Фильтрация нефти и газа в трещиноватых породах. Закон Буссинеска

ign:justify">Выведем дифференциальные уравнения движения жидкости и газа в деформируемой трещиновато-пористой среде, считая, что в каждой точке имеются два давления (p1 - в системе трещины, р2 - в пористых блоках) и две скорости фильтрации – w1 и w2 соответственно. Перетоки между средами определяются формулами (9) или (10). При составлении дифференциальных уравнений записывают два уравнения неразрывности - одно для фильтрации в трещинах (среда 1), другое для фильтрации в пористых блоках (среда 2).

                                          (11)

где - плотность жидкости или газа при давлении р1.

Для фильтрации в пористых блоках уравнение неразрывности при­нимает вид:

                            (12)

где  - плотность жидкости или газа при давлении р2.

Для чисто трещиноватого пласта q = 0 и остается только уравнение (11), так как в блоках не содержится жидкости.

Введем функции Лейбензона для системы трещин P1   и для пористых

блоков P2  :

Будем считать, что выполняется линейный закон Дарси. Выразим дифференциальные уравнения движения через функции Лейбензона:

Подставив выражения (15) и (16), а также (9) для упругой жидкости или (12.10) для газа в уравнения неразрывности (11) и (12), получим систему уравнений неустановившейся фильтрации любого однородного флюида в трещиновато-пористой среде в общем виде:

где f(p) = 0р - для упругой жидкости; f(p) =0p2/(2P0) - для газа.

Для получения единственного решения при интегрировании этой системы дифференциальных уравнений в частных производных относи­тельно давлений р1 и p2 к ней необходимо добавить начальные и гранич­ные условия.

 

 

 

 

 

 

 

3 УСТАНОВИВШАЯСЯ ОДНОМЕРНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ЖИДКОСТИ И ГАЗА В ТРЕЩИНОВАТОМ И ТРЕЩИНОВАТО-ПОРИСТОМ ПЛАСТЕ

      Рассмотрим установившуюся фильтрацию жидкости и газа в дефор­мируемом чисто трещиноватом пласте, в котором проницаемость изме­няется в зависимости от давления по одному из законов-(6)-(8). В этом случае правая часть уравнения (17) обращается в нуль и дифференциаль-ное уравнение сводится к уравнению Лапласа:

   (d2 p1/d x2 )+ (d2 p1/d y2) + (d2 p1/d z2) = 0                                                                                     (19)

Рассмотрим фильтрацию несжимаемой жидкости (р0 = const) с по­стоянной вязкостью ( = const). Найдем выражение функции Лейбензона (13) для экспоненциальной зависимости проницаемости от дав­ления (7):

                                                                                    (20)                           

и выведем формулы дебита и распределения давления для плоскоради­альной фильтрации несжимаемой жидкости в круговом пласте к скважи­не. Дебит определится по формуле  в которой

                                                              (21)

при этом если принять что р0=рк то

                                                                                                       (22)

а объемный дебет выразится формулой:

                                                                                                            (23)

Индикаторная диаграмма, описываемая формулой (22), криволи­нейна, причем для добывающих скважин она имеет выпуклость к оси дебитов (рис. 3, кривая 1), а для нагнетательных (рc>pk) – к оси депрессий (кривая 2).

 

 

 

 

Рис. 3- Индикаторная линия для добывающей (1) и нагнетательной (2) скважин в деформируе­мом трещиноватом пласте.

Подставив в формулу выражения функции Лейбензона (19) и (20),получим:

В случае, если p0 =pk

И распределение давления определяется формулой:

                                                        (23)

В деформируемом трещиноватом пласте за счет уменьшения раскрытия трещин при снижении пластового давле­ния сопротивления увеличиваются и давление падает более резко, чем в недеформируемом пласте.

Качественные особенности, характеризующие соотношения (22) и (23), имеют место также и для зависимостей проницаемости от давления, выраженных формулами (6) и (8).Большое практическое значение имеет определение параметров тре­щиноватого пласта-проницаемости k1 и коэффициента .

