Аппроксимация функции методом наименьших квадратов

Коэффициент детерминированности  определяется по формуле:

                                                                                                               (11)                             

где S_{ост =} - остаточная сумма квадратов, характеризующая отклонение экспериментальных данных от теоретических.

S_полн   - полная сумма квадратов, где среднее значение y_i.

- регрессионная сумма квадратов,  характеризующая разброс данных.

Чем меньше остаточная сумма квадратов по сравнению с общей суммой квадратов, тем больше значение коэффициента детерминированности r², который показывает, насколько хорошо уравнение, полученное с помощью регрессионного анализа, объясняет взаимосвязи между переменными. Если он равен 1, то имеет место полная корреляция с моделью, т.е. нет различия между фактическим и оценочным значениями y. В противоположном случае, если коэффициент детерминированности равен 0, то уравнение регрессии неудачно для предсказания значений y.

Расчёт с помощью таблиц, выполненных средствами Microsoft Excel.

Для проведения расчётов, данные целесообразно  расположить в виде таблицы 2, используя  средства табличного процессора Microsoft Excel.

Таблица 2.

	A	B	C	D	E	F	G	H	I
1	0,01	3,08	0,0001	0,0308	0,000001	0,00000001	0,000308	1,12493	0,011249
2	1,34	7,67	1,7956	10,2778	2,406104	3,22417936	13,77225	2,037317	2,730004
3	2,09	9,65	4,3681	20,1685	9,129329	19,0802976	42,15217	2,266958	4,737942
4	2,87	11,61	8,2369	33,3207	23,6399	67,8465216	95,63041	2,451867	7,036858
5	3,44	12,09	11,8336	41,5896	40,70758	140,034089	143,0682	2,492379	8,573783
6	3,82	13,2	14,5924	50,424	55,74297	212,938138	192,6197	2,580217	9,856428
7	4,68	15,75	21,9024	73,71	102,5032	479,715126	344,9628	2,75684	12,90201
8	4,97	17,98	24,7009	89,3606	122,7635	610,134461	444,1222	2,88926	14,35962
9	5,45	18,86	29,7025	102,787	161,8786	882,238506	560,1892	2,937043	16,00689
10	5,87	20,28	34,4569	119,0436	202,262	1187,27796	698,7859	3,009635	17,66656
11	6,32	21,32	39,9424	134,7424	252,436	1595,39532	851,572	3,059646	19,33696
12	6,96	23,86	48,4416	166,0656	337,1535	2346,58861	1155,817	3,172203	22,07854
13	7,51	24,53	56,4001	184,2203	423,5648	3180,97128	1383,494	3,199897	24,03123
14	8,66	28,56	74,9956	247,3296	649,4619	5624,34002	2141,874	3,352007	29,02838
15	9,08	31,94	82,4464	290,0152	748,6133	6797,40887	2633,338	3,463859	31,45184
16	9,41	32,98	88,5481	310,3418	833,2376	7840,76601	2920,316	3,495901	32,89643
17	10,11	33,97	102,2121	343,4367	1033,364	10447,3134	3472,145	3,525478	35,64258
18	10,76	36,54	115,7776	393,1704	1245,767	13404,4527	4230,514	3,598408	38,71887
19	11,44	38,65	130,8736	442,156	1497,194	17127,8992	5058,265	3,654547	41,80802
20	12,39	39,99	153,5121	495,4761	1902,015	23565,9648	6138,949	3,688629	45,70212
21	13,22	38,76	174,7684	512,4072	2310,438	30543,9936	6774,023	3,657389	48,35068
22	13,88	42,76	192,6544	593,5088	2674,043	37115,7178	8237,902	3,755603	52,12777
23	14,76	45,86	217,8576	676,8936	3215,578	47461,9339	9990,95	3,825593	56,46576
24	15,54	49,06	241,4916	762,3924	3752,779	58318,1929	11847,58	3,893044	60,4979
25	16,23	51,98	263,4129	843,6354	4275,191	69386,3559	13692,2	3,950859	64,12244
26	200,81	670,93	2134,924	6936,504	25871,87	338359,784	83064,24	77,83951	696,1409
	С            У             М              М               Ы

 

 

 

Аппроксимируем функцию  линейной функцией . Для определения коэффициентов и воспользуемся системой (4). Используя итоговые суммы таблицы 2, расположенные в ячейках A26, B26, C26 и D26,  запишем систему (4) в виде

                 

                                                                   (11)

 

решив которую, получим  и .

