Аналіз типової системи автоматичного регулювання температури в печі

                                 /5.2/

                                /5.3/

 

Таблиця значень для побудови годографа АФЧХ:

Таблиця 2

ω	P(ω)	Q(ω)
0	5.928	0
0,1	5.947047	-1,55614
0,2	5.997669	-3,2412
0,3	6.056617	-5,19229
0,4	6.071863	-7,55023
0,5	5.941576	-10,4144
0,6	5.495504	-13,7037
0,7	4.530912	-16,9004
0,8	2.989585	-18,9332
0,9	1.180166	-18,8096
1	-0.36704	-16,669
1,1	-1.35395	-13,6282
1,2	-1.82986	-10,686
1,3	-1.97618	-8,26568
1,4	-1.94738	-6,40824
1,5	-1.83831	-5,01715
1,6	-1,69951	-3,97811
1,7	-1.55584	-3,19623
1,8	-1.41864	-2,60088
1,9	-1.29247	-2,1415
2	-1.1786	-1,78227
2,1	-1.07677	-1,49771
2,2	-0.98608	-1,2696
2,3	-0.90538	-1,08469
2,4	-0.83351	-0,93326
2,5	-0.7694	-0,8081
2,6	-0.71208	-0,70376
2,7	-0.66069	-0,61609
2,8	-0.61448	-0,5419
2,9	-0.57282	-0,4787
3	-0.53515	-0,42454
3,1	-0,50099	-0,37785
3,2	-0.46993	-0,33741
3,3	-0.44161	-0,3022
3,4	-0,41573	-0,27141
3,5	-0.39201	-0,24438
3,6	-0.37024	-0,22055
3,7	-0.35019	-0,19946
3,8	-0.33171	-0,18075
3,9	-0.31462	-0,16408
4	-0.2988	-0,14919
4,1	-0.28412	-0,13585
4,2	-0.27047	-0,12387
4,3	-0.25777	-0,11309
4,4	-0.24592	-0,10336
4,5	-0.23486	-0,09455
4,6	-0.22451	-0,08657
4,7	-0.21482	-0,07932
4,8	-0.20572	-0,07272
4,9	-0.19718	-0,06671
5	-0.18915	-0,06122
5,1	-0.18159	-0,05619
5,2	-0.17446	-0,05159
5,3	-0.16773	-0,04737
5,4	-0.16138	-0,04349
5,5	-0.15537	-0,03992
5,6	-0.14967	-0,03664
5,7	-0.14428	-0,0336
5,8	-0.13917	-0,0308
5,9	-0.13431	-0,02822
6	-0.12969	-0,02582
6,1	-0.12531	-0,02361
6,2	-0.12113	-0,02155
6,3	-0.11715	-0,01964
6,4	-0.11336	-0,01787
6,5	-0.10974	-0,01623
50	-0.00051	0,000896
100		0,000143

 

Рис. 5. Годограф амплітудно-фазочастотної характеристики розімкнутої САР.

 

Запаси стійкості визначимо, виходячи з критерію стійкості Найквіста.  Для визначення запасу стійкості  за амплітудою знайдемо частоту, яка  відповідає точці перетину годографа  АФЧХ з від'ємною дійсною піввіссю (з умови Q ( ) =0):

                               /5.4/

Корені рівняння ω=0; 8.278; - 8.278.

Задовольняє умови лише корінь ω=8.278.

Для даної частоти P(8.278) =-0,0676.

Запас стійкості  по амплітуді А_зап= 1-0,0676=0.9324                                  /5.5/

Для визначення запасу стійкості  за фазою знайдемо критичну частоту  ω_кр, при якій А (ω) =1:

;

;

;

;

;

Коренями рівняння є:

  - 1.0e+002 ×

 

  -0.0000 + 1.3436i

  -0.0000 - 1.3436i

   0.0000 + 0.0686i

   0.0000 - 0.0686i

   0.0230         

  -0.0222         

  -0.0014 + 0.0177i

  -0.0014 - 0.0177i

   0.0057 + 0.0100i

   0.0057 - 0.0100i

  -0.0093         

Серед коренів даного рівняння нас задовольняє лише дійсний  додатній корінь, тому ω_кр=  2.3 , а отже:

P (ω_кр) =Р (2.3) =-0,90538;

Q(ω_кр)=Q(2.3)= -1,08469

Тоді запас стійкості  по фазі становить:

             /5.6/

Рис.6. Графічна ілюстрація запасів стійкості.

