Денежные потоки и их оценка

ОЦЕНКА ПОТОКА ПОСТНУМЕРАНДО

Прямая задача предполагает оценку с позиции будущего, т.е. на конец периода и, когда реализуется  схема наращения.

Таким образом, будущая стоимость  исходного денежного потока постнумерандо   может быть оценена как сумма наращенных поступлений, т.е. в общем виде формула имеет вид:

Обратная задача подразумевает  оценку с позиции текущего момента, т.е. на конец периода О. В этом случае реализуется схема дисконтирования, а расчеты необходимо вести по приведенному потоку. Элементы приведенного денежного потока уже можно суммировать; их сумма характеризует приведенную, или текущую, стоимость денежного  потока, которую при необходимости  можно сравнивать с величиной  первоначальной инвестиции.

Таким образом, приведенный  денежный поток для исходного  потока постнумерандо имеет вид:

Приведенная стоимость денежного  потока постнумерандо в общем случае может быть рассчитана по формуле:

Если использовать дисконтирующий множитель, то эту формулу можно  переписать в следующем виде:

Пример

Рассчитать приведенную  стоимость денежного потока постнумерандо (тыс. руб.): 12, 15, 9, 25, если коэффициент дисконтирования r = 12%.

Год	Денежный поток	R	Привед-й поток
1	12	0,8929	10,71
2	15	0,7972	11,96
3	9	0,7118	6,41
4	25	0,6355	15,89
	61		44,97

ОЦЕНКА ПОТОКА ПРЕНУМЕРАНДО

Логика оценки денежного  потока в этом случае аналогии вышеописанной; некоторое расхождение в вычислительных формулах объясняется сдвигом элементов  потока к началу соответствующих  подынтервалов. Для прямой задачи приведенная стоимость потока пренумерандо в общем виде может быть рассчитана по формуле:

Приведенный денежный поток  пренумерандо имеет вид:

Приведенная стоимость потока пренумерандо в общем виде может быть рассчитана по формуле:

Так, если в предыдущей задаче предположить, что исходный поток  представляет собой поток пренумерандо, его приведенная стоимость будет равна: Pvpre = PVpst*(1+r)=44,97*1,12=50,37 тыс. руб.

3.2. ОЦЕНКА АННУИТЕТОВ

Одним из ключевых понятий  в финансовых и коммерческой расчетах является понятие аннуитета. Логика, заложенная в схему аннуитетных платежей, широко используется при оценке долговых и долевых ценных бумаг, в анализе инвестиционных проектов, а также в анализе аренды.

ОЦЕНКА СРОЧНЫХ АННУИТЕТОВ

Аннуитет представляет собой  частный случай денежного потока, а именно, это поток, в котором  денежные поступления в каждом периоде  одинаковы по величине. Если число  равных временных интервалов ограничено, аннуитет называется срочным. В этом случаи:

С1 = С2 = …… = Сn = A

Примером срочного аннуитета  постнумерандо могут служить регулярно поступающие рентные платежи за пользование сданным в аренду земельным участком в случае, если договором предусматривается регулярная оплата аренды по истечении очередного периода. В качестве срочного аннуитета пренумерандо выступает, например, схема периодических денежных вкладов на банковский счет в начале каждого месяца с целью накопления достаточной суммы для крупной покупки.

Для оценки будущей и приведенной  стоимости аннуитета можно пользоваться рассмотренными вычислительными формулами, вместе с тем благодаря специфике аннуитетов в отношении равенства денежных поступлений эти формулы могут быть существенно упрощены.

Прямая задача оценки срочного аннуитета при заданных величинах  регулярного поступления (А) и процентной ставке (r) предполагает оценку будущей  стоимости аннуитета. Как следует  из логики, присущей схеме аннуитета, наращенный денежный поток имеет  вид:

а расчетная формула трансформируется следующим образом:

Входящий в формулу  мультиплицирующий множитель FMЗ(r,n) представляет собой сумму членов геометрической прогрессии:

где (q = 1 -r). Сделав преобразования можно найти, что:

Экономический смысл мультиплицирующего множителя FМ заключается в следующем: он показывает, чему будет равна суммарная величина срочного аннуитета в одну денежную единицу (например, один рубль) к концу срока его действия. Предполагается, что производится лишь начисление денежных сумм, а их изъятие может быть сделано по окончании срока действия аннуитета. Множитель FM часто используется в финансовых вычислениях, и поскольку легко заметить, что значения в общем виде зависят лишь от r и n, их можно табулировать.

