Статистическое распределение

 

Содержание

 

Введение    ...................................................................... 2 стр 

 

Получение распределения  случайной величины и его описание.......3-4стр

 

Дескриптивная (описательная) статистика.........................................5-7 стр

 

Заключение............................................................................................7-8 стр

 

Список использованной литературы..........................................................8стр

 

 

 

     

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Статистическим (эмпирическим) законом распределения  выборки, или просто статистическим распределением выборки называют последовательность вариант х_i и соответствующих им частот n_i или относительных частот w_i.

 

1. Статистическое  дискретное распределение. Полигон.  
Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем х₁ наблюдалось n₁ раз, х₂ – n₂ раз, х_k– n_k раз и ∑n_i=n - объем выборки. Наблюдаемые значения х₁ называют вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке – вариационным рядом. Число наблюдений варианты называют частотой, а ее отношение к объему выборки - относительной частотой n_i/n=w_i

 

Статистическое  распределение выборки удобно представлять в форме таблицы распределения  частот, называемой статистическим дискретным рядом распределения:

x1	x2	...	xm
n1	n2	...	nm

(сумма всех частот  равна объему выборки ∑n_i=n)  
или в виде таблицы распределения относительных частот:

x1	x2	...	xm
w1	w2	...	wm

(сумма всех относительных  частот равна единице ∑w_i=1)

Пример 1. При измерениях в однородных группах обследуемых  получены следующие выборки: 71, 72, 74, 70, 70, 72, 71, 74, 71, 72, 71, 73, 72, 72, 72, 74, 72, 73, 72, 74 (частота  пульса). Составить по этим результатам  статистический ряд распределения  частот и относительных частот.

 

 

 

Получение распределения  случайной величины и его описание

Основным типом погрешностей, изучению которых посвящено последующее  изложение, являются случайные погрешности. Они поддаются строгому математическому  описанию, что позволяет делать выводы о качестве измерений, в которых  они присутствуют. Погрешности других типов более сложны для анализа, их выявляют и анализируют только в условиях конкретного эксперимента. Чтобы знать, как надлежит работать со случайными погрешностями, прежде всего  рассмотрим приемы статистического  описания случайных величин.

 

Рассмотрение начнем с  предполагаемого эксперимента, в  котором выполняют многократные прямые измерения какой-то случайной  физической величины, проводимые без  изменения условий эксперимента. Закономерности в поведении величины видны из гистограммы. Гистограмма – ступенчатая диаграмма, показывающая как часто при измерениях появляются результаты, попадающие в тот или иной интервал Dx между наименьшим x_min и наибольшим x_max из измеренных значений величины x. Гистограмму строят в следующих координатах: по оси абсцисс откладывают измеряемую величину x, по оси ординат – Dn/nDx (рис.3.1). Здесь n – полное количество проведенных измерений, Dn – количество результатов, попавших в интервал [x, x+Dx] . 

 

 
Рис.3.1. Гистограмма.

ри очень большом количестве измерений (n ) весь диапазон изменения величины x можно разбить на бесконечно малые интервалы dx , как это делается в математике, и найти количество результатов dn в каждом из них. В этом случае гистограмма превратится в плавную кривую – график функции

. (3.1)

Такую функцию называют плотностью вероятности, или распределением вероятности, иногда – просто распределением величины x. Примеры конкретных распределений можно найти на рис.3.2.

Распределение выступает  в роли исчерпывающей характеристики случайной величины. Закон распределения  можно задать в виде функционального  выражения, графика, таблицы или  каким-то другим способом. При любом  варианте задания устанавливается  связь между вероятностью того, что  результат однократного измерения  случайной величины попадет в  заданный интервал возможных значений, и шириной этого интервала.

Распределение содержит наиболее полную информацию о случайной величине, однако пользоваться им не всегда удобно. Оперируя результатами проведенного эксперимента, вместо функции распределения лучше  иметь привычные числовые величины – ими являются среднее значение и дисперсия.

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем наблюдалось n_t раз, х₂ - п₂ раз,  раз и  - объем выборки. Наблюдаемые значения  - называют вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке,— вариационным рядом. Числа наблюдений называют частотами, а их отношения к объему выборки  — относительными частотами.

Статистическим  распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот. Статистическое распределение можно задать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот (в качестве частоты, соответствующей интервалу, принимают сумму частот, попавших в этот интервал).

Заметим, что  в теории вероятностей под распределением понимают соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, а в математической статистике — соответствие между наблюдаемыми вариантами и их частотами, или относительными частотами.

Пример. Задано распределение  частот выборки объема я = 20:     

2     6     12     

3      10      7    

Написать распределение  относительных частот.

Решение. Найдем относительные частоты, для чего разделим частоты на объем выборки:

=3/20 = 0,15,  W₂= 10/20 = 0,50, W₃ = 7/20 = 0,35.

Напишем распределение относительных  частот:  

x_i     2         6           12

W_i     0,15     0,50     0,35

Контроль: 0,15+0,50+ 0,35= 1.

 

 

 

 

 

 

                       Дескриптивная (описательная) статистика

 

Дескриптивная (описательная) статистика – это различные статистические показатели, описывающие распределение данных, в нашем случае – нормальное распределение.

