Контрольная работа по "Аналитическая геометрия"

Контрольная  0602

Задача 9

Даны координаты вершин треугольника АВС. Найти:

а) уравнение  стороны АВ

б) уравнение  высоты СН

в) уравнение  медианы АМ

г) координаты точки  N пересечения медианы АМ и высоты СН

д) угол образованной высотой СН и медианой АМ

е) уравнение прямой, проходящей через вершину С параллельно стороне АВ.

А(-1;2), В(8;-4), С(-3;6).

Решение:

а) Уравнение  стороны АВ определяется по формуле, выражающее уравнение прямой на плоскости, проходящей через две точки:

       подставим соответствующие координаты точек А и В: или  

3у - 6 = - 2x -2  

2x + 3y - 4 = 0 (уравнение стороны АВ).   -  угловой коэффициент прямой АВ.

б) Уравнение  высоты СН  находим, как уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом и проходящей через точку С :

Угловой коэффициент  прямой, определяющей высоту CН и перпендикулярной стороне АВ, согласно условию перпендикулярности двух прямых равен:

. Следовательно, уравнение высоты  CН имеет вид:

  или 2y - 12 =  3x + 9

3x - 2y + 21 =0 ( уравнение CН).

в)  Медиана  АМ - прямая, проведенная из вершины  А на противоположную сторону  и делящей эту сторону на две  равные части. Для того, чтобы найти уравнение медианы АМ нам необходимо найти координаты точки М, как точку, делящей отрезок ВС на две равные части и подставить координаты точек А и М в формулу, определяющую уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Координаты точки М определяются по формуле:

   

 или 

7у – 14 = - 2х  - 2

2х + 7у - 12 = 0 (уравнение медианы АМ).

г) Координаты точки  К пересечения медианы АМ и  высоты CН  найдем решив систему:

 Корнями данной системы  уравнений являются х = -4,92 и  у = 3,12 Соответственно, точка К  имеет координаты: К(-4,92;3,12).

д. Угол, образованной высотой СН и медианой АМ, как  угол между прямыми АМ и СН по формуле:

 

-  угловой коэффициент высоты  СН, Подставляя в формулу для определения угла найденные угловые коэффициенты, имеем:

 

α = arctg (19/4) ~ 78˚

е) Согласно условию  параллельности двух прямых: , где - угловой коэффициент искомой прямой. Следовательно, применив формулу, определяющую уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом и проходящей через точку С имеем :  

2х + 3у - 12 =0 ( уравнение прямой, проходящей через  точку К параллельно стороне  АВ).

 

Задача 17

Составить уравнение  линии, расстояние каждой точки которой  от точки А(-8;0) вдвое меньше расстояния ее от прямой х = -2.

Решение:

Пусть точка  М(x;y) – произвольная точка искомой линии. От этой точки проведем перпендикуляр к прямой х = -2, на пересечении перпендикуляра и прямой х = -2 получим точку В с координатами В(-2;у). По условию задачи: .

Используя формулу, определяющую расстояние между двух точек, получим:

 

.Возведя в квадрат обе части  полученного равенства, находим:

 или 

Полученное уравнение определяет гиперболу с действительной осью а = 4 и мнимой полуосью b = с центром в точке О(0;0). Уравнение приведено к каноническому виду т.к. каноническое уравнение эллипса задается в виде:

Задача 26

Вычислить объем  тетраэдра с вершинами в точках и его высоту, опущенную из вершины   на грань . Определить угол между гранями и

Решение:

Из вершины  проведем векторы

Вычислив смешанное  произведение векторов:

находим объем  пирамиды согласно формуле:

,где 

Высоту пирамиды можно вычислить по формуле:

, где 

Таким образом, высота пирамиды равна:

Угол между  гранями  и можно определить, как угол между двумя плоскостями с нормальными векторами . Высота Н является нормальным вектором для плоскости , т.е.

Нормальный вектор для плоскости  найдем, предварительно определив уравнение плоскости по формуле:

Угол между  гранями  и определим по формуле, определяющую угол между плоскостями:

Задача 34

 Систему уравнений  записать в матричной форме  и решить её с помощью обратной  матрицы.

