Момент инерции

Содержание:

1. Введение.

2. Кинетическая энергия и момент инерции.

3.Зависимость момента инерции от положения оси вращения.

4.Момент инерции тела относительно оси. Радиус инерции.

5. Моменты инерции тела относительно параллельных осей. Теорема Гюйгенса.

6.Центробежные моменты инерции. Понятия о главных осях инерции тела.

7.Момент инерции тела относительно произвольной оси.

8. Заключение.

Введение.

В настоящее время в мире происходят постоянные изменения стратегий и методов, и проблематика данного исследования по-прежнему несет актуальный характер.

Представляется, что анализ тематики «Момент инерции» достаточно актуален и представляет научный и практический интерес.

Характеризуя степень научной разработанности проблематики «Момент инерции», следует учесть, что данная тема уже анализировалась у различных авторов в различных изданиях: учебниках, монографиях, периодических изданиях и в интернете. Тем не менее, при изучении литературы и источников отмечается недостаточное количество полных и явных исследований тематики «Момент инерции».

Научная значимость данной работы состоит в оптимизации и упорядочивании существующей научно-методологической базы по исследуемой проблематике – еще одним независимым авторским исследованием. Практическая значимость темы «Момент инерции» состоит в анализе проблем как во временном, так и в пространственном разрезах.

С одной стороны, тематика исследования получает интерес в научных кругах, в другой стороны, как было показано, сущесвтует недостаточная разработанность и нерешенные вопросы. Это значит, что данная работа помимо учебной, будет иметь теоретическую, так и практическую значимость.

Определенная значимость и недостаточная научная разработанность проблемы «Момент инерции» определяют научную новизну данной работы.

Кинетическая энергия и момент инерции.

Выведем выражение для кинетической энергии твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Задачу будем решать в приближении ньютоновской механики, т. е. при условии, что все точки движутся со скоростями, значительно меньшими скорости света в вакууме. Для упрощения задачи вначале рассмотрим систему, состоящую из двух материальных точек, а затем обобщим полученный результат на любое твердое тело.

Пусть две материальные точки с массами m1 и m2 расположены на расстоянии l друг от друга. Будем считать систему жесткой, т. е. расстояние между точками не меняется. Система вращается вокруг оси с угловой скоростью . Тогда, согласно v=∆l/∆t=r∆α/∆t=rω , скорость первой точки v1=r1ω , скорость второй v2=r2ω , где r1 и r2 -расстояния от материальных точек до оси вращения. Кинетические энергии материальных точек

K1=m1v12/2=1/2 m1r12 ω 2;   K2=m2v22/2=1/2 m2r22 ω 2

Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий материальных точек, из которых эта система состоит:

K=K1+K2= ω 2/2 (m1r12+ m2r22)

Физическая величина

J=m1r12+m2r22

называется моментом инерции системы материальных точек. Он характеризует  распределение масс этих частиц относительно оси вращения.

Единицей измерения момента инерции  в системе СИ служит килограмм на метр в квадрате.

Получим

K=J ω 2/2

Итак, кинетическая энергия системы материальных точек равна половине произведения момента инерции этой системы на квадрат угловой скорости вращения.

Если система состоит не из двух, а из n материальных точек, то выражение для ее кинетической энергии сохраняется, но момент инерции примет вид

J=m1r12+m2r22+…+mnrn2

Зависимость момента инерции от положения оси вращения.

Момент инерции тела зависит не только от его массы, но и от положения оси вращения. Это непосредственно следует из выражения . Действительно, если перенести ось вращения в другую точку, то массы  не изменятся, а радиусы  станут другими, в результате чего и момент инерции окажется другим.

Вычислим моменты инерции системы из двух материальных точек относительно двух осей, параллельных друг другу и перпендикулярных плоскости чертежа. Расстояние между осями AC=a.

