Спектральное представление сигнала

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН

 

Университет ______________

 

Институт ______________________

 

 

Кафедра ____________________________________

 

 

 

КУРСОВАЯ  РАБОТА

по дисциплине 

Теория электрической  связи

 

Специальность 5В071900 Радиотехника, электроника и телекоммуникация

 

тема Спектральное представление сигнала

 

 

 

 

Работа защищена

с оценкой ______

(оценка прописью)                                                    Выполнил:

     студент

    группа       

  подпись  ______________

 

Комиссия:

   (Ф.И.О., подпись) 

Руководитель подпись        ________________

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2012 г.

УНИВЕРСИТЕТ __________

Институт _____________________

 

Кафедра ____________________________________

 

Утверждаю

_____________________

_______________

«____»________2012г.

 

ЗАДАНИЕ № 6

на курсовую работу по дисциплине: Теория электрической связи

 

студент ________________                                                     группа  __________

 

Тема проекта (работы)  Спектральное представление сигнала __________________________________________________________________________________________________________________________________

 

Исходные  данные

a= 1.5, b= 3,  c= -1,  d= 2,  l= 4

 

№	Содержание пояснительной  записки	Сроки выполнения	Примерный объем (кол. листов)
1.	Понятие собственных функций	01.12.12	1
2.	Преобразование Лапласа	10.12.12	1
3.	Спектры некоторых сигналов	04.12.12	1
4.	Функции Лапласа и Гаусса	08.12.12	1

 

Литература:

1. Под.ред. Кловского Д.Д. Теория электрической связи М «РиС» 1999г.
2. Зюко А.Г. и др. Теория передачи сигналов М. «РиС» 1986г.
3. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы М «РиС» 1983г.

 

 

Дата выдачи задания ___________, дата защиты проекта_________________

Руководитель  проекта (работы)

_________________________________________

                   (Ф.И.О., должность)   

 

Задание принял к исполнению ___________________(дата, подпись студента) 

 

Содержание

Введение 

1.1. ЧАСТЬ 1. Периодический сигнал 

1.2. ЧАСТЬ 2. Четная непериодическая  функция 

1.3. ЧАСТЬ 3. Произвольный непериодический  сигнал 

Список литературы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

Математической  моделью радиотехнического сигнала  может служить некоторая функция  времени f(t). Эта функция может  быть вещественной или комплексной, одномерной или многомерной, детерминированной  или случайной (сигналы с помехами). В радиотехнике одна и та же математическая модель с равным успехом описывает  ток, напряжение, напряженность электрического поля и т.п.

В курсовой работе по ТЕС рассматриваются  вещественные одномерные детерминированные  сигналы.

Множества функций (сигналов) принято  рассматривать как линейные функциональные нормированные пространства, в которых  введены следующие понятия и  аксиомы:

• выполнены все аксиомы линейного  пространства;

• скалярное произведение двух действительных сигналов определяется следующим образом:

                                                                                        (1)

• два сигнала называются ортогональными, если их скалярное произведение (1) равно  нулю;

• система ортогональных сигналов образует бесконечномерный координатный базис, по которому можно разложить  любой периодический сигнал, принадлежащий  линейному пространству;

• нормой действительного сигнала f(t) называется

 

Квадрат нормы называется энергией сигнала 

Среди разнообразных систем ортогональных  функций, по которым можно разложить  сигнал, наиболее распространенной является система гармонических (синусоидальных и косинусоидальных) функций:

1,,,,,,, …                                           (2)

Представление некоторого периодического сигнала в виде суммы

гармонических колебаний с различными частотами (2) называется

спектральным представлением сигнала. Отдельные гармонические компоненты сигнала образуют его спектр. С  математической точки зрения спектральное представление эквивалентно разложению периодической функции (сигнала) в  ряд Фурье.

Значение спектрального разложения функций в радиотехнике обусловлено  рядом причин:

• простота изучения свойств произвольного сигнала, т.к. гармонические функции хорошо изучены;

• возможность генерирования произвольного  сигнала, т.к. техника генерирования  гармонических сигналов достаточно проста;

• простота передачи и приема сигнала  по радиоканалу, т.к. гармоническое  колебание является единственной функцией времени, сохраняющей свою форму  при прохождении через любую  линейную цепь. Сигнал на выходе цепи остается гармоническим с той же частотой, изменяется лишь амплитуда и начальная фаза колебания;

• разложение сигнала по синусам  и косинусам позволяет использовать символический метод, разработанный  для анализа передачи гармонических  колебаний через линейные цепи.

В курсовой работе требуется определить спектральные представления некоторых  периодических и непериодических  сигналов.

 

 

Периодический сигнал

(часть 1)

1.1. Пусть задана кусочно-линейная  функция

                                      (3)

являющаяся математической моделью некоторого сигнала.

1.2. Продолжим эту функцию периодически  на всю числовую ось, получим  периодическую функцию f(x) с периодом T = 2l = 8, график которой изображен на рис. 1.

Рис.1. График периодически продолженной функции

Эта функция удовлетворяет условиям Дирихле:

1) f(x) непрерывна на главном периоде [−3; 3], за исключением конечного числа точек разрыва первого рода;

2) производная имеет на отрезке [−3; 3] конечное число точек разрыва первого рода.

Выполнение этих условий означает, что функция является на отрезке [−3; 3] кусочно-гладкой. Ряд Фурье кусочно-гладкой функции сходится к значению f(x) в каждой точке непрерывности функции и к значению

  в каждой точке разрыва.

