Динамическое программирование

где і=2,3,…n, x1=P1. Сумма денег xi, которые могут  быть инвестированы, включает лишь новые  деньги и премиальные проценты за инвестиции, сделанные на протяжении (і-1)-го года.

Пусть fi(xi)- оптимальная сумма инвестиций для  интервала от і-го до n-го года при  условии, что в начале і-го года имеется  денежная сумма xi. Далее обозначим через si накопленную сумму к концу n-го года при условии, что li и (xi-li)-объемы инвестиций на протяжении і-го года в первый и второй банк соответственно. Обозначая , і=1,2, мы можем сформулировать задачу в следующем виде.

Максимизировать z=s1+s2+…+sn, где

Так как  премиальные за n-й год являются частью накопленной денежной суммы  от инвестиций, в выражения для sn добавлены qn1 и qn2.

Итак, в  данном случае рекуррентное уравнение  для обратной прогонки в алгоритме динамического программирования имеет вид

 

где xi+1 выражается через xi в соответствии с приведенной  выше формулой, а fn+1(xn+1)=0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.2 Общая структура динамического программирования

 

Отыскание оптимальной стратегии принятия набора последовательных решений, в большинстве случаях, производится следующим образом: сначала осуществляется выбор последнего во времени решения, затем при движении в направлении, обратном течению времени, выбираются все остальные решения вплоть до исходного.

Для реализации такого метода необходимо выяснить все  ситуации, в которых может происходить выбор последнего решения. Обычно условия, в которых принимается решение, называют «состоянием» системы. Состояние системы – это описание системы, позволяющее, учитывая будущие решения, предсказать ее поведение. Нет необходимости выяснять, как возникло то ил иное состояние или каковы были предшествующие решения. Это позволяет последовательно выбирать всего по одному решению в каждый момент времени. Независимо от того, отыскивают оптимальные решения с помощью табличного метода и последующего поиска или аналитическим путем, обычно быстрее и выгоднее производить выбор по одному решению в один момент времени, переходя затем к следующему моменту и т.д. К сожалению, таким методом можно исследовать не все процессы принятия решений. Необходимым условием применения метода динамического программирования является аддитивность цен всех решений, а также независимость будущих результатов от предыстории того или иного состояния.

Если  число решений очень велико, то можно построить относительные  оценки состояний так, чтобы оценки, отвечающие каждой паре последовательных решений, отличались друг от друга на постоянную величину, представляющую собой средний «доход» на решение. Также можно выполнять дисконтирование  доходов от будущих решений. Необходимость  в этом иногда появляется в том  случае, когда решение принимаются  редко, скажем раз в году. Тогда  уже не нужно рассматривать последовательно 1,2,3…решения, чтобы достичь решения с большим номером. Вместо этого можно непосредственно оперировать функциональным уравнением, что, как правило, дает существенную выгоду с точки зрения сокращения объема вычислений.

 

1.4 Примеры решения задач  динамического программирования

 
Последовательность  Фибоначчи Fn задается формулами: F₁ = 1, F₂ = 1,  
F_n = Fn _{– 1} + Fn _{– 2} при n > 1. Необходимо найти Fn по номеру n. 
Один из способов решения, который может показаться логичным и эффективным, — решение с помощью рекурсии: 

int F(int n) {

if (n < 2) return 1;

else return F(n - 1) + F(n - 2);

 
Используя такую функцию, мы будем решать задачу «с конца» —  будем шаг за шагом уменьшать n, пока не дойдем до известных значений. 
Но как можно заметить, такая, казалось бы, простая программа уже при n = 40 работает заметно долго. Это связано с тем, что одни и те же промежуточные данные вычисляются по несколько раз — число операций нарастает с той же скоростью, с какой растут числа Фибоначчи — экспоненциально. 
 
Один из выходов из данной ситуации — сохранение уже найденных промежуточных результатов с целью их повторного использования: 
 

int F(int n) {

if (A[n] != -1) return A[n];

if (n < 2) return 1;

else {

  A[n] = F(n - 1) + F(n - 2);

  return A[n];

 

 

 
Приведенное решение является корректным и эффективным. Но для данной задачи применимо и более простое решение: 

F[0] = 1;

F[1] = 1;

for (i = 2; i < n; i++) F[i] = F[i - 1] + F[i - 2];

 
Такое решение можно назвать решением «с начала» — мы первым делом  заполняем известные значения, затем находим первое неизвестное значение (F₃), потом следующее и т.д., пока не дойдем до нужного. 
Именно такое решение и является классическим для динамического программирования: мы сначала решили все подзадачи (нашли все Fi для i < n), затем, зная решения подзадач, нашли ответ (Fn = Fn _{– 1} +Fn _{– 2}, Fn _{– 1} и Fn _{– 2} уже найдены). 

