Управление финансовыми рисками: теория портфеля и модели оценки активов

                                                       (1.6)

     где - некоторое число.

     Нетрудно  выяснить смысл числа  . Выразив из последнего выражения , получим :                                       

     Таким образом, величина есть тангенс угла наклона семейства прямых к оси и, следовательно, отражает предпочтение "риск-доходность" инвестора, выбравшего на эффективном фронте точку, касательную с данной прямой, в качестве оптимального портфеля.

     При увеличении а прямая (1.6) приближается  к эффективному фронту и при каком-то значении - минимальном! - касается его. Подставив в (1.6) вместо и соответственно (1.1) и (1.2) после решения задачи

                              (1.7)

     можно получить вектор решений как функций  от :  . При изменении от 0 до вектора решений опишут все точки касания, т.е. весь эффективный фронт.

     Как видно из (1.7),  точка определяет эффективный портфель с минимальным риском, а - портфель с максимально возможной доходностью и риском Марковиц доказал, что функции являются непрерывными кусочно-линейными, т.е. при изменении от 0 до их производные по   могут терпеть разрыв. Те значения , в которых это происходит хотя бы для одной из , были названы угловыми (см. Рис.1.4), а соответствующие им портфели - угловыми портфелями. Марковиц установил замечательное свойство угловых портфелей: участок эффективного фронта между смежными угловыми портфелями описывается линейной комбинацией этих портфелей. Иначе, если и - смежные угловые точки, то для любого | < < векторы, вычисляемые как

                    (1.8)

     определяют  участок эффективного фронта. При  отсутствии ограничений-неравенств функции - линейные, точка является угловой по определению.

     Метод нахождения угловых портфелей, названный  Марковицем методом критических линий, с последующим нахождением как оптимального портфеля, так и эффективного фронта широко используется и в настоящее время.

         

     Рис. 1.3 Касательная к эффективному фронту

     Из  рассмотрения задачи Марковица видно ее преимущественно микроэкономическое содержание, поскольку возможные последствия решений инвестора для состояния рынка не рассматриваются, а внимание акцентировано на поведении отдельного инвестора, формирующего оптимальный портфель из рисковых активов на основе собственных оценок их доходности и риска.

                          

     Рис. 1.4 Пример угловых точек для случаев п=3       

           
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

       1.2   Модель  CAРM  и ее обобщение

     В самом начале 60-х годов учеником Марковица У. Шарпом была предложена так называемая однофакторная модель рынка капиталов, в которой впервые появились ставшие знаменитыми впоследствии "альфа" и "бета"- характеристики акций. На основе однофакторной модели Шарп впоследствии предложил упрощенный метод выбора оптимального портфеля, который сводил задачу квадратичной оптимизации к линейной. В простейших случаях, для небольших размерностей, эта задача могла быть решена практически "вручную". Такое упрощение сделало методы портфельной оптимизации применимыми на практике. К 70-м гг. развитие программирования, а также совершенствование статистической техники оценивания показателей "альфа" и "бета" отдельных ценных бумаг и индекса доходности рынка в целом привело к появлению первых пакетов программ для решения задач управления портфелем ценных бумаг.

     Первоначально Шарпом преследовалась цель упростить получение исходных данных (прежде всего, ковариаций между доходностями ценных бумаг), необходимых для

решения задачи оптимизации портфеля по Марковицу. Для этого была использована однофакторная модель зависимости доходности долгосрочной рисковой ценной бумаги от фактора - средневзвешенной по капитализации фондовых активов доходности рынка:

                                                                       
 

                                                                                   (1.11)

     где - общее число всех обращающихся на рынке ценных бумаг,

          - соответственно доля в общей капитализации рынка и доходность -ой ценной бумаги.

      Однофакторная модель доходности -ой ценной бумаги строится как линейная регрессионная зависимость, получаемая по методу наименьших квадратов:

                                               , (1.12)

     где - коэффициент смещения регрессионной модели, отражающий активную доходность – дополнительную доходность данной ценной бумаги относительно - и степень интереса инвесторов к ней,

          - коэффициент чувствительности изменения доходности ценной бумаги относительно изменения доходности среднерыночного портфеля,

          - погрешность регрессионной модели, отражающая влияние всех других факторов.

      Регрессионная зависимость строится в предположении о зависимости  доходностей всех ценных бумаг только от одного фактора - и, следовательно, взаимной некоррелированности ошибок , а из алгоритма метода наименьших квадратов следует, что

                                              , (1.13) 

     где - СКО соответственно доходностей -ой ценной бумаги и среднерыночного портфеля,

          - коэффициент корреляции между доходностью -ой ценной бумаги и доходностью среднерыночного портфеля.