Пример

Вам предлагают сдать в  аренду участок на три года и выбрать  один из двух вариантов оплаты аренды: а) 10 млн.руб. в конце каждого года; б) 35 млн.руб. в конце трехлетнего периода. Какой вариант более предпочтителен, если банк предлагает 20% годовых по вкладам?

Первый вариант оплаты как раз и представляет собой  аннуитет постнумерандо при n = 3 и А = 10 млн. руб. В этом случаи имеется возможность ежегодного получения арендного платежа и инвестирования полученных сумм как минимум на условною 20% годовых (например, вложение в банк). К концу трехлетнего периода накопленная сумма может быть рассчитана:

FV = А*FМЗ(20%, 3) = 10*3,640 = 36,4 млн. руб.

Таким образом, расчет показывает, что вариант (а) более выгоден.

Общая постановка обратной задачи оценки срочного аннуитета постнумерандо также достаточно наглядна. В этом случае производится оценка будущих денежных поступлений с позиции текущего момента, под которым в данном случае понимается момент времени, с которого начинают отсчитываться равные временные интервалы, входящие в аннуитет.

Экономический смысл расчетов по предыдущей задаче состоит в следующем: с позиции текущего момента реальная стоимость данного аннуитета  может быть оценена в 21,064 млн. руб.

Общая формула для оценки текущей стоимости срочного аннуитета  постнумерандо выводится из базовой формулы и имеет вид:

 

тогда,

Экономический смысл дисконтирующего  множителя FM4(r,n) заключается в следующем: он показывает, чему равна с позиции текущего момента величина аннуитета с регулярными денежными поступлениями в размере одной денежной единицы (например, один рубль), продолжающегося n равных периодов с заданной процентной ставкой r.

Пример

Предложено инвестировать 100 млн.руб. на срок 5 лет при условии возврата этой суммы частями (ежегодно по 20 млн. руб.). По истечении 5 лет выплачивается дополнительное вознаграждение в размере 30 млн. руб. Принимать ли это предложение, если можно «безопасно» депонировать деньги в банк из расчета 12% годовых?

Для принятия решения необходимо рассчитать и сравнить две суммы. При депонировании денег в  банк к концу пятилетнего периода  на счете будет сумма:

В отношении альтернативного  варианта, предусматривающего возмещение вложенной суммы частями, предполагается, что ежегодные поступления в  размере 20 млн. руб. можно немедленно пускать в оборот, получая дополнительные доходы. Если нет других альтернатив  по эффективному использованию этих сумм, их можно депонировать в банк. Денежный поток в этом случае можно  представить двояко:

а) как срочный аннуитет постнумерандо с А = 20, n = 5, r = 20% и единовременное получение суммы в 30 млн. руб.;

б) как срочный аннуитет пренумерандо с А = 20, n = 4, r = 20% и единовременное получение сумм в 20 и 30 млн. руб. В первом случае имеем:

Во втором случае на основании  формулы имеем:

Естественно, что оба варианта привели к одинаковому ответу. Таким образом, общая сумма капитала к концу пятилетнего периода  будет складываться из доходов от депонирования денег в банке (107,06 млн. руб.), возврата доли от участия  в венчурном проекте за последний  год (20 млн. руб.) и единовременного  вознаграждения (30 млн. руб.). Общая сумма  составит, следовательно, 157,06 млн. руб. Предложение экономически нецелесообразно.

