Контрольная работа по "Финансовой математике"

  Министерство образования Российской Федерации

   Всероссийский заочный финансово – экономический институт

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                             КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

                По дисциплине «Финансовая математика»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   Исполнил:

                                                                           № зач. книжки

Факультет:

                                                                Специальность: 

                                                                              Проверил:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                Пенза 2008 г.

 

 

Вариант 3

Задание 1

1) Построить адаптивную  модель Хольта-Уинтерса с учетом  сезонного фактора, приняв параметры  сглаживания α1=0,3; α2=0,6; α3=0,3.

2) Оценить точность  построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.

3) Оценить адекватность  построенной модели на основе  исследования:

- случайности остаточной  компоненты по критерию пиков;

- независимости уровней  ряда остатков по d-критерию (критические значения d1=1,10 и d2=1,37) и по первому коэффициенту  автокорреляции при критическом значении r1=0,32;

- нормальности распределения  остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4) Построить точечный  прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
31	40	47	31	34	44	54	33	37	48	57	35	42	52	62	39

5) Отразить на графике  фактические, расчетные и прогнозные  данные.

Таблица 1

Поквартальные данные  о кредитах от коммерческого банка  на жилищное строительство за 4 года (16 кварталов)

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 2

Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным пяти дням. Рассчитать:

- экспоненциальную скользящую  среднюю;

- момент;

- скорость изменения цен;

- индекс относительной  силы;

- %R, %K и %D.

Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно  выполнить на основании имеющихся  данных.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 2

Дни	Цены
	Макс.	Мин.	Закр.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	735 750 745 725 738 747 835 875 853 820	701 715 715 707 702 716 755 812 821 760	715 738 720 712 723 744 835 827 838 767

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 3

Выполнить различные  коммерческие расчеты, используя данные, приведенные в таблице. В условии задачи значения параметров приведены виде переменных. Например, S-означает некую сумму средств в рублях, Тлет – время в годах, I – ставку в процентах и т.д. По именам переменных из таблицы необходимо выбрать соответствующие численные значения параметров и выполнить расчеты.

Таблица 3

Сумма	Дата начальная	Дата конечная	Время в днях	Время в годах	Ставка	Число наблюдений
S	Tн	Тк	Тдн	Тлет	i	m
1500000	17.01.02	13.03.02	180	4	20	2

 

3.1. Банк выдал сумму  размером S руб. Дата выдачи ссуды – Тн, возврата – Тк. День выдачи и возврата считать за 1 день. Проценты рассчитываются по простой процентной ставке i% годовых. Найти:

3.1.1) точные проценты с точным числом дней ссуды;

3.1.2) обыкновенные проценты  с точным числом дней ссуды;

3.1.3) обыкновенные проценты  с приближенным числом дней ссуды.

3.2. Через Тдн дней  после подписания договора должник  уплатит S руб. Кредит выдан под i% годовых (проценты обыкновенные). Какова первоначальная сумма и дисконт?

3.3. Через Тдн дней предприятие должно получить по векселю S руб. Банк приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке i% годовых (год равен360 дням). Определить полученную предприятием сумму и дисконт.

3.4. В кредитном договоре  на сумму S руб. и сроком на Тлет, зафиксирована ставка сложных процентов, равная i% годовых. Определить наращенную сумму.

3.5. Ссуда, размером S руб. предоставлена на Тлет. Проценты сложные, ставка – i% годовых. Проценты начисляются m раз в году. Вычислить наращенную сумму.

3.6. Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты m раз в году, исходя из номинальной ставки i% годовых.

3.7.  Определить, какой  должна быть номинальная ставка  при начислении процентов m раз в году, чтобы обеспечить эффективную ставку i% годовых.

3.8. Через Тлет предприятию  будет выплачена сумма S руб. Определить ее современную стоимость при условии, что применяется сложная процентная ставка i% годовых.

3.9. Через Тлет по  векселю должна быть выплачена  сумма S руб. Банк учел вексель по сложной учетной ставке i% годовых. Определить дисконт.

3.10. В течение Тлет на расчетный счет в конце каждого года поступает по S руб., на которые m раз в году начисляются проценты по сложной годовой ставке i%. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

Задание 1

1).а0 находим по формуле =ОТРЕЗОК(B3:B10;A3:A10), введенной в ячейку С2

b0 находим по формуле  =НАКЛОН(B3:B10;A3:A10), введенной в ячейку D2

an = α1( at - at-1) + (1 – α1)(at-1 + bt-1), то есть формулу =J$12*B3/J17+(1-J$12)*(C2+D2) вводим в ячейку С3 и размножаем ее до ячейки С6 включительно. В ячейку С7 вводим =J$12*B7/E3+(1-J$12)*(C6+D6) и размножаем на все ячейки столбца.

bt находим по формуле α3 (xt/Ft-L) + (1 – α3) bt-1,  то есть формулу =J$12*B3/J17+(1-J$12)*(C2+D2) вводим в ячейку D3 и размножаем ее

L – период сезонности.

F = α2 (Y(t)/at) + (1- α2)Ft-L – значение коэффициента сезонности того периода, для которого рассчитывается экономический показатель. В ячейку Е3 вводим =J$13*B3/C3+(1-J$13)*J17 и размножаем ее до ячейки Е6. В ячейку Е7 вводим =J$13*B7/C7+(1-J$13)*E3 и размножаем на оставшиеся ячейки столбца.

Yp(t)= (at + bt*1)Ft-L+1 В ячейку F3 вводим =(C2+1*D2)*J17.Стартовые значения Yp(t) по 8 значениям получаем через введение в ячейку J3 и размножением до ячейки J10 формулы =ПРЕДСКАЗ(A3;B$3:B$10;A$3:A$10)

et = Y(t) - Yp(t)

В J12 вводим 0,3, в J13 0,6 и в J14 0,3

Для получения F(-3) в ячейку J17 вводим =(B3/J3+B7/J7)/2

Для получения F(-2) в ячейку J18 вводим =(B4/J4+B8/J8)/2

Для получения F(-1) в ячейку J19 вводим =(B5/J5+B9/J9)/2

Для получения F(0) в ячейку J20 вводим =(B6/J6+B10/J10)/2

2). Средняя относительная ошибка аппроксимации

(│((Y(t)-Yp(t))/ Y(t))│*100%)/16 = 1,53%, что меньше 5%,следывательно модель точная. =СРЗНАЧ(H3:H18) в ячейку С25

3).Для того чтобы модель была адекватна исследуемому процессу, ряд остатков Е(t) должен обладать свойствами случайности, независимости последовательных уровней, нормальности распределения.

а).Проверка случайности уровней. Проверку случайности уровней остаточной компоненты  проводим на основе критерия поворотных точек. Общее число поворотных точек равно р = 9, qкрит  = 6  p>q Условие выполнено.

Проверка независимости  уровней ряда остатков остатков (отсутствия автокорреляции). Проверку проводим  двумя методами:

б) по d - критерию Дарбина – Уотсона;

по первому коэффициенту автокорреляции r(1)

d = ∑[E(t) - E(t - 1)]^2/∑E(t)^2 = 36,8634/13,89 = 2,6536 > 2=> имеет место  отрицательная автокорреляция. В таком случае d = 4 - 2, 6536 = 1, 3464. Полученное значение d сравниваем с табличными значениями d1 и d2. В нашем случае d1 = 1, 10 и d2 = 1,37. d1 <d<d2 критерий Дарбина – Уотсона не дает ответа на вопрос  о независимости уровней ряда остатков. Необходимо воспользоваться другими критериями.

r(1) = ∑[E(t)*E(t - 1)]/∑E(t)^2 = -4,5882/13,8918 = -0,3303 < 0,32 (r(1)<r таб) – уровни ряда остатков независимы.

в).Проверку соответствия ряда остатков нормальному распределению определяем по RS – критерию.

RS = (Emax - Emin)/S

Emax = 2, 4337

Emin = -1, 1958

Emax – Emin = 3, 6295

S = ((∑ E(t)^2)/(N – 1))^0,5 = ((13, 8918)/(15))^0,5 = 0, 9624

RS = 3, 6295/0, 9624 = 3,7715

Полученное значение RS сравниваем с критическими значениями: 3,00<R/S<4,21 - подчиняются нормальному закону распределения.

Таким образом, все условия  адекватности и точности выполнены. Следовательно, можно говорить об удовлетворительном качестве модели и возможности проведения прогноза  показателя Yp(t) на четыре квартала вперед.

4).Составим прогноз на четыре квартала вперед.

Yp(17) = (a(16) + 1*b(16))*F(13) = (50,0653+1*1,0012)*0,8771 = 44,7916

Yp(18) = (a(16) + 2*b(16))*F(14) = (50,0653+2*1,0012)*1,0827 = 56,3755

Yp(19) = (a(16) + 3*b(16))*F(15) = (50,0653+3*1,0012)*1,2674 = 67,2603

Yp(20) = (a(16) + 3*b(16))*F(16) = (50,0653+4*1,0012)*0,7773 = 41,2515

На нижеприведенном  рисунке проводится сопоставление фактических и расчетных данных. Здесь же показаны прогнозные значения на 4 шага вперед. Из рисунка видно, что расчетные данные хорошо согласуются  с фактическими, что говорит об удовлетворительном качестве прогноза.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 2.

Экспоненциальная  скользящая средняя (ЕМА).

Расчет производится по формуле: ЕМАt = k*Ct+(1-k)*EMAt-1 где k = 2/(n+1)

Ct – цена закрытия t – го дня

ЕМАt – значение ЕМА текущего дня t.

Последним значениям цены придается большее значение, чем предыдущим.

В девятый день цены  достигли своего максимума. Следовательно, в этот день  надо продавать. В 10 день цены упали.

Момент(МОМ). Рассчитывается по формуле: МОМt = Ct-Ct-n. Положительные значения МОМ (например, в нашем случае)  свидетельствуют об относительном росте цен, а отрицательные о снижении.

Скорость снижения цен (ROC). Рассчитывается по формуле:

ROCt = (Ct/Ct-n)*100%

ROC является отражением скорости изменения цены, а также указывает направление этого изменения. Правила работы ничем не отличаются от МОМ, но вместо нулевой линии для принятия решения о покупке или продаже используется уровень 100%.

При пересечении этого  уровня снизу вверх надо покупать, а при пересечении сверху вниз – продавать финансовый инструмент.

 

 

 

Цены растут.

Индекс относительной  силы (RSI). Вычисляется по формуле: RSI = 100 – 100/(1+AU/AD)

AU – сумма приростов конечных цен за n последних дней;

AD – сумма убыли конечных цен за n последних дней;

График входит в «зону перекупленности» (значения 80 - 100). То есть цены сильно выросли, надо ждать их падения и готовиться к продаже.