1.3. График суммы ряда Фурье  приведен на рис. 2. В точках  непрерывности функции график  суммы ряда полностью совпадает  с графиком функции. В точках  разрыва первого рода значения суммы ряда отличаются от значений заданной функции и равны среднему арифметическому левого и правого пределов функции в этой точке.

Рис. 2. График суммы ряда Фурье периодической  функции

1.4. Для функции f(x), периодической с периодом T = 2l и удовлетворяющей на отрезке [−l; l] условиям Дирихле, можно записать ряд Фурье:

                                       (4)

Здесь

        n=0,1,2, …                         (5)

          n=1,2, …                           (6)

Соотношение (4) означает, что функции  f(x) соответствует ряд Фурье, записанный справа. Согласно теореме Дирихле, равенство левой и правой частей в (4) выполняется в отдельных точках. Из этого, однако, еще не следует равенство функций, т.е. что ряд в правой части (4) сходится, причем именно к f(x). Действительно, если значения двух функций отличаются только в конечном числе точек, то интегралы (5), (6), определяющие их коэффициенты Фурье, будут одинаковыми. Такие функции имеют один и тот же ряд Фурье.

Вычислим по формулам (5), (6) коэффициенты ряда Фурье заданной функции:

       (7)

    n=1, 2, …    (8)

        (9)

По формуле (4) запишем искомый  ряд Фурье

                             (10)

Равенство в (10) имеет место во всех точках непрерывности функции f(x). В точках разрыва значение суммы ряда равно:

 

                                           (11)

 

Проверим выполнение условия (11) в  точке x = 0. Подставляя x = 0 в правую часть (10) и учитывая, что cos0 = 1, sin0 = 0, получим

     (12)

Здесь использована известная сумма  ряда из приложение 1.

Ряд Фурье (4) в общем случае можно  записать в комплексной форме  с комплексными коэффициентами. Воспользуемся  формулами Эйлера:

,                                                     (13)

                                                                                                     (14)

Если ввести обозначения

                                                             (15)

 

Ряд (14) можно переписать в виде

                                                                   (16)

Это и есть комплексная форма  ряда Фурье с комплексными коэффициентами, определяемыми по формулам (15).

Коэффициенты комплексного ряда Фурье  можно получить и непосредственно, вычисляя их по формуле

                                                                                  (17)

Непосредственное интегрирование по формуле (17) приводит к тем же выражениям для комплексных коэффициентов, что и формулы (15).

Запишем теперь в комплексной форме  ряд Фурье заданной функции:

          где                       

                      n=±1, ±2, …       (18)

1.5. Запишем частичные суммы  ряда (10):

;           ;

 

                                                             (19)

Графики частичных сумм приведены  на рис. 3.

Рис. 3. Графики  частичных сумм ряда Фурье

Вывод: с ростом  n графики частичных сумм S_n (x) в точках

непрерывности x∈(−3; 0)∪(0; 3) приближаются к графику функции f(x). В точках разрыва значения частичных сумм приближаются к .

1.6. Выражение   в ряде Фурье называется n-й гармоникой. Известно, что

                                                    (20)

Где          ,    ,                                   (21)

Или               с учетом четверти.

Совокупности {} и {}, n = 1, 2, ... , называются соответственно амплитудным и фазовым спектром периодической функции. Графически спектры изображаются в виде отрезков длины или , проведенных перпендикулярно оси, на которую наносится значение n =1, 2, ... или

  . Спектры имеют дискретный характер, причем расстояние между отдельными линиями спектра равно для 2l - периодической функции. Графическое изображение соответствующего спектра называется амплитудной или фазовой диаграммой.

Вычислим несколько первых значений амплитудного и фазового спектра:

; ;  ; 

Так как , то – четверти

;     ;                              (22)

;   ;   ; 

Продолжим эти вычисления для n = 4, 5, ..., 8 и занесем данные в таблицу. Откладывая на графиках вертикальные отрезки соответствующей длины, получим амплитудную и фазовую диаграммы данной функции. Диаграммы приведены на рис. 4 и 5.

n
1	-1.8238	-1.59160	2.42060	-2.4241
2	0	0.47746	0.47746	1.5708
3	-0.20264	-0.53053	0.56789	-1.9357
4	0	0.23873	0.23873	1.5708
5	-0.07295	-0.31831	0.32656	-1.7961
6	0	0.15916	0.15916	1.5708
7	-0.03722	-0.22737	0.23039	-1.7331
8	0	0.11937	0.11937	1.5708

Рис. 4. Амплитудная диаграмма периодического сигнала

Вывод: с ростом n амплитудный спектр убывает (не монотонно).

Рис. 5. Фазовая диаграмма периодического сигнала

Вывод: с ростом n фазовый спектр .

1.7. Энергия периодического сигнала,  длящегося от t = −∞ до t = +∞ бесконечно  велика. При рассмотрении энергетических  характеристик периодического сигнала  основной интерес представляет  средняя мощность, которая совпадает  с мощностью, средней за один  период T = 2l:

                                                                                               (23)

Распределение этой мощности между  отдельными гармониками основано на равенстве Парсеваля, справедливого  для любой полной ортогональной  системы базисных функций (в том  числе и для системы гармонических  функций). Равенство Парсеваля можно  рассматривать как аналог формулы  линейной алгебры, в которой квадрат  нормы вектора равен сумме  квадратов координат: