Автор работы: Пользователь скрыл имя, 10 Мая 2013 в 18:49, курсовая работа
Цель работы – познакомится с понятием инверсии на плоскости, изучить свойства инверсии, рассмотреть связь инверсии и гомотетии, научиться строить образы фигур при инверсии и применять эти знания при решении задач на построение и на доказательство.
Поэтому в процессе выполнения курсовой работы необходимо было решить следующие задачи:
1. Изучить определения, основные свойства инверсии на плоскости.
2. Рассмотреть формулы аналитического выражения инверсии на плоскости.
Введение.................................................................................................3
1. Вводные понятия…………………………………………………….5
1.2 Понятие инверсии плоскости……………………………………..6
2. Аналитическое выражение инверсии……………………………..9
3. Образы прямых и окружностей при инверсии…………………..11
3.1 Инвариантные окружности инверсии……………………………15
3.2 Свойства углов и расстояний при инверсии…………………….18
4. Инверсия и гомотетия ……………………………………………..22
5. Применение инверсии при решении задач на построение……...25
5.1 Применение инверсии при решении задач на доказательство…33
Заключение……………………………………………………………...38
Литература………………………………………………………………39
Нужно помнить о том, что точки сектора, принадлежащие окружности симметрии, инварианты (свойство 3), следовательно, они отображаются на себя.
Построение. Для того чтобы, построить образ φ1 нужно найти образы хорд (одной из хорд в случае 3) АВ и ВС как показано в примере 3 и выделить искомую область плоскости. Построение показано на рисунке 20
Доказательство. Действительно, данные изображения верны, т.к. построение основывалось на свойствах инверсии и теоремах, доказанных ранее.
Пример 5. Построить образ арабской звезды, вписанной в окружность инверсии. Выделить образ концов звезды.
Решение. Образы сторон звезды строятся как образы хорд окружности инверсии (пример 3).
Пример 6. Построить образ гиперболического четырехугольника при инверсии относительно окружности ω=(O, R).
Решение. Анализ. Гиперболическим четырехугольником называется четырехугольник, сторонами которого являются ветви гиперболы.
Рассмотрим четырехугольник образованный гиперболами γ1: и γ2: , инверсию с центром О(0, 0) и степенью k=a2.
Найдем аналитическое выражение образов γ1 и γ2. Подставим в уравнение γ1 вместо х и у формулы (5), получим γ1': . Сократим оба слагаемых на а2 и получим . Заменим х' на х, у' на у и получим
γ1': . (10)
Аналогично можно вывести
γ2': . (11)
Построение. Образ гиперболического прямоугольника при данной инверсии будет обладать следующими свойствами:
Учтем это при построении.
Доказательство. Действительно, рисунок 20 является искомым изображением, так как выполняются все свойства указанные выше и оно удовлетворяет формулам (10) и (11).
Несмотря на то, что инверсия интересна и сама по себе, она служит удобным, а порой практически незаменимым инструментом для решения задач, где главным элементом является окружность. Многие из этих задач могут быть решены и без применения инверсии, но инверсия позволяет доказывать содержательные утверждения быстро и элегантно. Рассмотрим несколько примеров.
Инверсия позволяет получить короткое решение задачи Архимеда об арбелосе. Словом άρβυλος (сапожный нож) будем, как и Архимед, называть «криволинейный треугольник», образованный тремя полуокружностями (рис. 21).
A
B
C
М
Рис. 22
Задача Архимеда. Пусть точка С лежит на отрезке АВ. Построим полуокружности на диаметрах АВ, ВС, АС (это и есть арбелос). Перпендикуляр МС к отрезку АВ делит арбелос на две части. Докажите, что радиусы окружностей, вписанных в эти части арбелоса, равны между собой.
Решение. Обозначим AC = 2a ; BC = 2b. Рассмотрим инверсию относительно окружности ω с центром в точке В и радиусом ВМ (рис. 22).
При такой инверсии окружность β с диаметром АВ перейдет в прямую СМ, а окружность α с диаметром ВС в прямую, параллельную СМ, проходящую через точку А.
Таким образом, вписанная окружность радиуса r, касающаяся окружностей α и β, перейдет в окружность, касающуюся их образов, то есть двух параллельных прямых. Радиус этой новой окружности равен радиусу окружности с диаметром АС.
Рассмотрим теперь гомотетию с центром В, при которой окружность радиуса r переходит в окружность радиуса а, а точка С переходит в точку А.
,
Из симметричности полученной формулы относительно а и b следует утверждение задачи.
Знаменитая задача Паппа об арбелосе представляет замечательный пример задачи, которая легко решается с использованием инверсии и становится невероятно тяжелой, если запретить ей пользоваться .
Задача Паппа. Пусть окружности α, β и γ с диаметрами АВ, ВС, АС образуют арбелос, δ0 – окружность, вписанная в арбелос, окружность δ1 касается окружностей α, β и δ0 , окружность δ2 касается окружностей α, β и δ1 , … окружность δn+1 касается окружностей α, β и δn.. Обозначим Rn – радиус окружности δn , dn – расстояние от центра окружности δn до прямой АВ. Тогда (рис. 23).
Совершим инверсию относительно какой-нибудь окружности с центром в точке А. На чертеже эта окружность проходит через точку В.
При этой инверсии окружности α и β перейдут в две параллельные прямые, а цепочка из окружностей δ0, δ1, δ2, … перейдет в цепочку равных окружностей ω0, ω1, ω2, … заключенных между параллельными прямыми (рис. 23). Центры окружностей ωn и δn лежат на одной прямой с точкой А. Для окружности ωn утверждение задачи выполняется Рис. 24
очевидным образом. Но окружность δn переходит в окружность ωn при гомотетии с центром А, откуда и следует утверждение задачи.
В результате проделанной мною работы были сделаны следующие выводы:
Исследования по теме инверсии можно продолжить в направлении рассмотрения стереометрической проекции инверсии, выведение формул аналитического выражения инверсии в комплексно-сопряженных координатах, рассмотрения инверсии на плоскости Лобочевского.
Литература