Характерное свойство нормального  распределения состоит в том, что 68% всех его наблюдений лежат  в диапазоне  ±1 стандартное отклонение от среднего арифметического, а диапазон  ±2 стандартных отклонения содержит 95% значений. Среднее арифметическое и стандартное отклонение являются основными параметрами нормального распределения.

Среднее арифметическое является мерой центральной тенденции, отображающей наиболее характерное для данной выборки значение.

Формула для расчёта:

 , где n – количество результатов

Чтобы показать обманчивость этого показателя, приведём известный  пример: в одном купе вагона поместилась  бабушка 60 лет с четырьмя внуками: один – 4 года, двое – по 5 лет и  один – 6 лет. Среднее арифметическое возраста всех пассажиров этого купе 80/5 = 16. В другом купе расположилась  компания молодежи: двое – 15-ти летних, один – 16-летний и двое – 17-летних. Средний  возраст пассажиров этого купе так  же равен 80/5 = 16. Таким образом, по средним  арифметическим пассажиры этих купе не отличаются. Но если обратиться к  показателю стандартного отклонения то окажется, что средний разброс  относительно среднего возраста в первом случае окажется 24,6, а во втором случае 1.

Мода (обозначается «Мо») – это значение, наиболее часто встречающееся в ряду переменных. Часто применяется для непараметрических данных и для ранговых шкал.

Медиана (обозначается «Ме») – значение, которое делит пополам упорядоченное множество переменных. Порядковый номер числа, которое является медианой в упорядоченном ряду данных вычисляется по формуле:

При большом количестве измерений (больше 100), значения среднего, моды и  медианы приближаются друг к другу. В идеальном нормальном распределении  они равны, т. к. имеют одинаковый смысл: середина распределения.

Размах распределения  – показатель, указывающий на ширину диапазона значений.

Размах = максимальное значение - минимальное значение

Стандартное отклонение (σ, читается «сигма») – мера изменчивости (вариации) признака, отражающая его разброс относительно среднего арифметического.

 

Для более наглядного представления  о вариации признака используется коэфициент вариации:

 %.

Коэфициент вариации выражает меру изменчивости признака в процентах.

Ассиметрия – показатель, отражающий перекос распределения относительно среднего арифметического влево или вправо. В тех случаях, когда какие-нибудь причины благоприятствуют более частому появлению значений, которые выше или, наоборот, ниже среднего, образуются асимметричные распределения. При левосторонней, или положительной, асимметрии в распределении чаще встречаются более низкие значения признака, а при правосторонней, или отрицательной - более высокие.

Сильная ассиметрия встречается в специфических выборках. Если мы возьмем учеников-отличников и измеряем IQ, то вероятно получим распределение, скошенное вправо (в сторону высоких баллов). Так же, изучая экстраверсию менеджеров, мы скорее всего получим скошенное распределение в сторону сильной экстраверсии, т. к. большая часть менеджеров общительные люди.

Эксцесс – показатель, отражающий высоту распределения. В тех случаях, когда какие-либо причины способствуют преимущественному появлению средних или близких к средним значений, образуется распределение с положительным эксцессом. Если же в распределении преобладают крайние значения, причем одновременно и более низкие, и более высокие, то такое распределение характеризуется отрицательным эксцессом и в центре распределения может образоваться впадина, превращающая его в двувершинное.

Заключение

 

Итак, статистические ряды распределения  представляют собой один из наиболее важных элементов статистического  исследования.

Статистические  ряды  распределения  являются базисным методом  для  любого  статистического  анализа.

Статистический ряд распределения  представляет собой упорядоченное  распределение единиц изучаемой  совокупности на группы по определенному  варьирующему признаку, характеризует  структуру изучаемого явления. Анализируя рассчитанные показатели статистического  ряда распределения, можно делать выводы об однородности или неоднородности совокупности, закономерности распределения  и границах варьирования единиц совокупности. Изучив основные приемы исследования и практики применения рядов распределения, а также методику вычисления наиболее важных статистических величин, необходимо отметить, что конечная цель изучения статистики в целом - анализ изучаемого явления - крайне важен для всех сфер человеческой жизни. Анализ отображает явления в целом и вместе с  этим учитывает влияние каждого  фактора в отдельности. На основании  проведенного анализа можно учитывать и  прогнозировать факторы, негативно влияющие на развитие событий.

Социально-экономическая  статистика обеспечивает предоставление  важной цифровой информации об уровне и возможностях развития страны: ее экономическом положении, уровне жизни  населения, его составе и численности, рентабельности предприятий, динамике  безработице и т.д. Статистическая информация является одним из решающих ориентиров государственной экономической  политики.

Статистические  методы используют комплексно (системно).  Выделяют три  основные стадии экономико-статистического  исследования: сбор первичной статистической информации, статистическая сводка и  обработка первичной информации, обобщение и интепретация статистической информации.

Качество, достоверность  статистической информации определяют эффективность использования статистики на любом уровне и в любой сфере.

 

Список использованной литературы.

 

1.Теория статистики: Учебник под  редакцией профессора Шамойловой Р.А. -М.: «Финансы и статистика» 1998г

2.Ефимова М.Р., Петрова Е.В., Румянцев  В.Н. Общая теория статистики: Учебник. - М.: «Инфра-М» 1998г.

3. Ряузов Н.Н. Общая теория статистики: Учебник для вузов.-М.: Финансы и статистика, 1984