6. б). -Разбиение с использованием короткой диагонали предпочтительно, глотом у что элементы, близкие по форме к равностороннему треугольнику, приводят к более точным результатам, чем длинные •узкие треугольники.

  Число узлов на смежных сторонах четырехугольника может быть различным, но на противоположных сторонах узлов должно быть поровну, если только сеть разбиения не измельчается (дли укрупняется). Расстояние между граничными узлами можно варьировать, чтобы получать элементы различных размеров. В четырехугольнике будет 2(n—l)(m—1) элементов, если на смежных сторонах его фиксировано nиm узлов.

 Треугольная и четырехугольная подобласти могут  иметь общую границу. Число узлов  на этой границе для обеих подобластей должно быть одинаковым и относительное положение узлов должаю совпадать. Это требование необходимо для сохранения непрерывности рассматриваемых величин .вдоль общей границы элементов.

 Применение  изложенных идей дискретизации проиллюстрировано  на фиг. 2.7. Расстояния между узлами вдоль границ четырехугольной зоны изменяются, так, чтобы элементы вблизи криволинейной части границы были малыми.

 Равномерное .разбиение, когда все элементы имеют одинаковую форму и размеры, обычно не (проводится, потому что существуют концентрация .напряжений, температурные градиенты и т. п. Возможность варьировать размеры элемента важное достоинство метода конечных элементов. Наиболее простой способ существенного изменения размеров элементов заключается в применении четырехугольных подобластей с неравным числом узлов на: противоположных сторонах. Хорошим вариантом является случай, расположения двух узлов ша одной .стороне против каждых трех, узлов на противоположной стороне. Такая подобласть показана, на фиг. 2.8. 

   

 

 В задачах  механики твердого деформируемого тела необходимо  отметить узлы, которые имеют определенные перемещения».

Для обозначения  неподвижных узлов применяется  символ неподвижного шарнира (фиг. 2.9,0). Если узел может перемещаться только, в одном направлении, используется символ подвижного шарнира (фиг. 2.9,6). Подвижные шарниры, изображенные на

6

■Фиг. 2.9. Неподвижные узлы и узлы, которые могут перемещаться в одном направлении.

фиг. 2.9,6, допускают перемещения в вертикальном (направлении н не позволяют двигаться  ни в одном из горизонтальных направлений.- Учет узловых условий такого типа осуществляется путем видоизменения  системы уравнений, решение которой  определяет узловые перемещения.

Многие физические задачи не имеют четко установленных  границ области анализа. .В задаче 5 .рассмотрен один из таких примеров—процесс распространения тепла. Земля простирается бесконечно далеко .вниз от тротуара, а  излучающие тепло кабели простираются направо и налево на неопределенное расстояние.

Моделирование тел, бесконечно протяженных в одном  или нескольких направлениях,  представляет  определенную  трудность для (инженера, так как он должен иметь дело с ограниченной моделью. Для анализа следует выбирать при этом достаточно большую область, чтобы вычисляемые вдоль ее границ .величины были согласованы с теми значениями, которые встречаются в физической задаче. В задаче 5, например, необходимо выбрать достаточно большую по глубине область с тем, чтобы значения в узлах, расположенных та значительном расстоянии от кабелей, были равны между собой.

  Вероятно, лучшим руководящим принципом в  данном случае 1являются опыт и .изучение чужого опыта в моделировании подобных неограниченных областей.

2.3. Нумерация узлов

 Нумерация узлов была бы тривиальной операцией, если бы номера узлов не влияли на эффективность вычислений, необходимых для получения решения. Использование метода конечных элементов приводит к системе линейных алгебраических уравнений, большое число коэффициентов которой равно нулю. Рассмотрение матрицы коэффициентов системы показывает, что вое ненулевые коэффициенты н некоторые нулевые находятся между двумя линиями, параллельными главной диагонали (фиг. 2.10). Расстояние