     Если  известны коэффициенты для всех рисковых фондовых активов (а к выводу о необходимости их оценки ввиду наглядности практика фондового рынка пришла

 

довольно  быстро), то ковариации доходностей ценных бумаг и их дисперсии могут быть вычислены применением правил теории вероятностей к (1.12):

                                      , (1.14)

                        

      Эти правила легко обобщаются на случай портфеля, состоящего из рисковых ценных бумаг, представленных в нем долями :

          ,   (1.15) 

       

     где     ,(1.16)

          ,   (1.17)

              (1.19)

     Риск  портфеля определяется :

          , (1.20)

     где           . (1.21)

      Первое слагаемое в (1.20) характеризует рыночный (систематический, недиверсифицируемый) риск , а второе - собственный риск портфеля, который может быть уменьшен за счет диверсификации как показано на рис.1.7.

                                 

     Рис. 1.7 Изменение риска портфеля при его диверсификации

     Однако  по-настоящему значимое научное и  практическое значение регрессионная аппроксимация в виде (1.12) и (1.13) получила в связи с использованием результатов Тобина для моделирования ценообразования долгосрочных активов на фондовом рынке.

     С 1964 г. появляются работы Шарпа, Линтнера, Моссина, открывшие следующий этап в инвестиционной теории, связанный с так называемой моделью оценки капитальных активов, или САРМ (Capital Asset Pricing Model). Результаты, полученные в этих работах, основаны на исходных предположениях Марковица (см.п.1.2), дополненных следующими:

     1. Для всех инвесторов период  вложения одинаков.

     2. Информация свободно и незамедлительно  доступна для всех инвесторов.

     3. Инвесторы имеют однородные ожидания, т.е. одинаково оценивают

     будущие доходности, риск и ковариации доходностей  ценных бумаг.

     4. Безрисковая процентная ставка одинакова для всех инвесторов

     В совокупности все исходные предположения  описывают так называемый совершенный рынок ценных бумаг, на котором отсутствуют препятствующие инвестициям факторы. Есть еще одно положение CAРM, которое обычно считают следствием теоремы о разделении: в состоянии равновесия каждый вид ценных бумаг имеет ненулевую долю в касательном портфеле, а структура касательного портфеля повторяет структуру рыночного портфеля в соответствии с долями капитализации ценных бумаг. Обоснованием служит следующее рассуждение: если касательный портфель одного инвестора не включает какую-то бумагу, это означает, что ее стараются продать все (так как инвесторы приобретают одинаковые по структуре рисковые составляющие своих портфелей), тогда рыночный курс этой бумаги под давлением избыточного предложения будет падать, а ожидаемая доходность соответственно расти - до тех пор, пока цена не станет равновесной, а доля в касательном портфеле - отличной от нуля. Противоположные события будут происходить при попытке инвесторов (всех одновременно) увеличить долю какой-то бумаги в рисковой части вложений.

      На основе последнего утверждения  и используя (1.11) можно записать выражение для ожидаемой доходности финансовых средств любого инвестора в состоянии равновесия рынка:

                                                        , (1.22) 

     где, как и ранее, -доходность и риск среднерыночного (касательного)           портфеля,

          - доходность безрисковых активов

      (1.22) описывает эффективный фронт Тобина (рис.1.8) и получило название уравнение рынка капитала (Capital Market Line - CML). При этом величина           равна тангенсу угла наклона CML к оси ординат и отражает увеличение доходности при увеличении риска на единицу, т.е. предельную доходность риска вложений рынка при наличии рисковых и безрисковых активов. Поскольку CML касается эффективного фронта Марковица в точке , можно выразить тангенс наклона касательной через выражение , описывающее фронт Марковица. Это выражение получено в [Гр] и имеет вид:

                                           ,           

     где относятся к любой из ценных бумаг портфеля,

              - коэффициент корреляции доходности этой ценной бумаги и портфеля в целом.

     Приравнивая правые части двух последних выражений, можно получить выражение для ожидаемой доходности любой ценной бумаги в оптимальном портфеле:

                                           

                                                , (1.23) 

     которое называется уравнением линии рынка ценных бумаг (Security Market Line - SML) и с учетом (2.13) может быть переписано с использованием коэффициента :

                                             ,  (1.24)

     Разность  называют премией за недиверсифицированный риск держания рыночного портфеля, соответственно разность - премия за риск держания отдельноого рискового актива, а бета показывает вклад каждой ценной бумаги в риск рыночного портфеля.

      Сравнение  выражений для  CML и SML показывает, что эти линии на плоскости  совпадают только при . При линия SML проходит выше, а при - ниже линии CML (рис.2.8). В любом случае активы  с большим риском должны обеспечивать пропорционально большую доходность. Таким образом, если портфель эффективен, связь между ожидаемой доходностью каждой акции и ее предельным вкладом в портфельный риск должна быть прямолинейной. Верно и обратное: если прямолинейной связи нет, портфель не является эффективным.