Одномерное динамическое программирование

 
Чтобы лучше понять суть динамического  программирования, сначала более  формально определим понятия задачи и подзадачи. 
 
Пусть исходная задача заключается в нахождении некоторого числа T при исходных данных n₁, n₂, ..., nk. То есть мы можем говорить о функции T(n₁, n₂, ..., nk), значение которой и есть необходимый нам ответ. Тогда подзадачами будем считать задачи 

 
T(i₁, i₂, ..., ik) при i₁ < n₁, i₂ < n₂, ..., ik < nk. 

 

 

 

 
Далее мы будем о говорить об одномерном, двумерном и многомерном динамическом программировании приk = 1, k = 2, k > 2, соответственно. 
Следующая задача одномерного динамического программирования встречается в различных вариациях. 
Задача 1. Посчитать число последовательностей нулей и единиц длины n, в которых не встречаются две идущие подряд единицы. 
При n < 32 полный перебор потребует нескольких секунд, а при n = 64 полный перебор не осуществим в принципе. Для решения задачи методом динамического программирования сведем исходную задачу к подзадачам. 
При n = 1, n = 2 ответ очевиден. Допустим, что мы уже нашли Kn _{– 1}, Kn _{– 2} — число таких последовательностей длины n – 1 и n – 2. 
Посмотрим, какой может быть последовательность длины n. Если последний ее символ равен 0, то первыеn – 1 — любая правильная последовательность длины  
n – 1 (не важно, заканчивается она нулем или единицей — следом идет 0). Таких последовательностей всего Kn _{– 1}. Если последний символ равен 1, то предпоследний символ обязательно должен быть равен 0 (иначе будет две единицы подряд), а первые  
n – 2 символа — любая правильная последовательность длины n – 2, число таких последовательностей равно Kn _{– 2}. 
 
 
 
Таким образом, K₁ = 2, K₂ = 3, Kn = Kn _{– 1} + Kn _{– 2} при n > 2. То есть данная задача фактически сводится к нахождению чисел Фибоначчи. 

Двумерное динамическое программирование

 
Классической задачей двумерного динамического программирования является задача о маршрутах на прямоугольном поле. 
В разных формулировках необходимо посчитать число маршрутов или найти маршрут, который является лучшим в некотором смысле. 

 
Приведем пару формулировок таких  задач: 
 
Задача 2. Дано прямоугольное поле размером n*m клеток. Можно совершать шаги длиной в одну клетку вправо или вниз. Посчитать, сколькими способами можно попасть из левой верхней клетки в правую нижнюю. 
 
Задача 3. Дано прямоугольное поле размером n*m клеток. Можно совершать шаги длиной в одну клетку вправо, вниз или по диагонали вправо-вниз. В каждой клетке записано некоторое натуральное число. Необходимо попасть из верхней левой клетки в правую нижнюю. Вес маршрута вычисляется как сумма чисел со всех посещенных клеток. Необходимо найти маршрут с минимальным весом. 
 
Для всех таких задач характерным является то, что каждый отдельный маршрут не может пройти два или более раз по одной и той же клетке. 
 
Рассмотрим более подробно задачу 2. В некоторую клетку с координатами (i,j) можно прийти только сверху или слева, то есть из клеток с координатами (i – 1, j) и (i, j – 1): 
 
 
 
Таким образом, для клетки (i, j) число маршрутов A[i][j] будет равно  
A[i – 1][j] + A[i][j – 1], то есть задача сводится к двум подзадачам. В данной реализации используется два параметра — i и j — поэтому применительно к данной задаче мы говорим о двумерном динамическом программировании. 
 
Теперь мы можем пройти последовательно по строкам (или по столбцам) массива A, находя число маршрутов для текущей клетки по приведенной выше формуле. Предварительно в A[0][0] необходимо поместить число 1. 
 