 

 

 

 

 

Рисунок 4-Индикаторная линия в трещиноватом пласте (к определению параметров трещинова­того пласта)

      А. Т. Горбуновым и В. Н. Николаевским предложен метод обработки индикаторных диаграмм, выпуклых к оси дебитов, для добывающих скважин, вскрывающих трещиноватые пласты. Рассмотрим этот метод применительно к формуле (22). На индикаторной диаграмме (рис.4) определяются две площади: - между кривой о Q(p) и осью ординат (заштрихована на рис. 4) и f2 = Qi i, - площадь прямоугольника для соответствующей точки индикаторной линии. От­ношение этих площадей zтеор=f1/f2 подсчитывается теоретически с ис­пользованием формулы (22) и оказывается, что z зависит только от одной безразмерной величины p:

                                                                                    (24)

     Задаются различные значения p, и по формуле (24) подсчиты­ваются соответствующие значения z, которые заносятся в таблицу. Кроме того, отношение z=f1/f2 определяется по фактической индика­торной диаграмме (площадь подсчитывается численно, например, по формуле трапеций) для разных точек индикаторной линии; затем для найденного значения z по таблице определяется  произведение   p и так как фактические перепады рi, известны, то можно найти . Находят значение  для нескольких перепадов рi, и берут среднее. Из формулы для дебита (22), зная , можно найти коэффициент гидропроводности и затем проницаемость , если известны толщина пласта h и вяз­кость жидкости |. Проведенная обработка индикаторных кривых на различных место­рождениях показала, что коэффициент  принимает значения  =(0,1-20) 10-17 Па-1. Следует иметь в виду, что искривление индикаторных линий с ростом депрессии может быть вызвано не только зависимостью проницаемости от давления, но и другими причинами (отклонением от закона Дарси, наличием начального градиента давления в пласте, изменением рабо­тающей толщины пласта и т.д.), так что при расшифровке их надо учитывать возможное влияние и других факторов.

В трещиновато-пористом пласте дебит скважины складывается из дебита жидкости, притекающей из трещин, и из дебита жидкости, поступающей из пористых блоков. Например, в случае выполнения соотношения (12.7) формула суммарного дебита добывающей скважины принимает вид:

                            (25)

где принято, что k2 = const. Однако обычно проницаемость пористых блоков k2 много меньше, чем проницаемость трещин , поэтому основной вклад составляет приток жидкости из трещин и отбрасывание первого слагаемого не даст большой погрешности при определении дебита.

Рассмотрим установившуюся изотермическую фильтрацию идеаль­ного газа в чисто трещиноватом деформируемом пласте, в котором зависимость коэффициента проницаемости от давления линейная (8). Эта зависимость представляется естественной для газа, так как при фильтрации газа перепады давления обычно малы. В этом случае функция Лейбензона (13) получает следующее выражение (здесь принято p0 = рk):

              (26)

Массовый дебит газа при плоскорадиальной фильтрации в круговом пласте можно получить, подставив в формулу Дюпюи выражение (26) при значениях p = рk, и р = рc:

              (27)

Перейдем к объемному приведенному дебиту по-иному представив выражение в фигурной скобке:

                            (28)

Здесь  выражение перед скобкой представляет собой дебит газа в недеформируемой среде, и можно оценить влияние параметра  на поток газа в круговом пласте.

Если обозначить через Q* дебит газа в недеформируемой среде (т. е. при  = 0), то из отношения

можно определить отклонение дебита газа в сжимаемой среде от дебита газа в среде с постоянной проницаемостью. Если, например,

, pc = 7 МПа, pk = 10 МПа, то Qат/Q* = 0,72,

т.е. дебит уменьшается на 28%.

Аналогичным методом можно вывести формулы для дебита и распределения давления для жидкости и газа при прямолинейно-параллель­ной фильтрации к галерее в трещиноватом деформируемом пласте.

 

 

 

 

4 НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ И ГАЗА В ТРЕЩИНОВАТЫХ И ТРЕЩИНОВАТО-ПОРИСТЫХ СРЕДАХ

Для определения характеристик неустановившегося фильтрационного потока в трещиновато-пористой среде нужно проинтегрировать систему дифференциальных уравнений (17) и (18) при заданных начальных и граничных условиях.

Сделаем следующие предположения: жидкость слабо сжимаемая, упругая, т.е.  = 0[1 + ж(p – p0)]; вязкость постоянна  = const; обе среды-трещины и пористые блоки - упругие, т.е. mi = m0i + ci(p-p0),i=1, 2; проницаемости обеих сред постоянны: k1 = const, k2 = const; происходит обмен жидкостью между трещинами и блоками, масса перетекающей из блоков в трещины жидкости подчиняется соотноше­нию (9).

При этих предпосылках выражения функций Лейбензона, определяе­мых равенствами (13) и (14), с точностью до малых величин, имеют вид:

Преобразуем правые части уравнений (17) и (18):

где последнее слагаемое отброшено вследствие его малости; (где i = 1, 2) - коэффициенты упругоемкости обеих сред;

Тогда

                                                        (31)

Подставив выражения (29), (30), (31), (9) в систему (17)-(18), получим:

                            (32) и (33)

где p1 и p2-давления в трещинах и пористых блоках соответственно.

Введем следующие обозначения:

                            (34)

Через параметры ,1,2, уравнения (32) и (33) запишутся следующим образом:

                                                                                                    (35) и (36)

где 2pi,- оператор Лапласа.

Отметим, что коэффициент пьезопроводности  определен здесь через проницаемость системы трещин k1 и упругоемкость блоков ; параметр  имеет размерность времени и называется временем запазды­вания. Этот параметр имеет большое значение в теории неустановивше­гося движения жидкости в трещиновато-пористой среде; он характеризу­ет отставание процесса перераспределения давления в трещиновато-по­ристой среде по сравнению с пористым пластом с пьезопроводностью . Это отставание объясняется наличием обмена жидкостью между си­стемой пористых блоков и системой трещин. Время запаздывания  можно записать по-другому:

Из последнего выражения следует, что большие значения  соответствуют малым значениям пьезопроводности блоков 2 и большим размерам блоков l (и то, и другое затрудняет перетоки из блоков в трещины).

Анализируя систему уравнений (35)-(36), можно сделать сле­дующие выводы. При  = 0 имеем р1 = p2, т. е. давления в трещинах и блоках одинаковы и среда ведет себя как однородная. При  =  система разделяется на два уравнения фильтрации в трещинах и блоках, т. е. блоки оказываются изолированными, непроницаемыми и среда ведет себя как чисто трещиноватая. Промежуточные значения  соответ­ствуют трещиновато-пористой среде, причем, независимо от конкретно­го вида решения той или иной задачи, с ростом времени t решение стремится к решению задачи упругого режима, сближаясь с ним по истечении периода времени порядка нескольких .

Систему уравнений (35)-(36) можно упростить, если использо­вать то обстоятельство, что трещинная пористость т1 - и проницаемость блоков k2 малы, т.е. т1 « т2, k2<<k1, следовательно, 1<<1, 2<<1 и можно отбросить слагаемые 1p1t и 22p2. В результате получим:

                            (37)

Сделанное предположение (т1 = k2=0) означает, что жидкость «хра­нится» только в блоках, а перемещается только по трещинам (так как пренебрегли изменением массы жидкости в системе трещин и потоком жидкости в блоках).

Существуют различные решения как полной системы (35), (36), так и «усеченной» (37), полученные интегрированием дифференциаль­ных уравнений, а также приближенными методами (интегральных соот­ношений, усреднения и т.д.). Все эти решения достаточно сложны и громоздки.

Приведем графики, построенные в результате решения плоскоради­альной задачи об отборе упругой жидкости с постоянным дебитом Q из скважины радиусом rc, расположенной в бесконечном трещиновато-по­ристом пласте. Задача ставится следующим образом: для плоскорадиального течения уравнения (35) и (36) записы­ваются следующим образом:

В начальный момент давления в трещинах р1 (r, 0) и в блоках р2 (r, 0) одинаковы и равны p0:

p1 (r,0) = p2 (r,0) = p0.                                                                                                       (40)

Такое же деление сохраняется все время в удаленных точках:

p1(r,t) = p2(r,t) = p0  при r, t>0.                                                                                     (41)

Условие на стенке скважины имеет вид:

                                          (42)

На рисунке 5 приведены графики, соответствующие решению постав­ленной задачи: