Анализ динамических рядов. Экстраполяция. Интерполяция

      (9.13)

где yn - конечный уровень ряда; y1 - начальный уровень ряда. 

    Средний коэффициент роста Кр рассчитывается по формуле средней геометрической из показателей коэффициентов роста за отдельные периоды: 

     (9.14)

где Кр1 , Кр2 , ..., Кр n-1 - коэффициенты роста по сравнению с предыдущим периодом; n - число уровней ряда. 
 

    Средний коэффициент роста можно определить иначе: 

     (9.15)

    Средний темп роста, %. Это средний коэффициент  роста, который выражается в процентах: 

      (9.16)

    Средний темп прироста, %. Для расчета данного  показателя первоначально определяется средний темп роста, который затем уменьшается на 100%. Его также можно определить, если уменьшить средний коэффициент роста на единицу: 

      (9.17)

    Среднее абсолютное значение 1% прироста можно  рассчитать по формуле 

     (9.18) 

    2.3 Способы обработки динамического ряда 

    В ходе обработки динамического ряда важнейшей задачей является выявление  основной тенденции развития явления (тренда) и сглаживание случайных  колебаний. Для решения этой задачи в статистике существуют особые способы, которые называют методами выравнивания.

Выделяют  три основных способа обработки  динамического ряда:

    а) укрупнение интервалов динамического  ряда и расчет средних для каждого  укрупненного интервала;

    б) метод скользящей средней;

    в) аналитическое выравнивание (выравнивание по аналитическим формулам).

    Укрупнение  интервалов - наиболее простой способ. Он заключается в преобразовании первоначальных рядов динамики в  более крупные по продолжительности  временных периодов, что позволяет  более четко выявить действие основной тенденции (основных факторов) изменения уровней.

    По  интервальным рядам итоги исчисляются  путем простого суммирования уровней  первоначальных рядов. Для других случаев  рассчитываются средние величины укрупненных рядов (переменная средняя). Переменная средняя рассчитывается по формулам простой средней арифметической.

    Скользящая  средняя - это такая динамическая средняя, которая последовательно  рассчитывается при передвижении на один интервал при заданной продолжительности периода. Если, предположим, продолжительность периода равна 3, то скользящие средние рассчитываются следующим образом: 

       (9.19) 

    При четных периодах скользящей средней  можно центрировать данные, т.е. определять среднюю из найденных средних. К примеру, если скользящая исчисляется с продолжительностью периода, равной 2, то центрированные средние можно определить так: 

        (9.20) 

    Первую  рассчитанную центрированную относят  ко второму периоду, вторую - к третьему, третью - к четвертому и т.д. По сравнению с фактическим сглаженный ряд становится короче на (m - 1)/2, где m - число уровней интервала.

    Важнейшим способом количественного выражения  общей тенденции изменения уровней  динамического ряда является аналитическое  выравнивание ряда динамики, которое позволяет получить описание плавной линии развития ряда. При этом эмпирические уровни заменяются уровнями, которые рассчитываются на основе определенной кривой, где уравнение рассматривается как функция времени. Вид уравнения зависит от конкретного характера динамики развития. Его можно определить как теоретически, так и практически. Теоретический анализ основывается на рассчитанных показателях динамики. Практический анализ - на исследовании линейной диаграммы.

    Задачей аналитического выравнивания является определение не только общей тенденции развития явления, но и некоторых недостающих значений как внутри периода, так и за его пределами. Способ определения неизвестных значений внутри динамического ряда называют интерполяцией. Эти неизвестные значения можно определить:

    1) используя полусумму уровней,  расположенных рядом с интерполируемыми;

    2) по среднему абсолютному приросту;

    3) по темпу роста. 

    3. Экстраполяция. Интерполяция. 

    В практике анализа хозяйственной  деятельности широко используются различные математические методы научного исследования. В качестве примера рассмотрим два из них — это экстраполяция и интерполяция.

    Способ  определения количественных значений за пределами ряда называют экстраполяцией. Экстраполирование используется для прогнозирования тех факторов, которые не только в прошлом и настоящем обусловливают развитие явления, но и могут оказать влияние на его развитие в будущем.

    ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ — метод научного исследования, заключающийся в распространении  выводов, полученных из наблюдения над одной частью явления, на его другую часть. В пространстве понимается как распространение выборочных данных на другую совокупность, не подвергнутую наблюдению; во времени предполагает, что установленная тенденция в прошлом периоде будет сохраняться и в будущем. Применяется в перспективном планировании, прогнозировании, при нахождении последующих значении (уровней) динамического ряда, когда известны предыдущие.

      Для этих целей могут быть  использованы выравнивание уровней  динамического ряда по способу наименьших квадратов и подстановка в полученное уравнение соответствующих значений t. Например, выравнивая уровни ряда по параболе 2-го порядка за прошедшие 5 лет, получили аналитическое уравнение у1=а0+а1t+а2t2, и есть основание предполагать, что в последующие 2 года данная тенденция не изменится. Подставив в уравнение значения t=6 и 7, получим искомые уровни этих лет.

    Экстраполировать  можно по средней арифметической, по среднему абсолютному приросту, по среднему темпу роста.

