Корреляционный и регрессионный анализ

P(0,240043≤ ρ_X3X4 ≤ 0,673215)=0,95

По полученным данным можно  сделать следующие выводы:

Между исследуемыми показателями выявлены значимые корреляционные зависимости.

1) Между индексом снижения себестоимости продукции (Y) и коэффициентом сменности оборудования (Х₃), фондовооруженностью труда (Х₄ ), между коэффициентом сменности оборудования (Х₃) и фондовооруженностью труда (Х₄ ) существует прямые умеренные связи.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Расчёт частных коэффициентов корреляции.

Сравнение частных  и парных коэффициентов корреляции

Частные коэффициенты корреляции характеризуют взаимосвязь между  двумя выбранными переменными при  исключении влияния остальных показателей (т.е. характеризуют «чистую» связь  только между этими признаками) и  важны для понимания взаимодействия всего комплекса показателей, т.к. позволяют определить механизмы  усиления-ослабления влияния переменных друг на друга.

Частный коэффициент (k-2)-го порядка между переменными, например, между Y и X₁, равен:

                               ,

где R_ij – алгебраическое дополнение элемента r_ij   корреляционной матрицы R ,   равное    R_ij =(-1)^i+j · M_ij

M_ij – минор элемента r_ij  корреляционной матрицы R,  т.е. определитель матрицы на 1 меньшего порядка, полученной из R путём вычёркивания i-й строки и j-го столбца.

Воспользуемся встроенной функцией Excel и получаем:

R₁₂=(-1)¹⁺²·M₁₂= 0,058179

  R₁₁=(-1)¹⁺¹·M₁₁= 0,707461

   R₂₂=(-1)²⁺²·M₂₂= 0,525866

R₁₃=(-1)¹⁺³·M₁₃= -0,22778

R₁₄=(-1)¹⁺⁴·M₁₄= -0,26455

R₁₅=(-1)¹⁺⁵·M₁₅= -0,11419

R₂₃=(-1)²⁺³·M₂₃= -0,01329

R₂₄=(-1)²⁺⁴·M₂₄= 0,008101

R₂₅=(-1)²⁺⁵·M₂₅= 0,080993

R₃₄=(-1)³⁺⁴·M₃₄= 0,176752

R₃₅=(-1)³⁺⁵·M₃₅= 0,041594

R₄₅=(-1)⁴⁺⁵·M₄₅= -0,26879

R₃₃=(-1)³⁺³·M₃₃= 0,589136

R₄₄=(-1)⁴⁺⁴·M₄₄= 0,769891

R₅₅=(-1)⁵⁺⁵·M₅₅= 0,687242

 

Выборочные частные коэффициенты корреляции:

r12|345= -0,09538

r13|245= 0,352826

r14|235= 0,358459 и т.д.

 

 

Таким образом, получаем матрицу следующего вида:

Таблица 5

Матрица выборочных частных коэффициентов корреляции исследуемых экономических показателей

	Y	X1	X2	X3	X4
Y	1	-0,09538	0,35283	0,35846	0,163763
X1	-0,09538	1	0,023878	-0,01273	-0,13473
X2	0,352826	0,023878	1	-0,26245	-0,06537
X3	0,358459	-0,01273	-0,26245	1	0,36953
X4	0,163763	-0,13473	-0,06537	0,36953	1

 

 

 

Теперь необходимо проверить  значимость полученных частных коэффициентов  корреляции, т.е. гипотезу H₀: ρ_ij/{..} = 0.  

Для этого рассчитаем наблюдаемые  значения t-статистик для всех коэффициентов по формуле:                           

                                     

где l – порядок частного коэффициента корреляции, совпадающий с количеством фиксируемых переменных случайных величин (в нашем случае l=3),  а n – количество наблюдений.                       

Построим матрицу наблюдаемыx значений t-статистик для всех коэффициентов r_ij/{..}   (таб.6).

Таблица 6

Матрица наблюдаемыx значений t-статистик частных коэффициентов корреляции исследуемых экономических показателей

t набл.	Y	X1	X2	X3	X4
Y		-0,64275887	2,529504	2,575789	1,113589
X1	-0,64275887		0,160224	-0,0854	-0,91211
X2	2,529503803	0,160224177		-1,82453	-0,43946
X3	2,575788914	-0,085402356	-1,82453		2,667698
X4	1,113589379	-0,912112642	-0,43946	2,667698

 

 

 

Наблюдаемые значения t-статистик необходимо сравнить с критическим значением t_кр, найденным для уровня значимости  α=0,05  и числа степеней свободы ν=n – l - 2.

 

Для этого используем встроенную статистическую функцию Excel СТЬЮДРАСПОБР,  введя в предложенное меню вероятность  α=0,05 и число степеней свободы   ν=n–l–2=50-3-2=45.  

Получаем   t_кр= 2,014103359

По результатам, представленным в таблице 6, наблюдаемое значение     t-статистики больше критического t_кр= 2,014103359 по модулю для частных коэффициентов корреляции 

 Следовательно, гипотеза  о равенстве нулю этих коэффициентов  отвергается с вероятностью ошибки, равной 0,05,  т.е. соответствующие  коэффициенты значимы.

