Анализ статистических данных

ify">      Величину  коэффициента определите воспользовавшись таблицей значений интеграла Лапласа (приложение 1). 

4. Построение диаграммы накопленных частот 
и гистограммы выборки 
 

4.1. Построение диаграммы  накопленных частот 

   Диаграмма накопленных частот является эмпирическим аналогом интегрального закона распределения (функции распределения). Она строится в соответствии с формулой 

,                                                            (4.1)

 

где – число элементов в выборке, для которых значение ;  – объём выборки.

Таблица 4.1 

 

   На  оси абсцисс следует отложить равномерную шкалу значений . Величина равна нулю левее точки . В точке и далее во всех других точках диаграмма имеет скачок, равный (рис. 4.1).

      Если существует несколько совпадающих значений , то в этом месте на диаграмме происходит скачок, равный  , где – число совпадающих значений. При значение .

   Результаты  расчёта занести в табл. 4.1. Здесь – числовые значения, принимаемые величиной .

4.2. Построение гистограммы  выборки 

      Гистограмма выборки является эмпирическим аналогом функции плотности распределения . Для построения гистограммы необходимо выполнить следующее.

   1. Определить число интервалов , на которое должна быть разбита ось . При небольшом объёме выборки не следует образовывать большое число интервалов, так как они будут включать недостаточное число элементов. Тем более не должно быть «пустых» мест.

   Число интервалов может быть рассчитано по формуле Стерджесса 

  4                                           (4.2) 

где – объём выборки.  Найденное по формуле (4.2) число интервалов следует округлить до целого числа в меньшую сторону.  

   Для определения числа интервалов можно  использовать также значение среднеквадратического  отклонения. Если величину интервала  принять равной , то совокупность разбивается на 6 групп. Когда величина интервала равна , выборка разбивается соответственно на 9 групп.

1. Определить длину интервала

 

                                           (4.3)  

   Величину  для удобства вычислений следует округлить (в большую сторону).

   3. Принять за центр некоторого интервала середину области  изменения изучаемого признака (центр распределения)               После чего необходимо найти границы и окончательное количество интервалов так, чтобы в совокупности они перекрывали всю область от до .

   4. Подсчитать количество элементов (частоту) ряда распределения , попавшее в каждый интервал. Значение равно числу элементов вариационного ряда, для которых справедливо , где и – границы -го интервала. Значения , попавшие на границу между -м и -м интервалами, отнесите к -му интервалу.

   5. Подсчитать относительное количество элементов (частость) совокупности, попавших в данный интервал.

   6. Построить гистограмму (см. рис. 4.2), представляющую собой ступенчатую кривую, значение которой на -м интервале постоянно и равно ( ) .

Данные  для построения  гистограммы выборки

 
 

5. Проверка основной  гипотезы распределения 
 

   Для проверки гипотезы о нормальном законе изучаемого распределения при небольшом ( ) объёме выборки можно использовать следующий критерий.

   Если  выборочные асимметрия и эксцесс удовлетворяют неравенствам 

                                             (5.1)    

и                  

, 

                                                (5.2)      

то  изучаемое распределение  можно считать  нормальным.

   В противном случае гипотезу о нормальном законе распределения следует отвергнуть или, по крайней мере, считать сомнительной.

   Выборочные  асимметрия и эксцесс рассчитываются по формулам 

= -0,33                                          (5.3)

    

= 3,44                                      (5.4)      

где – элементы выборки; – выборочное среднее; – среднеквадратическое отклонение выборки; – объём выборки.

   Дисперсия асимметрии и дисперсия эксцесса , входящие в выражения (5.1) и (5.2), вычисляются по формулам 

= 0,34                                       (5.5)

   

=0,60                                    (5.6)

    

   Если  выборка достаточно велика ( ), то рекомендуется применить более точные критерии Пирсона, Романовского или Колмогорова.

      Порядок проверки основной гипотезы следующий.

   1. Вычислить по формулам (5.3) и (5.4) значения выборочных асимметрии и эксцесса .

   2. Найти из выражений (5.5) и (5.6) дисперсию асимметрии и дисперсию эксцесса .

  3. Составить неравенства (5.1) и (5.2). Если они выполняются, то выдвинутую гипотезу следует принять. В противном случае она отвергается.

   4. Свести результаты расчётов в табл. 5.1. 

Таблица 5.1 
 

Данные  для проверки основной гипотезы

 
 
 

6. Построение функции  распределения 
 

      Эмпирическая  функция распределения  (диаграмма накопленных частот) носит ступенчатый характер (см. рис. 4.1). Необходимо подобрать плавную (теоретическую) кривую распределения , наилучшим образом описывающую эмпирические данные распределения , то есть осуществить выравнивание функции .

      Для выравнивания можно воспользоваться  методом наименьших квадратов (МНК), согласно которому сумма квадратов  отклонений эмпирических данных от теоретических  обращается в минимум 

.                                      (6.1)

      

      В случае нормального закона теоретическая  функция распределения имеет  вид 

,                                      (6.2) 

где и – уточнённые в результате выравнивания выборочные среднее и среднеквадратическое отклонение.

      Задача  выравнивания эмпирических данных переходит  в данном случае в задачу рационального  выбора параметров и , при которых совпадение эмпирического и теоретического распределений окажется наилучшим. Числовые параметры и в выражение (6.2) входят нелинейно. Поэтому поставленная задача выравнивания в общем виде является довольно сложной.

      В курсовой работе выравнивание эмпирической функции распределения предлагается провести с помощью компьютерной программы «Stat 1» (предоставляется преподавателем). Для этого необходимо выполнить следующее.

   1. Ввести в программу «Stat 1» исходные данные: целое число , равное объему выборки, значения переменной и из табл. 4.1 соответствующие им значения функции , .

   2. Занести в табл. 6.1 полученные в результате расчёта на ПЭВМ уточнённые параметры , , а также значения аргумента и соответствующие им расчётные значения функции .

   По  найденной величине среднеквадратического  отклонения определите дисперсию  .

   3. На рис. 4.1, где изображена диаграмма накопленных частот, нанести точки, соответствующие расчетным значениям и соединить их плавной линией.  

   Таблица 6.1

Данные  для выравнивания эмпирической функции  распределения