    При аналитическом выравнивании может иметь место автокорреляция, под которой понимается зависимость между соседними членами динамического ряда. Автокорреляцию можно установить с помощью перемещения уровня на одну дату. Коэффициент автокорреляции вычисляется по формуле 

      (9.21)

    Автокорреляцию  в рядах можно устранить, коррелируя не сами уровни, а так называемые остаточные величины (разность эмпирических и теоретических уровней). В этом случае корреляцию между остаточными  величинами можно определить по формуле:

      (9.22)

    ИНТЕРПОЛЯЦИЯ  — нахождение неизвестных промежуточных  значений (уровней) динамического ряда при известных соседних. Может  выполняться путем использования  двух или нескольких уровней, при  этом различные суждения о динамике развития явления при интерполяции приводят и к различным результатам, поэтому при выборе того или иного предположения о тенденции развития изучаемого явления динамический ряд рассматривают до и после (или одновременно) интерполируемого периода и приходят к определенному заключению. 

    4. Сезонные колебания

     

    Сезонные  колебания измеряются с помощью  индексов сезонности, которые рассчитываются двумя способами в зависимости от характера динамического развития.

    При относительно неизменном годовом уровне явления индекс сезонности можно  рассчитать как процентное отношение средней величины из фактических уровней одноименных месяцев к общему среднему уровню за исследуемый период: 

      (9.23)

    В условиях изменчивости годового уровня индекс сезонности определяется как  процентное отношение средней величины из фактических уровней одноименных месяцев к средней величине из выровненных уровней одноименных месяцев:

      (9.24)

    4.1 Анализ сезонности 

    Периодическая и сезонная зависимость (сезонность) представляет собой другой общий  тип компонент временного ряда. Это понятие было проиллюстрировано ранее на примере авиаперевозок пассажиров. Можно легко видеть, что каждое наблюдение очень похоже на соседнее; дополнительно, имеется повторяющаяся сезонная составляющая, это означает, что каждое наблюдение также похоже на наблюдение, имевшееся в том же самом месяце год назад. В общем, периодическая зависимость может быть формально определена как корреляционная зависимость порядка k между каждым i-м элементом ряда и (i-k)-м элементом. Ее можно измерить с помощью автокорреляции (т.е. корреляции между самими членами ряда); k обычно называют лагом (иногда используют эквивалентные термины: сдвиг, запаздывание). Если ошибка измерения не слишком большая, то сезонность можно определить визуально, рассматривая поведение членов ряда через каждые k временных единиц. 

    4.2 Понятие сезонной  неравномерности и ее характеристика 

       Слагаясь  под  совместным  воздействием   систематических   и   случайных факторов,  уровень  ряда  динамики  испытывает  также  воздействие   причин, обусловленных периодичностью колебаний.

       В  рядах  внутригодичной   динамики,   можно   выделить   три   важнейшие составляющие колеблемости уровней временного ряда:

тренд, сезонную и случайную компоненты.

    Таким  образом,  при  анализе  колеблемости  динамических  рядов наряду   с выделением случайных колебаний возникает  и  задача  изучения  периодических колебаний.  Как  правило,  изучение  периодических  («сезонных»)   колебаний необходимо с целью исключения их влияния на  общую  динамику  для  выявления  «чистой» (случайной) колеблемости.

    В широком понимании к сезонным относят все явления, которые  обнаруживают  в своем   развитии   отчетливо   выраженную  закономерность    внутригодичных изменений, т.е. более или  менее  устойчиво повторяющиеся из  года  в год колебания уровней. Часто эти колебания  могут  быть  не  связаны  со  сменой времен  года.   К   сезонным   явлениям   относят,   например,   потребление электроэнергии; неравномерность  производственной  деятельности  в  отраслях пищевой  промышленности,  связанных  с  переработкой   сельскохозяйственного сырья; перевозки пассажирским транспортом, спрос на многие виды продукции  и услуг и т.д.

          Как  бы  ни  проявлялась   сезонность,  она   наносит   большой   ущерб национальной   экономике,   связанный   с    неравномерным  использованием оборудования  и  рабочей  силы,  с   неравномерной   загрузкой   транспорта, необходимостью создания резервов мощностей и т.д. Комплексное регулирование сезонных  изменений   по   отдельным   отраслям   должно   основываться   на исследовании сезонных отклонений.

          Важнейшими  задачами,  решаемыми   в  ходе   исследования   сезонности, являются следующие:

    1) определение наличия сезонности, численное выражение  проявления  сезонных колебаний и выявление их  силы и характера в различных фазах годичного цикла;

    2) характеристика факторов, вызывающих  сезонные колебания;

    3) оценка последствий, к которым приводит наличие сезонных колебаний;

    4) математическое  моделирование   сезонности.   Для   измерения   сезонных колебаний статистикой предложены различные методы. Наиболее простые и  часто употребляемые из них:

    а) метод абсолютных разностей;

    б) метод относительных разностей;

    в) построение индексов сезонности.

    Первые  два  способа  предполагают  нахождение  разностей  фактических уровней и уровней, найденных при выявлении основной тенденции развития.

          Применяя  способ  абсолютных  разностей,   оперируют   непосредственно размерами  этих  разностей,  а  при   использовании   метода   относительных разностей определяют отношение абсолютных  размеров  указанных  разностей  к выровненному уровню. При выявлении основной тенденции используют либо  метод скользящей средней, либо аналитическое выравнивание. В некоторых  случаях  в стационарных  рядах  можно  пользоваться  разностью  фактических  уровней  и средним месячным уровнем за  год.  Использование  данных  за  несколько  лет связано  с  тем  обстоятельством,  что  в  отклонениях  по  отдельным  годам сезонные колебания смешиваются со случайными. Чтобы элиминировать  случайные колебания, берут средние отклонения за несколько лет.