Парная нелинейная корреляционная зависимость в исследованиях экономических вопросов

Институт  Экономики и Антикризисного управления

Кафедра Экономики и управления 
 
 
 
 

                                      Реферат

       По  дисциплине «Статистика»

       Тема: «Парная нелинейная корреляционная зависимость в исследованиях экономических вопросов» 
 
 
 
 
 
 
 

Москва

2010

 

     Содержание

1. Введение………………………………………………………………………………….4
2. Нелинейная корреляция……………………………………………………………….6
3. Нелинейная корреляции для множественного уравнения регрессии..…….……10
4. Парная регрессия и корреляция………………………………………………….…..12
5. Оценка значимости уравнения регрессии…………………………………………...16
6. Оценка качества модели……………………………………………………………….18
7. Интервальная оценка функции регрессии и её параметров………………...…....21
8. Метод наименьших квадратов…………………………………………………….….24
9. Заключение……………………………………………………………………………....29
10. Список Литературы…………………………………………………………….….…..30
 

1. Введение.

    Величины, характеризующие различные свойства объектов, могут быть независимыми или взаимосвязанными. Различают  два вида зависимостей между величинами (факторами): функциональную и статистическую.

    При функциональной зависимости двух величин значению одной из них обязательно соответствует одно или несколько точно определенных значений другой величины. Функциональная связь двух факторов возможна лишь при условии, что вторая величина зависит только от первой и не зависит ни от каких других величин. Функциональная связь одной величины с множеством других возможна, если эта величина зависит только от этого множества факторов. В реальных ситуациях существует бесконечно большое количество свойств самого объекта и внешней среды, влияющих друг на друга, поэтому такого рода связи не существуют, иначе говоря, функциональные связи являются математическими абстракциями. Их применение допустимо тогда, когда соответствующая величина в основном зависит от соответствующих факторов.

    При исследовании многие параметры следует считать случайными, что исключает проявление однозначного соответствия значений. Воздействие общих факторов, наличие объективных закономерностей в поведении объектов приводят лишь к проявлению статистической зависимости. Статистической называют зависимость, при которой изменение одной из величин влечет изменение распределения других (другой), и эти другие величины принимают некоторые значения с определенными вероятностями. Функциональную зависимость в таком случае следует считать частным случаем статистической: значению одного фактора соответствуют значения других факторов с вероятностью, равной единице. Однако на практике такое рассмотрение функциональной связи применения не нашло.

    Более важным частным случаем статистической зависимости является корреляционная зависимость, характеризующая взаимосвязь значений одних случайных величин со средним значением других, хотя в каждом отдельном случае любая взаимосвязанная величина может принимать различные значения.

    Если  же у взаимосвязанных величин вариацию имеет только одна переменная, а другая является детерминированной, то такую связь называют не корреляционной, а регрессионной. Например, при анализе скорости обмена с жесткими дисками можно оценивать регрессию этой характеристики на определенные модели, но не следует говорить о корреляции между моделью и скоростью.

    При исследовании зависимости между  одной величиной и такими характеристиками другой, как, например, моменты старших  порядков (а не среднее значение), то эта связь будет называться статистической, а не корреляционной.

    Корреляционная  связь описывает следующие виды зависимостей:

причинную зависимость между значениями параметров, "зависимость" между следствиями  общей причины.

    Корреляционная  зависимость определяется различными параметрами, среди которых наибольшее распространение получили показатели, характеризующие взаимосвязь двух случайных величин (парные показатели): корреляционный момент, коэффициент корреляции.

    Одной из типовых задач обработки статистических данных является определение количественной зависимости показателей качества объекта от значений его параметров и характеристик внешней среды. Примером такой постановки задачи является установление зависимости между временем обработки запросов к базе данных и интенсивностью входного потока. Время обработки зависит от многих факторов, в том числе от размещения искомой информации на внешних носителях, сложности запроса. Следовательно, время обработки конкретного запроса можно считать случайной величиной.

Но вместе с  тем, при увеличении интенсивности потока запросов следует ожидать возрастания его среднего значения, т.е. считать, что время обработки и интенсивность потока запросов связаны корреляционной зависимостью.

 

   

2. Нелинейная  корреляция.

 

1. Нелинейная корреляция  для парного уравнения регрессии.

       Уравнение нелинейной регрессии, как  и в линейной зависимости, дополняется  показателем корреляции, а именно индексом корреляции: 

где     

       Так как 

то индекс корреляции можно выразить как 

       Величина данного показателя находится в границах: 0≤R≤1, чем ближе к единице, тем теснее связь рассматриваемых признаков, тем более надежно найденное уравнение регрессии.