В задаче 3 в клетку с координатами (i, j) мы можем попасть из клеток с координатами  
(i – 1, j), (i, j – 1) и (i – 1, j – 1). Допустим, что для каждой из этих трех клеток мы уже нашли маршрут минимального веса, а сами веса поместили в W[i – 1][j], W[i][j – 1],  
W[i – 1][j – 1]. Чтобы найти минимальный вес для (i, j), необходимо выбрать минимальный из весов W[i – 1][j], W[i][j – 1], W[i – 1][j – 1] и прибавить к нему число, записанное в текущей клетке: 
 
W[i][j] = min(W[i–1][j], W[i][j – 1], W[i – 1][j – 1]) + A[i][j]; 
 
Данная задача осложнена тем, что необходимо найти не только минимальный вес, но и сам маршрут. Поэтому в другой массив мы дополнительно для каждой клетки будем записывать, с какой стороны в нее надо попасть. 
На следующем рисунке приведен пример исходных данных и одного из шагов алгоритма. 
 
 
 
В каждую из уже пройденных клеток ведет ровно одна стрелка. Эта стрелка показывает, с какой стороны необходимо прийти в эту клетку, чтобы получить минимальный вес, записанный в клетке. 
После прохождения всего массива необходимо будет проследить сам маршрут из последней клетки, следуя по стрелкам в обратную сторону. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 Решение задачи

 

Решите задачу параметрического программирования:

Стоимость товаров  четырёх видов меняется с течением времени по следующим законам:

• для товара первого вида (в количестве x1) à  (1 + t),
• для товара второго вида (в количестве x2) à  (7 - 0.4*t),
• для товара третьего вида (в количестве x3) à  (4- 0.2*t),
• для товара четвёртого первого вида (в количестве x4) à  (5 -  0.3*t),

Требуется найти  максимум  стоимости всей партии товаров

при изменении времени    t=1,5,8,12

и дополнительных ограничениях, задаваемых условиями хранения товаров:

      x1 + x2 + 2*x3   -   x4 £   5,

x1 + x2               +  x4  £  17,

x1 +        +   x3 +2*x4  £  30 ,

 

Решение задачи в Mathcad:

 

Простая линейная регрессия позволяет  найти линейную зависимость между  одной входной и одной выходной переменными. Для этого определяется уравнение регрессии – это модель, отражающая зависимость значений Y, зависимой величины Y от значений х, независимой переменной х и генеральной совокупности, описывается уровнением:

где А0 – свободный член уравнения регрессии;

А1 – коэффициент уравнения регрессии

Затем строится соответствующая прямая, называемая линией регрессии. Коэффициенты А0 и А1, называемые также параметрами модели, выбираются таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений точек, соответствующих реальным наблюдениям данных, от линии регрессии, была бы минимальной. Подбор коэффициентов производится по методу наименьших квадратов. Иными словами, простая линейная регрессия описывает линейную модель, которая наилучшим образом аппроксимирует зависимость между одной входной и одной выходной переменными.

Цели регрессионного анализа

• Определение наличия и характера (математического уравнения, описывающего зависимость) связи между переменными
• Определение степени детерминированности вариации критеральной переменной предикторами
• Предсказать значение зависимой переменной с помощью независимой
• Определить вклад независимых переменных в вариацию зависимой

 

Найдем значения коэффициента регрессии (А) и сводного члена уравнения регрессии (А1)

1. Представление исходной информации в виде векторов

 

 

 

 

 

 

2. Определение суммы элементов векторов и произведений векторов:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Определение параметров уравнения регрессии

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Свободный член уравнения регрессии А

 

 

 

 

 

 

5. Коэффициент уравнения регрессии А1

 

 

 

 

 

6. Графическое изображение линии уравнения регрессии и точек кор-реляции

 

 

 

 

 

 

Определим параметры уравнения  регрессии А и А1 с помощью встроенных функций системы MathCad

 

• intercept (X,Y) - коэффициент А линейной регрессии;
• slope (X,Y) - коэффициент А1 линейной регрессии;
• corr(X,Y) - коэффициент корреляции

 

1. Определение свободного члена уравнения регрессии А с помощью встроенной функции intercept(X.Y)

 

 

 

2. Определение коэффициента уравнения регрессии А1 с помощью встроенной функции  slope(X.Y)

 

 

 

 

 

3. Определим коэффициент корреляции R с помощью встроенной функции corr(X,Y)

 

 

 

 

 

Определим  стандартную ошибку предсказания являющейся мерой качества реальной зависимости  величинами Y и х с помощью уравнения линейной регрессии.

Мерой качества приближенного описания реальной зависимости между величинами Y и х с помощью уравнения линейной регрессии является стандартное отклонение значений у от регрессионной прямой, вычисляемое по формуле:

 

SYX является мерой точности предсказания значений случайной величины Y  по заданным значениям величины х, поэтому SYX называют также стандартной ошибкой предсказания.