Для остальных коэффициентов  наблюдаемое значение t-статистики меньше критического значения по модулю, следовательно, гипотеза H₀ не отвергается,т.е. - незначимы.

Отметим в матрице частных  коэффициентов корреляции значимые.

Таблица 7

Матрица частных  коэффициентов корреляции исследуемых  показателей с выделением значимых коэффициентов (при α=0,05)

 

	Y	X1	X2	X3	X4
Y	1	-0,09538	0,35283	0,35846	0,163763
X1	-0,09538	1	0,023878	-0,01273	-0,13473
X2	0,352826	0,023878	1	-0,26245	-0,06537
X3	0,358459	-0,01273	-0,26245	1	0,36953
X4	0,163763	-0,13473	-0,06537	0,36953	1

 

 

Для значимых частных коэффициентов корреляции можно построить с   заданной   надёжностью γ   интервальную   оценку   ρ_min ≤ ρ ≤ ρ_max       с помощью Z-преобразования Фишера:

                                          

                                                     

 Алгоритм построения  интервальной оценки для частного  генерального коэффициента корреляции  такой же, как и для парного;  единственное отличие заключается  в расчёте  ΔZ :

                                          ,

где l – порядок частного коэффициента корреляции, совпадающий с количеством фиксируемых переменных случайных величин (в нашем случае l=3),  а n – количество наблюдений. 

0,295475688

Построим с надёжностью  γ=0,95 и с учётом найденного

 0,295475688 доверительные интервалы для всех значимых частных коэффициентов корреляции, полученных нами.  Расчёты представим в виде таблицы 8.

 

 

 

 

Таблица 8

Расчёт доверительных  интервалов для частных генеральных  коэффициентов корреляции исследуемых  экономических показателей с  надёжностью γ=0,95

	r	Zr	Zmin	Zmax	ρmin	ρmax
Y X3	0,358459	0,375116577	0,079641	0,670592	0,079473	0,585369
Y X4	0,163763	0,165250967	-0,13022	0,460727	-0,12949	0,430676
X3 X4	0,369529	0,387877502	0,092402	0,683353	0,09214	0,593695

 

Таким образом, доверительные  интервалы с надёжностью γ=0,95 для всех значимых частных генеральных коэффициентов корреляции выглядят следующим образом:

P (≤0,585369)=0,95

P(-0,12949≤ ≤0,430676 )=0,95

P(0,09214≤ ≤0,593695)=0,95

Теперь построим таблицу  сравнения выборочных парных и частных  коэффициентов корреляции для всех переменных.

Сравнение парных и частных  коэффициентов играет важную роль в  выявлении механизмов воздействия  переменных друг на друга.

Парный коэффициент корреляции показывает тесноту связи между двумя признаками на фоне действия остальных переменных, а частный характеризует взаимосвязь этих двух признаков при исключении влияния остальных переменных, т.е. их «личную» взаимосвязь.

Таким образом, если оказывается, что парный коэффициент корреляции между двумя переменными по модулю больше соответствующего частного, то  остальные переменные усиливают связь между этими двумя признаками. Соответственно, если парный коэффициент корреляции между двумя переменными по абсолютной величине меньше частного, то  остальные признаки ослабляют связь между рассматриваемыми двумя.

Таблица 9

Таблица сравнения  выборочных оценок парных и частных  коэффициентов корреляции пар исследуемых  показателей с выделением значимых коэффициентов (при α=0,05)

Между переменными	Коэффициент корреляции
	парный	частный
Y X1	-0,161614211	-0,09538
Y X2	0,23801069	0,352826
Y X3	0,405706128	0,358459
Y X4	0,329475061	0,163763
X1 X2	0,016127603	0,023878
X1 X3	-0,139695773	-0,01273
X1 X4	-0,200319307	-0,13473
X2 X3	-0,180616129	-0,26245
X2 X4	-0,093519703	-0,06537
X3 X4	0,485923242	0,369529

 

По полученным данным можно  сделать следующие выводы.

Некоторые значимые корреляционные зависимости, полученные на этапе расчёта  парных коэффициентов корреляции, подтвердились  и при вычислении частных коэффициентов  корреляции. При этом выявлены следующие  механизмы воздействия переменных друг на друга:

 

1. Наблюдается связь между изучаемым признаком Y –индексом снижения себестоимости продукции и факторным признаком X₃ – коэффициентом сменности оборудования и между факторными признаками  X₃ – коэффициентом сменности оборудования и X₄ - фондовооруженностью труда. Обе зависимости прямые.
2. Воздействие других переменных (трудоемкость единицы продукции X_1, удельный вес покупных изделий X₂ и фондовооруженность труда) ослабляет  прямую взаимосвязь между индексом снижения себестоимости продукции (Y) и коэффициентом сменности оборудования (X₃), т.к.  величина частного коэффициент корреляции   меньше значения парного коэффициента корреляции .
3. Аналогичная ситуация наблюдается и для значимой прямой связи между коэффициентом сменности оборудования (X₃) и фондовооруженность труда (X₄) - при исключении воздействия других переменных величина частного коэффициент корреляции меньше значения парного коэффициента корреляции.