Систему решали методом Крамера. Суть которого состоит в следующем. Рассмотрим систему n алгебраических линейных уравнений с n неизвестными:

                                                                   (12)

Определителем системы называется определитель матрицы системы:

                                                                                                 (13)

Обозначим - определитель, который получится из определителя системы Δ заменой j-го столбца на столбец

                                                                                                                                         (14)

Таким образом, линейная аппроксимация  имеет вид

 

                                                                                            (15)       

 

Решение системы (11) проводим, пользуясь  средствами Microsoft Excel. Результаты представлены в таблице 3.

Таблица 3.

	A	B	C	D	E
28	25	200,81	670,93
29	200,81	2134,924	6936,504
30
31	Обратная матрица
32	0,163615	-0,01539		a1=	3,024507
33	-0,01539	0,001916		a2=	2,96458

 

Далее аппроксимируем функцию  квадратичной функцией . Для определения коэффициентов a₁, a₂ и a₃ воспользуемся системой (5). Используя итоговые суммы таблицы 2, расположенные в ячейках A26, B26, C26 , D26, E26, F26, G26  запишем систему (5) в виде

               

                                              (16)

 

решив которую, получим a₁=2,58557534, и

 

Таким образом, квадратичная аппроксимация  имеет вид

                                                              (17)              

              Решение системы (16) проводим, пользуясь  средствами Microsoft Excel. Результаты представлены в таблице 4.

Таблица 4.

	A	B	C	D	E	F
36	25	200,81	2134,924	670,93
37	200,81	2134,924	25871,87	6936,504
38	2134,924	25871,87	338359,8	83064,24
39
40	Обратная матрица
41	0,396474	-0,09506	0,004767		a1=	2,58557534
42	-0,09506	0,029172	-0,00163		a2=	3,11475087
43	0,004767	-0,00163	9,76E-05		a3=	-0,0089851

                

Теперь аппроксимируем функцию  экспоненциальной функцией . Для определения коэффициентов и прологарифмируем значения и, используя итоговые суммы таблицы 2, расположенные в ячейках A26, C26, H26 и I26,  получим систему

               

                                                                                (18)

где  .

Решив систему (18), получим  и .

После потенцирования получим .

Таким образом, экспоненциальная аппроксимация  имеет вид

                                                                                             (19)

Решение системы (18) проводим, пользуясь  средствами Microsoft Excel. Результаты представлены в таблице 5.

                                        Таблица 5.

	B	C	D	E	F
46	25	200,81	77,83951
47	200,81	2134,924	696,1409
48
49	Обратная матрица			c=	2,022416
50	0,163615	-0,01539		a2=	0,135845
51	-0,01539	0,001916		a1=	7,556563

                    

Вычислим среднее арифметическое и по формулам:

 

                                                ; .

 

Результаты расчета и средствами Microsoft Excel представлены в таблице 6.

Таблица 6.

	A	B
54	Xcp=	8,0324
55	Ycp=	26,8372

 

Для того, чтобы рассчитать коэффициент  корреляции и коэффициент детерминированности  данные целесообразно расположить в виде таблицы 7, которая является продолжением таблицы 2.

Таблица 7.

	A	B	J	K	L	M	N	O
1	0,01	3,08	190,5898	64,3589	564,4046	0,000668	0,214627	20,13169
2	1,34	7,67	128,2746	44,78822	367,3816	0,452869	0,858944	1,946741
3	2,09	9,65	102,1332	35,31212	295,3998	0,184488	0,35265	0,150196
4	2,87	11,61	78,6089	26,65037	231,8676	0,005952	0,025313	0,202937
5	3,44	12,09	67,72504	21,09014	217,4799	1,282924	1,218799	0,001027
6	3,82	13,2	57,44534	17,74431	185,9732	1,320667	1,32897	0,253267
7	4,68	15,75	37,16873	11,23859	122,926	1,319608	1,478204	2,189848
8	4,97	17,98	27,12429	9,378294	78,44999	0,049076	0,01851	9,837112
9	5,45	18,86	20,60032	6,66879	63,63572	0,103342	0,188432	9,097926
10	5,87	20,28	14,17929	4,675974	42,99687	0,021489	0,078156	12,29223
11	6,32	21,32	9,447653	2,932314	30,4395	0,194175	0,350363	12,17059
12	6,96	23,86	3,192749	1,150042	8,86372	0,04081	0,000962	19,43905
13	7,51	24,53	1,205281	0,272902	5,323172	0,575327	0,884717	12,74507
14	8,66	28,56	1,081229	0,393882	2,96804	0,018981	0,105934	16,45104
15	9,08	31,94	5,345693	1,097466	26,03857	3,988432	3,28797	35,9671
16	9,41	32,98	8,462321	1,897782	37,73399	4,238635	3,535274	34,19688
17	10,11	33,97	14,81911	4,316422	50,87684	0,947875	0,660448	17,06607
18	10,76	36,54	26,46536	7,439802	94,14433	2,613433	2,190337	15,57508
19	11,44	38,65	40,2533	11,61174	139,5422	2,926484	2,584336	8,423159
20	12,39	39,99	57,31464	18,98868	172,9961	0,054918	0,036857	0,465123
21	13,22	38,76	61,85072	26,91119	142,1532	11,9457	11,78048	45,78362
22	13,88	42,76	93,11017	34,19443	253,5356	1,996225	1,761721	49,51562
23	14,76	45,86	127,9778	45,2606	361,8669	0,849547	0,550305	105,2688
24	15,54	49,06	166,8399	56,36406	493,8528	0,001162	0,058092	177,7681
25	16,23	51,98	206,1106	67,20065	632,1604	0,706202	1,46122	273,7081
26	200,81	670,93	1547,326	521,9377	4623,011	35,83899	35,01162	880,6463
	С          у          м            м            ы					Остаточные суммы
	X	Y				линейн.	квадр.	экспон.

 

Теперь проведем расчеты коэффициента корреляции по формуле (8) (только для линейной аппроксимации) и коэффициента детерминированности по формуле (10). Результаты расчетов средствами Microsoft Excel представлены в таблице 8.

Таблица 8.

	A	B
57	Коэффициент корреляции	0,996116
58	Коэффициент детерминированности ( линейная аппроксимация )	0,992248
59
60	Коэффициент детерминированности ( квадратичная аппроксимация )	0,992427
61
62	Коэффициент детерминированности ( экспоненциальная аппроксимация  )	0,809508
63

 

Анализ результатов расчетов показывает, что квадратичная аппроксимация  наилучшим образом описывает  экспериментальные данные.

Схема алгоритма.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.1. Схема алгоритма для программы расчёта.

 

 

Программа расчета на языке программирования Turbo Pascal.

   program p1;

   uses Crt;

         x2(x^2),xy(x*y),x3(x^3),x4(x^4),

         x2y(y*x^2),lny,xlny(x*lny)               -      переменные для промежуточных расчетов(согласно таблице 2)

         Sumx,Sumy,Sumx2,Sumxy,Sumx3,

         Sumx4,Sumx2y,Sumlny,Sumxlny              -      их суммы

         delta_11,delta1_11,delta2_11             -      значение определителей для решения системы (11)

                                                         по формулам Крамера

         a1_11,a2_11                              -      искомые коэффициенты  системы (11)

         delta_13,delta1_13,