Статистическое изучение взаимосвязей

 

Сравнив средние  значения результирующего признака по группам можно также сделать  вывод, что рост средней занятости  рабочего места влечет за собой снижение величины межоперационных перерывов, т.е. можно сказать имеет место  обратная корреляционная связь.

Если бы связи  между факторными и результативными  признакам не было, то все групповые  средние были бы приблизительно одинаковы  по величине. Оценка существенности расхождения  групповых средних лежит в  основе использования метода дисперсионного анализа для выявления наличия  и оценки связи.

Для предварительного выявления связи и раскрытия  ее характера применяют графический  метод. Используя данные таблицы 1 построить  точечный график, который называют поле корреляции.

Нанеся данные таблицы 3 и соединяя последовательно  отрезками прямых соответствующих  им точек, получим эмпирическую линию  связи.

Если эмпирическая линия приближается к прямой, - предполагают наличие прямолинейной корреляционной связи, если к какой либо кривой, то это может быть связано с  наличием криволинейной корреляционной связи.

3. Измерение степени  тесноты корреляционной  связи между двумя  признаками 

Показатели тесноты  связи дают возможность охарактеризовать степень зависимости вариации результативного  признака от вариации признака - фактора.

Зная показатели тесноты корреляционной связи можно  ответить на следующие группы вопросов.

1. о необходимости  изучения данной связи между  признаками и целесообразности  ее практического применения;

2. о степени  различий тесноты связи в ее  проявлении для конкретных условий;

3. сопоставляя  показатели тесноты связи результативного  признака с различными факторами,  можно выявить те факторы, которые  в данных конкретных условиях  являются решающими.

К простейшим показателям  тесноты связи относится коэффициент  корреляции знаков (коэффициент Г. Фехнера), основанный на оценке степени согласованности  направлений отклонений индивидуальных значений факторного и результативного  признаков от соответствующей средней.

Если обозначить - число совпадений знаков отклонений индивидуальных величин от средней, - число несовпадений, тогда коэффициент Фехнера будет иметь вид: 

 

Если знаки  всех отклонений совпадут то и - свидетельствует о наличие прямой связи, если все знаки не совпадают, тогда и - наличие обратной связи.

Рассмотрим расчет на примере  

 

 

Получаем:  

= 4, = 16,  

Тогда 

,  

что свидетельствует  от наличии

обратной зависимости.

При малом объеме исходной информации коэффициент Фехнера  отвечает также на вопрос о наличии  связи.

Более современным  показателем степени тесноты  связи является линейный коэффициент  корреляции r.

При расчете  этого показателя учитывается не только знаки отклонений индивидуальных значений от средней, но и сами величины таких отклонений, т.е. . Однако непосредственно сопоставить полученные абсолютные величины нельзя, т.к они обычно выражаются в разных единицах. Поэтому сравнению могут подлежать отклонения выраженные в относительных величинах, обычно в долях среднего квадратичного отклонения (нормируемые отклонения).

Так для факторного признака эта величина будет равна  , а для результативного ;

Для того, чтобы  на основе сопоставления рассчитанных нормируемых отклонений получить обобщающую характеристику степени тесноты  связи между признаками рассчитывают среднее произведение нормированных  отклонений. Полученная таким образом  средняя и является линейным коэффициентом  корреляции r 

; 

преобразовав  формулу: 

; 

Далее 

. 

Линейный коэффициент  принимает значения от - 1 до +1.

Чем ближе коэффициент r по абсолютной величине к 1, тем теснее корреляционная связь. Положительный  знак r указывает на прямо пропорциональную зависимость, а отрицательный на обратно. пропорциональную зависимость.

Для примера  рассчитаем r 

 

Полученная величина свидетельствует о достаточно тесной взаимосвязи между рассматриваемыми признаками.

Квадрат линейного  коэффициента называется коэффициентом детерминации. Для примера Это означает, что вариации времени межоперационных перерывов объясняется вариацией средней занятости рабочего места выполненной одной операцией.

При исследовании степени тесноты связи между  качественными признаками, каждый из которых представлен в виде альтернативного  признака, используют коэффициент ассоциации. Например, нужно оценить влияют ли существующие формы повышения квалификации бухгалтеров на уровень их профессионального  мастерства. Располагая данными о  результатах аттестации экспертами 320 бухгалтеров, из которых 240 повысили квалификацию, составляем следующую  таблицу.  

 

Построенная в  такой форме таблица носит  название таблицы “четырех полей", частоты которых обозначим соответственно а, b, c, d/

Коэффициент ассоциации определяем по формуле 

. 

В проводимом примере  этот коэффициент равен 

 

Таким образом, по данным обследования вряд ли можно  сделать о существенном повышении  профессионального мастерства по одной  из принятых форм (стажировка, курсы, факультативы, творческий отпуск и т.д.). 

4. Уравнение регрессии  и способы его  расчета 

Изучение корреляционных зависимостей основывается на исследовании таких связей между переменными, при которых значения одной переменной изменяются в зависимости от того, какие значения принимает другая переменная, рассматриваемая как  причина по отношению к зависимой  переменной.

Определяя средние  значения результативного признака для данной группы значений признака отчасти элиминируется влияние  случайностей. Вычисляя параметры теоретической  линии связи, производится их дальнейшее элиминирование и результатом является однозначное изменение Y с изменением фактора Х.

Теоретической линией регрессии называется та линия, вокруг которой группируется точки  корреляционного поля и которая  указывает основное направление, основную тенденцию связи.

Эта линия должна быть проведена так, что бы сумма  отклонений точек поля корреляции от соответствующей теоретической  линии регрессии равнялась нулю, а сумма квадратов этих отклонений была бы минимальной величиной.

Важным этапом регрессионного анализа является определение  типа функции, с помощью которой  характеризуется зависимость между  признаками. Наиболее часто для характеристики связей экономических явлений используют следующие типы функций: 

линейную  ;

гиперболическую ;

параболическую  ;

степенную  

В рассматриваемом  примере линии регрессии больше всего приближается к прямой и  следовательно, теоретическая линия  регрессии может быть представлена уравнением прямой 

; 

Для нахождения параметров а и b уравнения регрессии  используем метод наименьших квадратов.

Критерий методов  наименьших квадратов можно записать таким образом 

т.к  , то

 

После преобразований с используем производных получим  систему уравнений способа наименьших квадратов для определения параметров а и b уравнения линейной корреляционной связи. 

 

Используя данные таблиц 3 и 4 можно записать систему  уравнений 

 

Параметр b в  уравнении называют коэффициентом  регрессии. При наличии прямой корреляционной зависимости коэффициент регрессии  имеет положительное значение, а  в случае обратной - коэффициент  регрессии отрицательный.

Коэффициент регрессии  показывает, насколько в среднем  изменится величина результативного  признака Y при изменении факторного признака Х на единицу.

Зная линейный коэффициент корреляции можно определить коэффициент регрессии b по следующей  формуле 

, 

где , - средне квадратичное отклонение результативного и факторного признаков.

Наличие этого  соотношения дает возможность производить  вычисление коэффициента корреляции и  параметров уравнения линейной регрессии  одновременно.

Расчет показателей  по не сгруппированным данным приводит к следующим результатам 

= 0,0386, = 0,3461, r = - 0,812

тогда

и  

и уравнение  линейной регрессии примет вид: