Х = (х₁, х₂, х₃) = (uр₁; uр₂; uр₃) = =

    Y = (y₁, y₂, y₃) = (uq₁; uq₂; uq₃) = = .

    Глава 2. КООПЕРАТИВНЫЕ  ИГРЫ

 

    Кооперативные игры получаются в тех случаях, когда, в игре n игроков разрешается образовывать определённые коалиции. Обозначим через N множество всех игроков, N ={1, 2, ..., n}, а через K – любое его подмножество. Пусть игроки из K договариваются между собой о совместных действиях и, таким образом, образуют одну коалицию. Очевидно, что число таких коалиций, состоящих из  r  игроков, равно числу сочетаний из  n  по  r , то есть , а число всевозможных коалиций равно

    

= 2ⁿ – 1.

Из этой формулы видно, что число всевозможных коалиций значительно растёт в зависимости от числа всех игроков в данной игре. Для исследования этих игр необходимо учитывать все возможные коалиции, и поэтому трудности исследований возрастают с ростом  n. Образовав коалицию, множество игроков K действует как один игрок против остальных игроков, и выигрыш этой коалиции зависит от применяемых стратегий каждым из  n  игроков.

    Функция  u, ставящая в соответствие каждой коалиции K наибольший, уверенно получаемый его выигрыш u(K), называется характеристической функцией игры. Так, например, для бескоалиционной игры  n  игроков u(K) может получиться, когда игроки из множества K оптимально действуют как один игрок против остальных N\K игроков, образующих другую коалицию (второй игрок).

    Характеристическая  функция u называется простой, если она принимает только два значения: 0 и 1. Если характеристическая функция u простая, то коалиции K, для которых u(K)=1, называются выигрывающими, а коалиции K, для которых u(K) = 0, – проигрывающими.

    Если  в простой характеристической функции u выигрывающими являются те и только те коалиции, которые содержат фиксированную непустую коалицию R, то характеристическая функция u, обозначаемая в этом случае через u_R, называется простейшей.

    Содержательно простые характеристические функции  возникают, например, в условиях голосования, когда коалиция является выигрывающей, если она собирает более половины голосов (простое большинство) или не менее двух третей голосов (квалифицированное большинство).

    Более сложным является пример оценки результатов  голосования в Совете безопасности ООН, где выигрывающими коалициями являются все коалиции, состоящие из всех пяти постоянных членов Совета плюс ещё хотя бы один непостоянный член, и только они.

    Простейшая  характеристическая функция появляется, когда в голосующем коллективе имеется некоторое “ядро”, голосующее с соблюдением правила “вето”, а голоса остальных участников оказываются несущественными.

    Обозначим через u_G характеристическую функцию бескоалиционной игры. Эта функция обладает следующими свойствами :

1. персональность

    u_G(Æ) = 0,

т.е. коалиция, не содержащая ни одного игрока, ничего не выигрывает;

2. супераддитивность

u_G(KÈL) ³ u_G(K) + u_G(L),  если  K, L Ì N,  KÇL ¹ Æ,

т.е. общий  выигрыш коалиции не меньше суммарного выигрыша всех участников коалиции;

3. дополнительность

       u_G(K) + u(N\K) = u(N)                

т.е. для бескоалиционной игры с постоянной суммой сумма выигрышей коалиции и остальных игроков должна равняться общей сумме выигрышей всех игроков. 

    Распределение выигрышей (делёж) игроков должно удовлетворять  следующим естественным условиям: если обозначить через x_i  выигрыш i-го игрока, то, во-первых, должно удовлетворяться условие индивидуальной рациональности

    x_i ³ u( i ),  для i ÎN                  

т.е. любой  игрок должен получить выигрыш в  коалиции не меньше, чем он получил  бы, не участвуя в ней (в противном случае он не будет участвовать в коалиции); во-вторых, должно удовлетворяться условие коллективной рациональности

                      

= u(N)                

т.е. сумма  выигрышей игроков должна соответствовать возможностям (если сумма выигрышей всех игроков меньше, чем u(N), то игрокам незачем вступать в коалицию; если же потребовать, чтобы сумма выигрышей была больше, чем u(N), то это значит, что игроки должны делить между собой сумму большую, чем у них есть).

    Таким образом, вектор x = (x₁, ..., x_n), удовлетворяющий условиям индивидуальной и коллективной рациональности, называется дележём в условиях характеристической функции u.

    Система {N, u}, состоящая из множества игроков, характеристической функции над этим множеством и множеством дележей, удовлетворяющих соотношениям (2) и (3) в условиях характеристической функции, называется классической кооперативной игрой.

    Из  этих определений непосредственно  вытекает следующая 

Теорема. Чтобы вектор x = (x₁, ..., x_n) был дележём в классической кооперативной игре {N, u},

необходимо  и достаточно, чтобы

x_i = u( i ) + a_i,  (iÎN)

причём

a_i ³ 0    (iÎN) 

               

= u(N) –             

    В бескоалиционных играх исход  формируется в результате действий тех самых игроков, которые в  этой ситуации получают свои выигрыши. Исходом в кооперативной игре является делёж, возникающий не как  следствие действия игроков, а как результат их соглашений. Поэтому в кооперативных играх сравниваются не ситуации, как это имеет место в бескоалиционных играх, а дележи, и сравнение это носит более сложный характер.

    Кооперативные игры считаются существенными, если для любых коалиций K и L выполняется неравенство

    u(K) + u(L) < u(KÈL),

т.е. в  условии супераддитивности выполняется  строгое неравенство. Если же в условии  супераддитивности выполняется равенство

    u(K) + u(L) = u(KÈL),

т.е. выполняется  свойство аддитивности, то такие игры называются несущественными.

    Справедливы следующие свойства :

    1) для того чтобы характеристическая  функция была аддитивной (кооперативная игра – несущественной), необходимо и достаточно выполнение следующего равенства:

    

= u(N)

    2) в несущественной игре имеется только один делёж

     {u(1) , u(2) , ... , u(n) };

    3) в существенной игре с более  чем одним игроком множество  дележей бесконечно

    ( u(1) + a₁ , u(2) + a₂ , ... , u(n) +a_n )

    где

    a_i ³ 0   ( i Î N ) , u(N) —

> 0

    Кооперативная игра с множеством игроков N и характеристической функцией u называется стратегически эквивалентной игрой с тем же множеством игроков и характеристической функцией u¹ , если найдутся такие к > 0 и произвольные вещественные C_i ( iÎN ), что для любой коалиции К Ì N имеет место равенство:

    u¹(K) = k u (K) +

                    

    Смысл определения стратегической эквивалентности  кооперативных игр (с.э.к.и.) состоит  в том что характеристические функции с.э.к.и. отличаются только масштабом измерения выигрышей k и начальным капиталом C_i . Стратегическая эквивалентность кооперативных игр с характеристическими функциями u и u¹ обозначается так u~u¹. Часто вместо стратегической эквивалентности кооперативных игр говорят о стратегической эквивалентности их характеристических функций .

    Справедливы следующие свойства для стратегических эквивалентных игр:

1. Рефлексивность, т.е. каждая характеристическая функция эквивалентна себе u~u.

    2. Симметрия, т.е. если u~u¹, то  u¹~u.

    3. Транзитивность, т.е. если u~u¹ и u¹~u², то u~u².

    Из  свойств рефлексивности, симметрии  и транзитивности вытекает, что множество  всех характеристических функций единственным образом распадается на попарно непересекающиеся классы, которые называются классами стратегической эквивалентности.