      Если  нелинейное относительно объясняемой  переменной уравнение регрессии  при линеаризации принимает форму  линейного уравнения парной регрессии, то для оценки тесноты связи может быть использован линейный коэффициент корреляции, величина которого в этом случае совпадает с индексом корреляции R_ху= r_уz, где z – преобразованная величина признака-фактора, например, z = 1/x  или  z = ln x.

       Обратимся для примера к равносторонней гиперболе  y = a + b/x. Заменив 1/x на z, имеем линейное уравнение y = a + bx, для которого может быть определен линейный коэффициент корреляции:   r = b× s_z /s_y . Возводя данное выражение в квадрат, получим:

       Преобразовывая далее, придем к следующему выражению для  

                        

      следовательно,

                                   

           Но так как         

 и   , то

                               

           Таким образом, приходим к формуле  индекса корреляции

                          

           Заменив далее z на 1/х, получим , соответственно . Аналогично для других функций подобного вида, в которых образования в линейный вид не затрагивают зависимую переменную, и требование МНК выполнимо.

           Иначе обстоит дело, когда преобразования уравнения в линейную форму связаны с зависимой переменной. В этом случае линейный коэффициент корреляции по преобразованным значениям признаков дает лишь приближенную оценку тесноты связи и численно не совпадает с индексом корреляции.

      Например, степенная функция после перехода к логарифмически линейному уравнению может быть найден линейный коэффициент корреляции не для фактических значений х и у, а для их логарифмов, то есть . Соответственно квадрат его значения будет характеризовать отношение факторной суммы квадратов отклонений к общей, но не для у, а для его логарифмов:

                   

      Между тем при расчете индекса корреляции корреляции используются суммы квадратов отклонений признака у, а не их логарифмов. С этой целью определяются теоретические значения результативного признака, то есть у, как антилогарифм рассчитанной по уравнению величины lny и остаточная сумма квадратов как . Индекс корреляции определяется по формуле

                       

      В знаменателе расчета    участвует сумма квадратов отклонений  фактических значений у от их средней величины, а в расчете    участвует  . Соответственно различаются числители рассматриваемых показателей:

       - в индексе корреляции и   - в коэффициенте корреляции.

      Необходимо  также помнить, что если при линейной зависимости признаков сопряженные регрессии имеют один и тот же коэффициент корреляции, то есть , то при криволинейной зависимости они не равны, то есть    .

      Так как в расчете индекса корреляции используется соотношение факторной и общей суммы квадратов отклонений, то R² имеет тот же смысл, что и коэффициент детерминации. В специальных исследованиях величину R² для нелинейных связей называют индексом детерминации.

      Оценка  существенности индекса корреляции проводится, так же как и оценка надежности коэффициента корреляции. Индекс детерминации используется для проверки существенности в целом уравнения линейной регрессии по F –критерию Фишера:

                        ,

 где  n- число наблюдений, m – число параметров при переменной х. Величина m характеризует число степеней свободы для факторной суммы квадратов, а (n-m-1) – число степеней свободы для остаточной суммы квадратов.

      Индекс  детерминации можно сравнивать с коэффициентом детерминации для обоснования возможности применения линейной функции. Чем больше кривизна линии регрессии, тем величина коэффициента детерминации меньше индекса детерминации . Близость иx означает, что нет необходимости усложнять форму уравнения регрессии и можно использовать линейную функцию. Если , то предположение о линейной форме связи считается оправданным. В противном случае проводится оценка существенности различия и , вычисленных по одним и тем же исходным данным через t-критерий Стьюдента:

       ,  где  - ошибка разности между и .

      

      Если  t_ф > t_т, то различия между рассматриваемыми показателями корреляции существенны и замена нелинейной регрессии уравнением линейной функции невозможна. Если t < 2, то различия несущественны и, следовательно, возможно применение линейной регрессии. 
 

 

3.  Нелинейная корреляции для множественного уравнения регрессии.

      Для криволинейной зависимости, нелинейной по переменным индекс множественной  корреляции равен совокупному коэффициенту корреляции.

      Например, если для фирмы модель прибыли  у имеет вид

      У = a + b₁x₁ + b₂x₂ + b₃lnx₃ + b₄lnx₄

      где  х₁ – удельные расходы на рекламу;

             х₂ – капитал фирмы;

             х₃ – доля продукции фирмы в общем объеме продаж данной группы товаров по региону;

             х₄ – процент увеличения объема продаж фирмы по сравнению с предыдущим годом.    

      Тогда независимо от того, что фактор х₁ задан линейно, а х₂, х₃, х₄ – в логарифмах, оценка тесноты связи может быть произведена с помощью линейного коэффициента множественной корреляции.