Статистическая проверка гипотез

     а) Н₁: М (Х) ≠ М (Y)  – критическая область двусторонняя, z_кр определяется как аргумент функции Лапласа, при котором и критическая область задается неравенством |Z| > z_кр.

     б) Н₁: М (Х) > М (Y) – критическая область правосторонняя, z_кр определяется как аргумент функции Лапласа, при котором и критическая область определяется неравенством Z > z_кр.

     в) Н₁: М (Х) < М (Y) – критическая область левосторонняя, заданная неравенством Z < -z_кр, где z_кр вычисляется так же, как в предыдущем случае.

     2) Имеются две независимые выборки  большого объема, извлеченные из  генеральных совокупностей, законы  распределения и дисперсии которых  неизвестны. При этом для объема  выборки, не меньшего 30, можно  считать, что выборочные средние  распределены приближенно нормально,  а выборочные дисперсии являются  достаточно хорошими оценками  генеральных дисперсий (следовательно,  считаем известными приближенные  значения генеральных дисперсий). Тогда задача сводится к предыдущей, и статистический критерий имеет вид:

                                      

     Наблюдаемое значение критерия вычисляется по формуле

                           

     При этом выбор вида критической области  и определение критических точек  проводятся так же, как в пункте 1.

     3) Генеральные совокупности распределены  нормально, причем их дисперсии  неизвестны, а объем выборок  т и п мал (следовательно, нельзя получить хорошие оценки генеральных дисперсий). Если предположить, что генеральные  дисперсии равны, то в качестве критерия для проверки нулевой гипотезы Н_о: М (Х) = М (Y) служит случайная величина

                        ,

     имеющая при справедливости нулевой гипотезы распределение Стьюдента с k = n + m – 2 степенями свободы.  Наблюдаемое значение критерия вычисляется по формуле

                      .

     Критическая область строится в зависимости  от вида конкурирующей гипотезы.

     а) Н₁: М (Х) ≠ М (Y)  – критическая область двусторонняя, задаваемая неравенством |T| > t_{двуст.кр.}, где t_{двуст.кр.}(α, k) находится из таблицы критических точек распределения Стьюдента.

     б) Н₁: М (Х) > М (Y) – критическая область правосторонняя, определяемая условием T > t_{прав.кр.}. Критическая точка вновь находится по таблице критических точек распределения Стьюдента.

     в) Н₁: М (Х) < М (Y) – критическая область левосторонняя, T < – t_{прав.кр.}. 

3. Сравнение двух вероятностей биномиальных распределений

     Пусть известны результаты двух серий независимых  испытаний: в первой серии проведено  п₁ опытов, и событие А появилось т₁ раз; во второй серии из п₂ опытов событие А появилось т₂ раз. Обозначим неизвестную вероятность появления события А в одном опыте первой серии через р₁, а во второй серии – через р₂. Требуется проверить при уровне значимости α нулевую гипотезу о равенстве этих вероятностей: Н_о: р₁ = р₂.

     В качестве критерия выбирается нормированная  нормально распределенная случайная  величина

                                   .

     Наблюдаемое значение критерия вычисляется по формуле:

                              .

     Построение  критической области:

     а) при конкурирующей гипотезе Н₁: р₁ ≠ р₂ u_кр определяется из равенства , и двусторонняя критическая область задается неравенством |U| > u_кр.

     б) при конкурирующей гипотезе Н₁: р₁ > р₂ u_кр для правосторонней критической области находится из условия , и вид критической области: U > u_кр.

     в) при конкурирующей гипотезе Н_о: р₁ < р₂  левосторонняя критическая область имеет вид U < – u_кр, где u_кр находится по формуле из пункта б). 

4. Проверка  гипотезы о значимости выборочного коэффициента корреляции

     Пусть имеется выборка объема п из нормально распределенной двумерной генеральной совокупности (Х, Y), и по ней найден выборочный коэффициент корреляции r_B ≠ 0. Требуется при заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции:

     H_o: r_Г = 0 при конкурирующей гипотезе Н₁: r_Г ≠ 0. Критерием является случайная величина

                                              ,

     имеющая при справедливости нулевой гипотезы распределение Стьюдента с k = n – 2 степенями свободы. Критическая область при заданном виде конкурирующей гипотезы является двусторонней и задается неравенством |T|> t_кр, где t_кр(α, k) находится по таблице критических точек распределения Стьюдента. 

 

5. Критерий  согласия Пирсона

     Критерием согласия называется критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения.