 Решение:

Решение системы  уравнений с помощью обратной матрицы основано на принципе записи уравнений в виде матриц:

; ;

Решив матричное  уравнение  , где - это обратная к матрице А, мы можем найти неизвестные x, y и z.

Находим обратную матрицу к А: 

1. ,

вычислим алгебраические дополнения:

2.

Обратная матрица  имеет вид:

Следующим этапом решения, применив правило произведение матриц, будет непосредственное нахождение матрицы столбца Х:

 

В конечном итоге, имеем:

x = -3; y = 1; z = -1.

Задача 45

В задаче вычислить  пределы функций. 

а) раскроем неопределенность преобразованием функции, предел которой мы находим.

       б)  Как и в предыдущей задаче, раскроем неопределенность вида путем преобразования функции:

 

в) Для решения данной задачи применим первый «специальный» предел:

 и принцип эквивалентности  arcsinx ~ x

имеем: 

г)

Решим данный предел с помощью второго «специального» предела:

 

Имеем:

 

Задача 59. Найти производные функций:

а)

Решение: Применяя таблицу производных:

   

имеем:

б)

Данная функция  задана в неявном виде, поэтому  применим правило дифференцирования  неявной функции

в) Используем правило логарифмического дифференцирования:

 

Задача 70.

Исследовать данную функцию методами дифференциального  исчисления и построить ее график. Исследование следует провести по следующей  схеме:

1. найти область определения,
2. исследовать функцию на непрерывность,
3. определить является функция четной или нечетной,
4. найти интервалы возрастания и убывания функции и точки ее экстремума,
5. найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции,
6. асимптоты графика функции.

Решение:

1. Областью определения данной функции является интервал т.к. знаменатель обращается в нуль в точке х = 1   
2. Функция является непрерывной на всей числовой прямой, кроме точки х = 1  Прямая х = 1  является вертикальной асимптотой.

.Т.е. при стремлении х к  ∞ справа и слева функция  стремится к ∞.

3. Для исследования на четность и нечетность проверим значение функции при

f(-x)=f(x)- в этом случае функция является четной, если f(-x)= - f(x), то функция нечетная. В противном случае функция является ни нечетной, ни четной.

Следовательно, функция является  ни нечетной, ни четной.

4.   Интервалы  возрастания и убывания функции  находим согласно правилу:

а) Функция возрастает в точках удовлетворяющих условию

б) убывает в  точках удовлетворяющих условию 

Необходимыми  и достаточными условиями существования  экстремума являются условия:

1.    

2. При переходе  через точки удовлетворяющих условию 1 производная первого порядка меняет знак, причем, если  производная первого порядка меняет знак с «+» на «-«, то функция в этой точке имеет максимум, если с «-« на «+», то минимум.

Находим: 

производная первого порядка не обращается в нуль.

Функция возрастает в интервале (-∞;1)U(1; ∞)

Функция точек  экстремума не имеет.

 Интервалы  выпуклости и вогнутости определим  согласно правилу:

При  график функции имеет выпуклость вниз

При  график функции имеет выпуклость вверх.

Находим производную  второго порядка

Точек, обращающих производную второго порядка  в нуль нет. Производная второго  порядка является положительной  в интервале (-∞;1) и отрицательной в интервале

(1;∞). График  функции имеет выпуклость вверх   в интервале: (- ∞;1) и выпуклость  вниз в интервале (1;∞).

6. Наклонная  асимптота: у = kx+b, причем

 

Таким образом, прямая – наклонная асимптота.

6) построим график:

 

Задача 75.

Из круглого бревна диаметра D вырезать балку прямоугольного сечения, чтобы площадь сечения была наибольшей.

Решение: Прямоугольное  сечение представляет собой прямоугольник, вписанный в окружность:

 

                               x                          

                          D 

                      y 
 
 
 
 

Если высоту прямоугольника обозначим через  x и его основание через y, то имеем:

 С другой  стороны площадь прямоугольника подставляя в формулу площади выражение , получим функцию от х, т.е. , задача сводится к нахождению наибольшего значения этой функции или максимума:

Находим производную  первого порядка: 

 

Задача 86.

Исследовать функцию  от двух переменных на экстремум:

Решение:

Необходимым условием существования экстремума функции  от двух переменных является условие  равенства нулю частных производных  первого порядка, т.е. выполнение следующего условия: