Автор работы: Пользователь скрыл имя, 16 Апреля 2013 в 10:43, курсовая работа
Математической моделью радиотехнического сигнала может служить некоторая функция времени f(t). Эта функция может быть вещественной или комплексной, одномерной или многомерной, детерминированной или случайной (сигналы с помехами). В радиотехнике одна и та же математическая модель с равным успехом описывает ток, напряжение, напряженность электрического поля и т.п.
Введение
1.1. ЧАСТЬ 1. Периодический сигнал
1.2. ЧАСТЬ 2. Четная непериодическая функция
1.3. ЧАСТЬ 3. Произвольный непериодический сигнал
Список литературы
Откуда
Таким образом, смысл равенства Парсеваля состоит в следующем: полная средняя мощность периодического сигнала равна сумме средних мощностей, выделяемых отдельными гармониками. С физической точки зрения равенство Парсеваля означает, что для того, чтобы найти c заданной точностью приближенное значение средней мощности, достаточно сложить квадраты амплитуд нескольких первых гармоник. Так как амплитудный спектр убывает, гармоники с достаточно большими номерами не будут вносить существенного вклада в среднюю мощность.
Проверим выполнение равенства Парсеваля для заданной функции (3). Вычислим интеграл в левой части (24):
(26)
Вычислим правую часть равенства (24). Для этого подсчитаем квадраты коэффициентов:
,
Найдем сумму ряда в правой части (24):
(28)
Здесь использованы известные суммы некоторых рядов.
Окончательно получим
Для ряда (10) равенство Парсеваля выполняется.
Согласно (25) и (26), средняя мощность сигнала
Запишем математический смысл равенства Парсеваля.
Отметим, что тригонометрический ряд Фурье обладает важным свойством: при фиксированном числе слагаемых ряда N он обеспечивает наилучшую аппроксимацию в смысле минимума среднеквадратической ошибки, т.е. среднеквадратическая ошибка
достигает минимума, когда коэффициенты ряда вычисляются по формулам (5), (6).
С математической точки зрения выполнение равенства Парсеваля означает, что ряд Фурье сходится в среднем к функции f(x), т.е. что среднеквадратическая ошибка стремится к нулю и выполняется соотношение
(32)
Из этого, однако, еще не следует, что ряд Фурье сходится к функции f(x) равномерно, т.е. что при достаточно больших N при всех значениях x из отрезка [−3; 3] модуль разности можно сделать сколь угодно малым:
В некоторых точках оси Ox эта разность может быть и велика, важно только, чтобы интеграл от ее квадрата по отрезку [−3; 3] был мал для больших N. Итак, из сходимости в среднем ряда Фурье к функции f(x), для которой он составлен, еще не следует, что суммой этого ряда является f(x). В то же время, ряд Фурье, составленный для функции, непрерывной и кусочно-гладкой на всей числовой оси, сходится к этой функции равномерно. Такой ряд можно почленно дифференцировать, интегрировать, и его сумма равна функции.
1.8. Продолжим функцию y1 = x−2, x ∈ [0; 3) периодически на всю числовую ось четным образом. Получим периодическую функцию f1(x) с периодом T = 2l = 6, график которой приведен на рис. 6. Так как полученная периодическая функция f1(x) непрерывна на всей числовой оси, ряд Фурье сходится равномерно к f1(x), и график суммы ряда S(x) полностью совпадает с графиком f1(x).
Рис. 6. График четной периодической функции и суммы ряда Фурье
Вычислим коэффициенты ряда Фурье этой четной функции. Все коэффициенты bn = 0 в силу нечетности подынтегральных функций .
Действительная форма ряда Фурье четной функции имеет вид
Ряд Фурье четной функции содержит только косинусоидальные гармоники.
Для проверки вычисления подставим в левую и правую части выражения (35) значение x = 0: f1(0) = −2;
(36)
Получили верное равенство: f1(0) = S(0). В остальных точках равенство f1(x) = S(x) также выполняется.
Запишем комплексную форму ряда Фурье. Для четной функции f1(x) все bn=0, следовательно, все коэффициенты комплексногоряда Фурье действительные числа:
; , n= ± 1, ± 2, … (37)
Комплексная форма ряда Фурье четной функции f1(x) имеет вид
Для четной функции принято считать φn = 0 (так как bn = 0) и рассматривать амплитудный спектр коэффициентов an, которые откладываются на диаграмме с соответствующим знаком (рис. 7).
Вывод: амплитудный спектр убывает по модулю (не монотонно). В этом случае говорят, что огибающая огибающих амплитудного спектра стремится к нулю.
Рис. 7. График амплитудного спектра четной периодической функции
1.9. Продолжим функцию y1 = x − 2; x ∈ [0, 3) периодически на всю числовую ось нечетным образом. Получим периодическую функцию f2(x) с периодом T = 2l= 6, график которой приведен на рис. 8. Нечетная периодическая функция f2(x) удовлетворяет условиям Дирихле, следовательно, для нее можно записать ряд Фурье. Вычислим коэффициенты этого ряда:
Рис. 8. График нечетной периодической функции
Коэффициенты a0 = 0, an = 0 в силу нечетности подынтегральных функций . Действительная форма ряда Фурье нечетной функции имеет вид
Ряд Фурье нечетной функции содержит только синусоидальные гармоники.
Для проверки вычислений подставим в левую и правую части выражения (40) значение :
Учитывая, что
Выражение (41) перепишется в виде
Получили верное равенство:. Здесь использована известная сумма ряда. В остальных точках непрерывности функции равенство
f2(x) = S(x) также выполняется.
Для нечетной функции все an = 0, следовательно, коэффициенты комплексного ряда Фурье чисто мнимые числа:
C0=0; , n= ± 1, ± 2, … (44)
Комплексная форма ряда Фурье нечетной функции f2(x) имеет вид
Для нечетной функции принято считать (так как an= 0) и рассматривать амплитудный спектр коэффициентов bn, которые откладываются на диаграмме с соответствующим знаком (рис. 9).
Вывод: амплитудный спектр убывает по модулю (не монотонно). В этом случае говорят, что огибающая огибающих амплитудного спектра стремится к нулю.
Рис. 9. График амплитудного спектра нечетной периодической функции
1.10. Из формул (10), (35) и (40), дающих разложение в ряд Фурье на отрезке [0; 3] одной и той же функции y = x − 2, x∈[0; 3), можно сделать следующий вывод:
вид ряда Фурье зависит от того, как была периодически продолжена функция на всю числовую ось. При четном продолжении ряд содержит только косинусы, при нечетном — синусы, произвольное продолжение содержит оба вида гармоник. Все три ряда, имея различные коэффициенты, в точках x∈(0; 3) сходятся к одним и тем же значениям. Однако четное продолжение более предпочтительно, т.к. ряд Фурье в этом случае сходится равномерно.