     Пусть по выборке объема п получено эмпирическое распределение:

 

     С помощью критерия Пирсона можно  проверить гипотезу о различных  законах распределения генеральной  совокупности (равномерном, нормальном, показательном и др.). Для этого в предположении о конкретном виде распределения вычисляются теоретические частоты , и в качестве критерия выбирается случайная величина

                                           ,

     имеющая закон распределения χ² с числом степеней свободы

k = s – 1 – r, где s – число частичных интервалов выборки, r – число параметров предполагаемого распределения. Критическая область выбирается правосторонней, и граница ее при заданном уровне значимости α находится по таблице критических точек распределения χ².

     Теоретические частоты  вычисляются для заданного закона распределения как количества элементов выборки, которые должны были попасть в каждый интервал, если бы случайная величина имела выбранный закон распределения, параметры которого совпадают с их точечными оценками по выборке, а именно:

     а) для проверки гипотезы о нормальном законе распределения 

= п ∙ Р_i, где п – объем выборки, x_i и x_{i + 1} – левая и правая границы i-го интервала, - выборочное среднее, s – исправленное среднее квадратическое отклонение. Поскольку нормальное распределение характеризуется двумя параметрами, число степеней свободы k = n – 3;

     б) для проверки гипотезы о показательном  распределении генеральной совокупности в качестве оценки параметра λ  принимается  . Тогда теоретические частоты = п ∙ Р_i, . Показательное распределение определяется одним параметром, поэтому число степеней свободы k = n – 2;

     в) для проверки гипотезы о равномерном  распределении генеральной совокупности  концы интервала, в котором наблюдались  возможные 

     значения  Х, оцениваются по формулам:

                           

     Тогда плотность вероятности 

     

     Число степеней свободы k = n – 3, так как равномерное распределение оценивается двумя параметрами. 

 

     

     ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

     Пример 1.

     Даны  две независимые выборки объемов  п₁ = 10 и п₂ = 15, извлеченные из генеральных совокупностей Х и Y, распределенных по нормальному закону. Найдены исправленные выборочные дисперсии и Проверим при уровне значимости α = 0,05 нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий при конкурирующей гипотезе H₁:  D (X) > D (Y).

     Решение.

     Найдем  значение Критическая область – правосторонняя. Вычислим наблюдаемое значение критерия:

     Следовательно, нет оснований отвергнуть нулевую  гипотезу. 

     Пример 2.

     Имеются независимые выборки значений нормально  распределенных случайных величин

       Х: 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6     и     Y: 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 7, 8, 9.

     Требуется проверить для уровня значимости α = 0,1 при условии равенства генеральных  дисперсий нулевую гипотезу Н_о: М (Х) = М (Y) при конкурирующей гипотезе Н₁: М (Х) ≠ М (Y).

     Решение.

     Объемы  выборок т = 10, п = 15. Вычислим выборочные средние и исправленные выборочные дисперсии:   Вычислим наблюдаемое значение критерия: Критическая область – двусторонняя, t_{двуст.кр.}(0,1; 23) = 1,71. Итак, |T_набл | < t_{двуст.кр.}, следовательно, нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу – можно считать, что математические ожидания генеральных совокупностей равны.

     Пример 3.

       В серии из 20 независимых испытаний  событие А появилось 8 раз, в серии из 15 испытаний – 7 раз. При уровне значимости α = 0,05 проверяется

     нулевая гипотеза Н_о: р₁ = р₂ при конкурирующей гипотезе Н_о: р₁ < р₂.

     Решение.

     Критическая область – левосторонняя, следовательно, и_кр = 1,645, и критическая область имеет вид U < - 1,645. Вычислим и_набл =   U_набл > – u_кр, следовательно, гипотеза принимается, и можно считать, что вероятность события А в обеих сериях испытаний одинакова. 

     Пример 4.

     По  выборке объема п = 150, извлеченной из нормально распределенной двумерной генеральной совокупности, вычислен выборочный коэффициент корреляции r_B = - 0,37. Проверим при уровне значимости α = 0,01 нулевую гипотезу H_o: r_Г = 0 о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции при конкурирующей гипотезе

     Н₁ : r_Г ≠ 0.

     Решение.

     Критическая точка t_кр(0,01; 150) = 2,58. Вычислим наблюдаемое значение критерия: Поскольку |T_набл | > t_кр, нулевая гипотеза отвергается, то есть Х и Y коррелированы.  

     Пример 5.

     Для выборки, интервальный статистический ряд которой имеет вид