Фильтрация нефти и газа в трещиноватых породах. Закон Буссинеска

Рисунок 5- Кривые распределения безразмерного давления в разные моменты времени в трещинах (а) и блоках (6).

По вертикали вниз отложены значения безразмерных перепадов давлений u1 = 2k1h(p0-p1)/(Q) и u2 = 2k1(p0-p2)/(Q), а по горизонтали - безразмерная радиальная координата ; кривые построены для разных значений t/. Из рисунка видно, что перераспре­деление давления в блоках происходит значительно медленнее, чем в трещинах. Для t/ = 3  кривая почти совпадает с кривой

которая соответствует обычной пористой среде с пьезопроводностью . Для значений t/ = 3 кривые и1 и u2 практически совпадают, т. е. для времен, значительно превышающих время запазды­вания , давления в трещинах и порах одинаковы (p1= р2) и можно пользоваться уравнениями фильтрации в обычной пористой среде.

Американские ученые Уоррен и Рут, рассматривая приток упругой жидкости к скважине в трещиновато-пористом пласте, пренебрегли течением жидкости в блоках, считая 2<<1, т.е. отбросили левую часть уравнения (39). При помощи преобразования Лапласа они получили приближенное решение для давления в трещинах на забое скважины, имеющее довольно простой вид. Оно представлено в безразмерной форме:

где

(43) и (44)

Как следует из формулы (43), падение давления на забое скважины зависит от двух безразмерных параметров  и , определяемых по формулам (44), характеризующих трещиновато-пористый пласт:  определяет отношение упругого запаса трещин к общему запасу, -интенсивность перетока из блоков в трещины. Графики, построенные по формуле (43) для разных значений параметров  и , приведены на рисунке 6.

Рисунок 6-Динамика давления в трещинах на забое скважины для разных значений параметров  и .

Видно, что каждая кривая может быть разделена на три участка. При малых значениях времени , когда жидкость поступает в скважину главным образом из трещин, основную роль играет параметр . Для этих значений времени можно применить асимптотическое выражение интегральной показательной функции:

: 1-0,001; 2-0,01; 3—0,1; 4-1;

: 11 - 0; 21-5-103; 31-5-106;41 – 5*10

       при x<<1

тогда              

Подставив эти выражения в формулу (43), получим:

                                                        (45)

т.е. первый участок в координатах u1c –lgt -прямая линия с наклоном 1,15.

Эта прямая отсекает на оси ординат отрезок, равный  (0,80908 +ln)/2. На втором участке давление в трещинах u1c остается почти постоян­ным, здесь жидкость поступает в скважину и из трещин, и из блоков. Третий участок имеет место для больших значений времени, когда значениями интегральных показательных функций в (43) можно пренебречь; тогда

u1c = (0,80908+ln)/2.                                                                                                          (46)

Рисунок 7

Кривые восстановления давления для различных значений 

  (=5•10-б,  Q= 18,3 м3 сут)

Это прямая, параллельная первой прямой, соответствующая течению в однородном пласте. Расстояние между прямыми зависит от значений параметров  и t (см. рис.6).Такой же характер имеют кривые восстановления давления, приве­денные на рис.7 в координатах где Т – время работы добывающей скважины до остановки; t – время после остановки; кривые построены для значения  = 5-10-6 и различных значений . Параметры  и  можно определить в результате исследования скважин при падении или восстановлении давления.

5  ЗАКОН БУССИНЕСКА

Отмечается, что гидравлическая теория неустановившейся безнапорной фильтрации Буссинеска, обобщенная трудами ряда ученых, в первую очередь П.Я. Полубариновой-Кочиной. Развитие получила теория, в основе которой лежит известный экспериментальный закон Дарси, справедливость которого неоспориемо показана при градиентах I>0,1, лишь для хорошо проницаемых пористых сред, например, для коллекторов из песка.

В докладе, на базе теоретических разработок М.А.Саттарова, подтвержденные множеством данных систематических экспериментов, авторы дают обобщение уравнения Буссинеска и для нелинейных законов фильтрации, в первую очередь, для степенного закона, которая оказалось самым распространенным явлением течения жидкостей в слабопроницаемых (лессовидных грунтах, глинах), а также в области достаточно низких (I<0,1) градиентах давления. На основе данных гидрогеологических изысканий показано эффективность гидравлической теории и в этой распространенной области фильтрации, где возникают достаточно сложные нелинейные задачи математической физики. Задача об определении закономерности распределения пьезометрических напоров в n гидравлически взаимосвязанных водоносных горизонтах при работе тех или иных гидротехнических сооружений в одном или ряде пластов сведена к решению следующей системы дифференциальных уравнений:

(47),(48),(49)

Здесь q – функция расхода, - отметка подошвы безнапорного горизонта, и - коэффициенты фильтрации водоносных и слабоводопроницаемых пластов, соответственно; - коэффициент водоотдачи безнапорного пласта, =1, - коэффициент упругоемкости напорных пластов, - степень нелинейности потока жидкости при малых скоростях течения, (x,y,t) -- функция инфильтрации в безнапорном горизонте, (x,y,t)=0 при i=2,3,...,n.

При граничных условиях второго рода для плоскопараллельного (=0) и осе симметрического (=1) случаев фильтрации нелинейная система дифференциальных уравнений путем операции дифференцирования системы (1) и некотором способе линеаризации правой части системы (1) при справедливости нелинейных соотношений (2)-(3) получена следующая система линейных дифференциальных уравнений, относительно функции расхода :

(50)

В (47) было получено решение (50) для случая = и при линейном законе фильтрации. Здесь рассмотрен ряд случаев нелинейного закона фильтрации, как в водоносном, так и в слабоводопроницаемом пластах. Установлено существенное влияние нелинейности течения на распределение функций пьезометрических напоров во взаимодействующих водоносных пластах.

29

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

1.                 К.С. Басниев., И.Н. Кочина., В.М. Максимов. Подземная гидромеханика. – М.: Недра, 1993.

2.                 Л.Г. Наказная. Фильтрация жидкости и газа в трещиноватых коллекторах. – М.: Недра, 1972.

3.                 В.Н. Николаевский. Механика пористых и трещиноватых сред. – М.: Недра, 1984.

29