Момент инерции системы относительно оси, проходящей через точку A:

J=m1R12+m2R22

Момент инерции той же системы относительно оси, проходящей через центр масс C:

J0=m1r12+m2r22

По теореме пифагора

R12=h2+(r1+x)2;     R22=h2+(r2-x)2

Подставив в J=m1R12+m2R22 и проделав несложные преобразования, получим с учетом J0=m1r12+m2r22

J=J0+(m1+m2)(h2+x2)+2x(m1r1-m2r2)

Наконец для нерелятивистских  скоростей  есть масса системы. Следовательно,

J=J0+ma2

Итак, момент инерции системы материальных точек относительно произвольной оси равен моменту инерции этой системы относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, плюс произведение массы системы на квадрат расстояния между осями (теорема Штейнера).

Поскольку ma-положительное число, то из теоремы Штейнера следует, что минимальное значение имеет момент инерции системы относительно оси, проходящей через центр ее масс.

Воспользуемся теоремой Штейнера для вычисления момента инерции однородного стержня относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец . Пусть масса стержня m, его длина l. Момент инерции пропорционален массе и квадрату линейных размеров:

J=Oml2

где O-коэффициент пропорциональности (отвлеченное число).

Вычислим момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс. С одной стороны, мы можем считать стержень состоящим из двух равных кусков с массами  и длинами  . Учитывая, что момент инерции всего стержня равен сумме моментов инерции обеих половин, получим

J0=2Om1l12=2O m/2 l2/4=O/4 ml2

С другой стороны, согласно теореме Штейнера

J0=J-ma2=Oml2-m(l/2)2=ml2(O-1/4)

Сравнив равенства, получим

O/4=O-1/4, откуда  O=1/3

Итак, момент инерции однородного стержня относительно оси, проходящей через его конец перпендикулярно стержню,

J=ml2/3

Момент инерции того же стержня относительно оси, проходящей через центр масс,

J0=ml2/12

Момент инерции диска относительно оси, проходящей через его центр, пропорционален его массе и квадрату радиуса:

J=αmR2

Для определения коэффициента пропорциональности  вычислим момент инерции кольца. Он равен разности моментов инерции двух дисков с радиусами R и R1 и соответственно с массами m и m1=mR12/R2:

Jk=J-J1=αmR2-αm1R12=αm/R2 (R4-R14)

Масса кольца

Mk=m-m1=m(R2-R12)/R2

Если кольцо достаточно тонкое, то его момент инерции

Jk=∆m1R2+∆m2R2+…=(∆m1+∆m2+…)R2=mkR2=m(R2-R12)

Сравнивая оба выражения для момента инерции кольца, получим после сокращений

α(R2+R12)=R2

А так как по условию R1=R, то α=1/2.

Итак, момент инерции диска относительно оси, проходящей через его центр перпендикулярно его плоскости, равен

J=1/2 mR2

Есть величина, зависящая от распределения масс относительно оси вращения. Эту величину называют моментом инерции тела относительно данной оси.

Так как число возможных осей вращения неопределенно велико, то таково же и число моментов инерции, причем ни один из них не может равняться нулю, так как все элементарные моменты положительны.

Моменты инерции относительно осей, проходящих через центр масс, называются главными моментами инерции. Если тело симметрично, то оси проводят параллельно осям симметрии. Главные моменты инерции находятся методами интегрального исчисления.

Значения главных моментов инерции для многих симметричных тел приводятся в справочниках, поэтому можно пользоваться готовыми формулами.

Приведем ряд формул для вычисления моментов инерции:

1.момент инерции материальной точки, расположенной на расстоянии а от оси:      l=ma2;

2.момент инерции однородного шара — относительно оси, проходящей через центр шара:    l=2/5 MR2;

3.момент инерции однородного стержня — относительно оси, проходящей через середину стержня, перпендикулярно к его длине l:   l= 1/12 Ml2;

Расчеты показывают, что момент инерции тела относительно любой оси XX оказывается равным моменту инерции этого тела l0 относительно оси O – O, проходящей через центр тяжести тела, параллельно заданной оси, плюс произведение массы тела M на квадрат расстояния а между этими осями:

l=l0+Ma2.

МОМЕНТ ИНЕРЦИИ ТЕЛА ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ.

РАДИУС ИНЕРЦИИ .

Моментом инерции тела (системы) относительно данной оси Oz (или осевым моментом инерции) называется скалярная величина, равная сумме произведений масс всех точек тела (системы) на квадраты их расстояний от этой оси:

JZ=∑mkhk2                               (1).