_{6. Розрахувати та побудувати перехідну характеристику системи автоматичного регулювання за каналом задаючої дії при нульових початкових умовах}

 

Аналітичні методи побудови перехідних характеристик ґрунтуються  на розв’язуванні диференціальних  рівнянь системи. Найбільш поширеним  методом є операторний метод  з використанням теореми розкладання.

Зображення вихідної регульованої величини

Оскільки перехідна характеристика є реакцією системи на одиничний  ступінчастий вхідний сигнал, зображення за Лапласом якого  ,

То:

           /6.1/

Отже, зображення перехідної функції має вигляд: .

Знайдемо корені характеристичного  рівняння замкненої системи :

D(p)= 0:

;                            /6.2/

p₁=-25.2743;

p₂=-1.2120 + 2.4047i;

p₃=-1.2120 - 2.4047i .

У загальному випадку, згідно теореми розкладу, вираз для перехідної характеристики має вигляд :

                            /6.3/

Враховуючи, що при підстановці  пари комплексних коренів у вираз /6.3/ значення дробів матиме вигляд:

                                         /6.4/

В результаті сума доданків, що відповідають парі комплексно-спряжених  коренів може бути зведена, з врахуванням  формули Ейлера, до одного виразу:

          /6.5/

Тоді вираз перехідної функції матиме вигляд:

                    /6.6/

де  - дійсний корінь характеристичного рівняння /6.2/; - похідна від полінома знаменника передаточної функції; і - відповідно дійсна та уявної частини пари комплексних чисел , , α і ω - відповідно дійсна та уявна частини пари комплексно-спряжених коренів p₂, p_3.

M (p) =5.928;

D (p) = ;

;

Підрахуємо:

                                         /6.7/

 

;                        /6.8/

 

Просумувавши окремі доданки  отримаємо вираз для перехідної функції:

 

Маючи вираз для перехідної функції системи будуємо перехідну  характеристику: 

Таблиця 3

t	h(t)розрах
0	0,004359539
0,202	0,075976053
0,505	0,421979578
0,808	0,781608724
1	0,933171995
1,212	1,016576219
1,515	1,015034113
1,717	0,970176475
2,02	0,891760436
2,32	0,838532651
2,52	0,822973364
2,727	0,820913607
3,03	0,832912874
3,23	0,843796511
3,53	0,856873173
3,737	0,861738093
4,04	0,863178953
4,24	0,861747874
4,54	0,858466577
4,747	0,856480479
5,05	0,854802231
5,25	0,854498002
5,55	0,854827264
5,757	0,855290226
6,06	0,855912238
6,26	0,856171284
6,56	0,856308466
6,7676	0,85627401
7,07	0,856142583
7,27	0,856053646
7,57	0,855964157
7,78	0,855939216
8,08	0,855944159

 

Рис.7. Перехідна характеристика системи за каналом завдання

 

_{7.Побудова перехідної характеристики системи автоматичного регулювання за каналом задаючої дії за допомогою комп’ютерної програми SIAM}

 

Рисунок 8. Схема моделювання перехідних процесів системи автоматичного регулювання температури в печі у програмі SIAM.

 

 Для моделювання перехідних  процесів у системі автоматичного  регулювання була побудована схема (рис. 8), у якій задані наступні параметри:

K(3)=0,6, K(4)=8, К(5)=0.325, K(6)=1,6, Т(6)=2,1.

Перехід від форми запису передаточної функції коливної ланки  у виді

 до

здійснюють за формулами:

.

Для проведення моделювання  виберемо метод моделювання та встановимо наступні параметри :

Метод моделювання: Фельберга.

Похибка: 0,01.

Початкове значення часу: 0.

Кінцеве значення часу: 10.

Результати моделювання в СИАМ показані на рис. 9.

 

Рисунок 9. Перехідна характеристика, отримана в результаті моделювання в програмі SIAM.

 

Іншою комп’ютерною програмою, що дозволяє змоделювати перехідний процес в системі автоматичного  регулювання, є система MATLAB, а саме пакет розширення Simulink.

Складена в Simulink модель показана на рис. 10:

Рис. 10. Схема моделі системи  за каналом завдання у програмі Simulink.

 

В результаті моделювання  отримали перехідну характеристику, зображену на рис. 11.:

Рис. 11. Перехідна  характеристика за каналом завдання-вихід, побудована в Simulink.