МЕТОД ДЕПОЗИТНОЙ КНИЖКИ

Можно дать иную интерпретацию  расчета текущей стоимости аннуитета  с помощью метода «депозитной  книжки», логика которого такова. Сумма, положенная на депозит, приносит доход  в виде процентов; при снятии с  депозита некоторой суммы базовая  величина, с которой начисляются  проценты, уменьшается. Как Раз эта  ситуация и имеет место в случае с аннуитетом. Текущая стоимость  аннуитета - это величина депозита с  общей суммой причитающихся процентов, ежегодно уменьшающаяся на равные суммы. Эта сумма годового платежа включает в себя начисленные за очередной  период проценты, а также некоторую  часть основной суммы долга. Таким  образом, погашение исходного долга  осуществляется постепенно в течение  всего срока действия аннуитета. Структура годового платежа постоянно  меняется - начальные периоды в  нем преобладают начисленные  за очередной период проценты; с  течением времени доля процентных платежей постоянно уменьшается и повышается доля погашаемой части основного  долга. Логику и счетные процедуры  метода рассмотрим на простейшем примере.

Пример

В банке получена ссуда  на пять лет в сумме 20000 дол, под 13% годовых, начисляемых по схеме сложных  процентов на непогашенный остаток. Возвращать нужно равными суммами  в конце каждого года. Требуется  определить величину годового платежа.

Для лучшего понимания  логики метода депозитной книжка целесообразно  рассуждать с позиции кредитора. Для банка данный контракт представляет собой инвестицию в размере 20000 дол., т.е. отток денежных средств, что и показано на схеме. В дальнейшем в течение пяти лет банк будет ежегодно получать в конце года сумму А, причем каждый годовой платеж будет включать проценты за истекший год и часть основной суммы долга. Так, поскольку в течение первого года заемщик пользовался ссудой в размере 20000 дол., то платеж, который будет сделав в конце этого года, состоит из двух частей: процентов за год в сумме 2600 дол. (13% от 20000) и погашаемой части долга в сумме (А - 2600 дол). В следующем году расчет будет повторен при условии, что размер кредита, которым пользуется заемщик, составит уже меньшую сумму по сравнению с первым годом, а именно: (20000-А + 2600). Отсюда видно, что с течением времени сумма процентов снижается, а доля платежа возрастает. Данный финансовый контракт можно представить в виде аннуитета постнумерандо, в котором известна его текущая стоимость, процентная ставка и продолжительность действия. Поэтому для нахождения величины годовою платежа А можно воспользоваться известной формулой.

Динамика платежей показана в Таблице. Отметим, что данные в  ходе вычислений округлялись, поэтому  величина процентов в последней  строке найдена балансовым методом.

Год	Остаток ссуды на начало года	Сумма годового платежа	В том числе		Остаток на конец года
			Проценты за год	Погашенная часть долга
1	2000	5687	2600	3087	16913
2	16913	5687	2199	3488	13425
3	13425	5687	1745	3942	9483
4	9483	5687	1233	4454	5029
5	5029	5687	658	5029	0

Данная таблица позволяет  ответить на целый ряд дополнительных вопросов, представляющих определенный интерес для прогнозирования  денежных потоков. В частности, можно  рассчитать общую сумму процентных платежей, величину процентного платежа  в 1-м периоде, долю кредита, погашенную в первые 11 лет, и т.п.

ОЦЕНКА АННУИТЕТА С  ИЗМЕНЯЮЩЕЙСЯ ВЕЛИЧИНОЙ ПЛАТЕЖА

На практике возможны ситуации, когда величина платежа меняется со временем в сторону увеличения или уменьшения. В частности, при  заключении договоров аренды в условиях инфляции может предусматриваться периодическое увеличение платежа, компенсирующее негативное влияние изменения цен. Оценка аннуитета в этом случае может также выполняться путем несложных расчетов с помощью финансовых таблиц. Технику вычислений рассмотрим на простейшем примере.[7]

Пример

Сдан участок в аренду на десять лет. Арендная плата будет  осуществляться ежегодно по схеме постнумерандо на следующих Условиях: в первые шесть лет по 10 млн. руб., в оставшиеся четыре года по 11 млн. руб. Требуется оценить приведенную стоимость этого договора, если процентная ставка, используемая аналитиком, равна 15%.

Решать данную задачу можно  различными способами в зависимости  от того, какие аннуитеты будут  выделены аналитиком.

Прежде всего отметим, что приведенная стоимость денежного потока должна оцениваться с позиции начала первого временного интервала. Рассмотрим лишь два варианта решения из нескольких возможных. Все эти варианты основываются на свойстве аддитивности рассмотренных алгоритмов в отношении величины аннуитетного платежа.