Из определения следует, что момент инерции тела (или системы) относительно любой оси является величиной положительной и не равной нулю.

В дальнейшем будет показано, что осевой момент инерции играет при вращательном движении тела такую же роль, какую масса при поступательном, т. е. что осевой момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении.

Согласно формуле (1) момент инерции тела равен сумме моментов инерции всех его частей относительно той же оси. Для одной материальной точки, находящейся на расстоянии h от оси, Jz=mh2. Единицей измерения момента инерции в СИ будет 1 кг -м2 (в системе МКГСС— 1 кгм-с2).

Для вычисления осевых моментов инерции можно расстояния точек от осей выражать через координаты xk, yk, zk этих точек (например, квадрат расстояния от оси Ох будет yk2+zk2 и т. д.). Тогда моменты инерции относительно осей Oxyz будут определяться формулами:

Jx=∑mk(yk2+zk2);   Jy=∑mk(yk2+zk2);   Jz=∑mk(yk2+zk2);      (2).

Часто в ходе расчетов пользуются понятием радиуса инерции. Радиусом инерции тела относительно оси Оz называется линейная величина рz, определяемая равенством:

                                           Jz=Mpz2                                    (3).

где М — масса тела. Из определения следует, что радиус инерции геометрически равен расстоянию от оси Oz той точки, в которой надо сосредоточить массу всего тела, чтобы момент инерции одной этой точки был равен моменту инерции всего тела.

Зная радиус инерции, можно по формуле (3) найти момент инерции тела и наоборот.

Формулы (1) и (2) справедливы как для твердого тела, так и для любой системы материальных точек. В случае сплошного тела, разбивая его на элементарные части, найдем, что в пределе сумма, стоящая в равенстве (1), обратится в интеграл. В результате, учитывая, что dm=pdV, где р—плотность, а V—объем, получим

Jz = ∫h2 dm или Jz = ph2 dV.              (4)

Интеграл здесь распространяется на весь объем V тела, а плотность р и расстояние к зависят от координат точек тела. Аналогично формулы (2) для сплошных тел примут вид

т. д.              (4')

Формулами (4) и (4') удобно пользоваться при вычислении моментов инерции однородных тел правильной формы. При этом плотность р будет постоянной и выйдет из-под знака интеграла. Найдем моменты инерции некоторых однородных тел.

1. Тонкий однородный стержень длиной l и массой М. Вычислим его момент инерции относительно оси Az, пер- пендикулярной стержню и проходящей через его конец А. Направим вдоль АВ координатную ось Ах. Тогда для любого элементарного отрезка длины dx величина h—x, а масса dm=p1dx,

где р1=М/l — масса единицы длины стержня. В результате формула (4) дает

JA = ∫ х2 dm = P1 ∫ x2 dx = p1 l3/3.

Заменяя здесь р1 его значением, найдем окончательно

JA=M l2/3.              (5)

2. Тонкое круглое однородное кольцо радиусом R и массой М. Найдем его момент инерции относительно оси Cz, перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через его центр С. Так как все точки кольца находятся от оси

Cz на расстоянии hh=R, то формула (1) дает

Jc=∑mkR2=(∑mk)R2=MR2

Следовательно, для кольца

Jc= MR2  (6)

Очевидно, такой же результат получится для момента инерции тонкой цилиндрической оболочки массой М и радиусом R относительно ее оси.

3. Круглая однородная пластина или цилиндр радиусом R и массой М. Вычислим момент инерции круглой пластины относительно оси Cz, перпендикулярной пластине и проходящей через ее центр. Для этого выделим элементарное кольцо радиусом г и шириной dr. Площадь этого кольца 2πr*dr, а масса dm=p22πr*dr, где р2=М/πr2 — масса

единицы площади пластины. Тогда по формуле (6) для выделенного элементарного кольца будет dJc=r2dm=2πp2r3dr, а для всей пластины.

Jc = 2πр2 ∫ г3 dr = πр2R4/2.

Заменяя здесь р2 его значением, найдем окончательно

Jc=MR2/2       (7)

Такая же формула получится, очевидно, и для момента инерции Jz однородного круглого цилиндра массой М и радиусом R относительно его оси.