 

Порівнявши отримані за допомогою  моделювання результати із розрахованими  знайдемо відносну похибку.

 

 

Таблиця 4

t	h(t)розрах	h(t)siam	δ,%
0	0,004359539	0	0
0,202	0,075976053	0,074196	2,342651
0,505	0,421979578	0,422561	-0,13778
0,808	0,781608724	0,782822	-0,15523
1	0,933171995	0,940084	-0,7407
1,212	1,016576219	1,01723	-0,06431
1,515	1,015034113	1,01508	-0,00452
1,717	0,970176475	0,969918	0,026642
2,02	0,891760436	0,891262	0,055893
2,32	0,838532651	0,837639	0,106573
2,52	0,822973364	0,82226	0,086681
2,727	0,820913607	0,820448	0,056718
3,03	0,832912874	0,832522	0,046929
3,23	0,843796511	0,843548	0,029452
3,53	0,856873173	0,856712	0,018809
3,737	0,861738093	0,861425	0,036333
4,04	0,863178953	0,862864	0,036488
4,24	0,861747874	0,861407	0,039556
4,54	0,858466577	0,858081	0,044915
4,747	0,856480479	0,856142	0,03952
5,05	0,854802231	0,854456	0,040504
5,25	0,854498002	0,85415	0,040726
5,55	0,854827264	0,854491	0,039337
5,757	0,855290226	0,854944	0,040481
6,06	0,855912238	0,855568	0,040219
6,26	0,856171284	0,855831	0,039745
6,56	0,856308466	0,855968	0,03976
6,7676	0,85627401	0,855934	0,039708
7,07	0,856142583	0,855802	0,039781
7,27	0,856053646	0,855712	0,039909
7,57	0,855964157	0,855621	0,04009
7,78	0,855939216	0,855598	0,039864
8,08	0,855944159	0,855602	0,039974

 

Відносна похибка не перевищує 2,34%, що свідчить про правильність обрахунку  перехідної характеристики за теоремою розкладу і за допомогою програми SIAM.

 

 

_{8. Оцінка якості регулювання}

Якість регулювання оцінюють за допомогою прямих показників якості, котрі визначаються за побудованою  перехідною характеристикою досліджуваної  системи.

Рисунок 12. Графічна ілюстрація прямих показників якості регулювання

 

Прямі показники  якості системи:

t_р =2.9 с - час регулювання;

t_пу=0,975 с - час першого досягнення рівня усталеного режиму;

t_м=1.45 с - час першого максимуму;

h_уст= 0,86 - усталене значення вихідної регульованої величини;

 δ_уст=1- 0,86=0,14 - усталена похибка;

h_max= 1,05 - максимальне значення регульованої величини;

- перерегулювання;

T₀=4-1,45=2.55 c - період коливань;

A₁=0,23;

A₂=0,005;

 – коливальність;

Кількість коливань на протязі  часу регулювання: N=1.

 

_{9. Шляхом моделювання процесів на ЕОМ побудувати перехідну характеристику системи за каналом збурюючої дії}

При побудові перехідної характеристики за каналом збурюючої дії приймають  задаючий сигнал =0. Тоді структурну схему системи автоматичного регулювання температури в печі можна предаставити як:

Рисунок 13. Структурна схема системи автоматичного регулювання температури в печі за каналом збурюючої дії.

 

Для побудови перехідної характеристики за каналом збурення-вихід у Simulink побудована наступна модель:

Рисунок 14. Схема моделі системи за каналом збурення-вихід у програмі Simulink

 

Перехідна характеристика моделі:

Рисунок 15. Перехідна характеристика системи за каналом збурюючої дії 

_{10. Розрахунок інтегральної квадратичної оцінки якості системи та визначення оптимального коефіцієнта підсилення регулятора}

Запишемо  передаточну функцію замкнутої  системи:

                                  /10.1/

Знайдемо зображення динамічної похибки замкнутої системи:

                                                                                       

Випишемо коефіцієнти  чисельника і знаменника виразу динамічної похибки:

 

 

 

 

 

 

 

За допомогою знайдених  коефіцієнтів обчислимо квадратичну  оцінку якості:

                          /10.2/

Знайдемо  оптимальне значення коефіцієнта підсилення k_п, прийнявши його за невідомий. Тоді передаточна функція замкнутої системи матиме вигляд: