Компьютерное моделирование логистического уравнения при переменной экологической емкости среды

Министерство  образования и  науки Российской Федерации 

Государственное образовательное  учреждение

Высшего профессионального  образования

Уфимская  государственная  академия экономики  и сервиса

 
Кафедра «ООС И РИПР» 

Лабораторная  работа № 2

Компьютерное  моделирование логистического уравнения при переменной экологической емкости среды 
 

Выполнила:                                                                                   И. Севрюкова

М. Севрюкова

Э. Гумерова

Р.Гибатов

Ю. Шаймарданова

Ю. Захарова

Р. Исламова

Д. Данилова

А. Мулюкова 
 

Проверил:                                          канд. техн. наук, доцент И.Л. Хабибуллин  
 
 
 
 

Уфа

2010

1. Теоретический анализ.

 

             Логистическое уравнение имеет вид:  

                                                      

                                    (1)

       Здесь x-численность (биомасса, плотность биомассы) популяции,

 ε –   коэффициент естественного прироста популяции,

k(t) - экологическая емкость среды для данной популяции, в общем случае является функцией времени, - начальное     значение .

В(1) первое слагаемое справа описывает естественный прирост популяции-

 

второе  самоограничение роста популяции за счет внутривидовой  

конкуренции. При k(t)→∞ из(1) следует модель Мальтуса 

, , 

        описывающая неограниченный (экспоненциальный) рост популяции. 

                                               

                                                       (2)

    В общем случае решение задачи(1) имеет вид: 

                                                                              (3) 

              Из (3) следует: , ,  . В частном случае 

    . Из (3) следует классическая логистическая формула П.        

     Ферхюльста:

                                                                                        (4)

                                         

     Анализ (4) показывает: , .

Логистичесая кривая, описываемая формулой (4) имеет точку перегиба с

 координатами при . При из (4) (а также из    

1. следует, что <0 и .

    Предположим, что экологическая емкость среды изменяется по закону . 

      Подставляя  это выражение в (3) после вычисления интеграла получим    

  

      окончательное решение задачи: 

                                                                                        (5)                                                      

     При b=0 из (5) получаем классическую логистическую формулу, которая  

      исследована в лабораторной работе №1.

          Из (5) следует , , >0, при                                                                 , <0 при t>t'. Таким образом функция x(t) является 

      немонотонной, максимальное значение x(t) достигается при t=t', это  

      значение можно найти пологая в (5) t=t'. 

2. Численное моделирование.

 

Численное моделирование уравнения (4) приведено  при следующих годовых значениях параметров ..., .., .., …

 Построить графики (t) по (4) при различных значениях параметров и провести анализ графиков.

     На рис.1 представлена зависимость при различных значениях начальной численности популяции 
 
 

при  

рис 1. Зависимость численности популяции от начального значения  

         С увеличением начальной численности  наблюдается увеличение численности популяции. 

  при =6

Рис.2. Зависимость  численности популяции от коэффициента естественного прироста

     С увеличением коэффициента естественного  прироста ε численность популяции  возрастает.

при

 

 при  

Рис.3. Зависимость  численности популяции от экологической  ёмкости среды

     Чем больше экологическая ёмкость среды  , тем меньше влияние внутривидовой конкуренции и, следовательно, больше численность популяции. 
 

при

 
 
 

при

 

при

Рис.4. Зависимость  численности популяции от экологической ёмкости среды 
 
 
 
 

Заключение

     В ходе лабораторной работы мы рассмотрели  зависимость численности популяции  от различных параметров:

     -начальной  численности  ,

     -коэффициента  естественного прироста ε,

     -экологической  ёмкости среды .